2020最新高一数学专题五综合检测

高一必修5试题一．选择题：（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若a>1，则a+1＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．4 C.2aa －1D ．3 2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01503．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC （ ）A 、有 一个解B 、 有两个解C 、 无解D 、不能确定4. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为ο30、ο60，则塔高为( )A. m 3400B. m 33400 C.m 3200 D. m 33200 5. 在{a n }中，a 1=15,3a n +1=3a n －2 (n ∈N *),则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ） A.a 21和a 22B.a 22和a 23C.a 23和a 24D.a 24和a 256.已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+……+a 99=0,则（ ）A a 1+a 99>0B a 2+a 98<0C a 3+a 97=0D a 50=50 7. 数列{a n }中，a 1=1,a 2=32,且n ≥2时，有1111+-+n n a a =n a 2,则（ ） A. a n =(32)nB. a n =(32)n －1C. a n =22+n D . a n =12+n8. {}n a ，{}n b 是项数相同的等比数列，则下列数列中：①{}n n a b +；②{}nn b a ⋅；③{}(0)n c a c +≠；④{}n n b ca (c )0≠；⑤n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，等比数列有（ ）Ａ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个 Ｄ．1个9．已知1273,023++=-+y xy x 则的最小值是 （ ）A. 393B. 221+C. 6D. 710．原点和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．(－∞，0]∪[2，＋∞) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D ．[0，2]11．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( )A 、11{|}32x x -<<B 、11{|}32x x x <->或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或12.a ,b 是正数，则2,2a b aba b++三个数的大小顺序是 （） Ａ．22a b aba b++22a b ab a b +≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤≤+ 二、填空题13．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________14．△ABC 中，a 、b 分别是角A 和角B 所对的边，a ＝3,b ＝1,B 为30°，则角A 的值为______.15. 已知数列2004，2005，1，2004-，2005-，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和2004S 等于_______；16． 在等比数列{}n a 中，311289a a =，则7a =．数学答题纸一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：13． 14. 15. 16. 三、解答题（共6小题，其中17题10分，其余每小题均为12分，共70分） 17.(10分) 在ABC ∆中，已知3,2,45,a b B ===o求,A C c 和.18. (12分) 已知ABC ∆中，三内角C B A ,,的度数成等差数列，边c b a ,,依次成等比数列． 试判断ABC ∆的形状.19.(12分)学校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4 m 的小路（如图所示）。

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式－x 2＋5x ＋14≤0的解集为( )A ．{x|x≥7或x≤2}B ．{x|2≤x≤7}C ．{x|x≥7或x≤－2}D ．{x|－2≤x≤7}解析：－x 2＋5x ＋14≤0⇒x 2－5x －14≥0⇒(x －7)·(x＋2)≥0⇒x≥7或x≤－2. 答案：C2．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( )A ．a 1＝－2，d ＝3B ．a 1＝2，d ＝－3C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝103a 1＋3d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝3.答案：A3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．1或2B ．2C . 2D ．1解析：∵B＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴由正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A， ∴cos A ＝32， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝3＋c 2－3c ， 解得c ＝2或c ＝1(经检验不合题意，舍去)， ∴c＝2，故选B . 答案：B4．如果a 、b 、c 满足c<b<a 且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．cb 2<ab 2B ．c(b －a)>0C ．ab<acD ．ac(a －c)<0解析：若b ＝0，则cb 2＝ab 2，∴A 不一定成立． 答案：A5．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为( )A ．15B ．17C ．19D ．21解析：由S 8－S 4S 4＝q 4得S 8＝17.答案：B6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤8，2y －x≤4，x≥0，y≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：画出可行域，如图所示．由图可知，当直线y ＝x 5＋z5过点A 时z 取最大值；过点B时z 取最小值．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，2y －x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，故A(4,4)，对x ＋y ＝8，令y ＝0，则x ＝8，故B(8,0)，所以a ＝5×4－4＝16，b ＝5×0－8＝－8，则a －b ＝16－(－8)＝24，故选C.答案：C7．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于( )A ．4B ．14C ．4或14D ．24解析：∵a－b ＝4，a ＋c ＝2b ，∴a＝c ＋8，b ＝c ＋4，∴a 为最大边，∵最大角为120°，∴(c＋8)2＝c 2＋(c ＋4)2－2c(c ＋4)cos 120°，∴c 2－2c －24＝0，∴c＝6，∴a＝c ＋8＝14.答案：B8．数列{a n }满足a n ＝－2n ＋11，则使得其前n 项和S n >0的n 的最大值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：a 1＝－2＋11＝9，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (9＋11－2n )2＝n(10－n)，由S n >0，解得0<n<10，故n 的最大值为9.答案：B9．已知x ＋y ＝3，则2x ＋2y的最小值是( )A ．8B ．6C ．3 2D ．4 2解析：因为2x>0,2y>0， 所以2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y＝223＝4 2.当且仅当2x ＝2y＝232，即x ＝y ＝32时等号成立．故选D .答案：D10．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和，记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1(n∈N *)，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：由题易得S n ＝a 1(1－2n )1－2＝a 1(2n－1)，S 2n ＝a 1(1－22n )1－2＝a 1(22n －1)，a n ＋1＝a 1·2n，∴T n ＝17S n －S 2n a n ＋1＝17a 1(2n －1)－a 1(22n－1)a 1·2n＝17－⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋162n ≤17－22n·162n ＝17－8＝9，当且仅当2n＝162n ，即n ＝2时取等号，∴数列{T n }的最大项为T 2，则n 0＝2，故选A.答案：A11．在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆O ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，又因为圆心O (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1，所以圆O ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A.答案：A12．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.23 3C.23 6 D.433 解析：因为关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)， 所以Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2，又a >0，可得Δ>0. 所以x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，所以x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．所以x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433.故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：由等差数列的性质知a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74. 答案：7414．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于3a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________．解析：由题意知，∠ACB ＝120°，∴由余弦定理得AB 2＝3a 2＋3a 2－23a ×3a ×cos 120°＝9a 2， ∴AB ＝3a km. 答案：3a km15．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：∵m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，∴m ＋n ＝b ＋1a ＋a ＋1b .由题意知ab ＝4，那么b ＝4a ，∴b ＋1a＋a ＋1b ＝4a ＋1a ＋a ＋a 4＝5a 4＋5a ≥25a 4·5a＝5，当且仅当a ＝2时取等号，所以m ＋n 的最小值是5.答案：516．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sinB )＝(c －b )sinC ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A ＝π3.因为cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc ≥2bc －42bc，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号．由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S △ABC . 解析：在△ABC 中，由正弦定理得asin A ＝bsin B，∴sin B ＝b a sin A ＝623·12＝32.又A ＝30°，且a <b ，∴B >A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形，S △ABC ＝12ab ＝6 3.②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形，S △ABC ＝12ab sin C ＝3 3.18．(12分)已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2－dx －3<0的解集为(－1,3)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1n (a n ＋3)，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧d a 1＝2，－3a 1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＝2n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以b n ＝12n 2＋2n ＝12·(n ＋1)－n n (n ＋1)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 19．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解析：(1)因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b ，即2sin B ＝sin A ＋sin C ．因为sin B ＝sin(A ＋C )，所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝2ac －ac2ac＝12，当且仅当a ＝c ＝b 时，cos B 取得最小值12，此时△ABC 为正三角形． 20．(12分)设数列{a n }的各项都是正数，且对于n ∈N *，都有a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)在已知式中，当n ＝1时，a 31＝a 21，∵a 1>0，∴a 1＝1； 当n ≥2时，a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，①a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n －1＝S 2n －1，②①－②得a 3n ＝a n (2a 1＋2a 2＋…＋2a n －1＋a n )， ∵a n >0，∴a 2n ＝2a 1＋2a 2＋…＋2a n －1＋a n ，即a 2n ＝2S n －a n ，当n ＝1时，也满足此式．∴a 22＝2(1＋a 2)－a 2，解得a 2＝－1或a 2＝2， ∵a n >0，∴a 2＝2.(2)由(1)知a 2n ＝2S n －a n (n ∈N *)，③ 当n ≥2时，a 2n －1＝2S n －1－a n －1，④③－④得a 2n －a 2n －1＝2(S n －S n －1)－a n ＋a n －1＝2a n －a n ＋a n －1＝a n ＋a n －1. ∵a n ＋a n －1＞0， ∴a n －a n －1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n .21．(12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解析：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x (6x ＋6)2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则Y 1＝9x (x ＋1)＋900x＋1 800×6＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此优惠条件后，每隔x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则Y 2＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6×910＝9x ＋900x＋9 729(x ≥35)，记f (x )＝x ＋100x，x ∈[35，＋∞)，设x 1，x 2∈[35，＋∞)，取x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2，因为35≤x 1<x 2，所以x 1x 2>0，x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0，所以(x 1－x 2)(x 1x 2－100)x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0，所以函数f (x )＝x ＋100x在[35，＋∞)上是增函数，所以当x ≥35时，f (x )min ＝f (35)．所以，当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应利用此优惠条件．22．(12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解析：(1)由x >0，y >0,3n －nx ≥y ， 得0<x <3.则D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为直线l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2， 则y 1＝2n ，y 2＝n ， ∴a n ＝3n (n ∈N *)． (2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n (n ＋1)2， ∴T n ＝n (n ＋1)2n.令T n ＋1T n ＝n ＋22n>1，解得n <2， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1， ∵T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值为32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

2020年年高一模块5修习考试数学试题参考答案一、选择题 BDCAB DCCAC二、填空题11. 2 13. 45° 14. [)2,+∞ 15.()()126n n n ++ 三、16．解：∵B b sin ＝Cc sin ， ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ……………6分 ∵b ＞c ，∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°． …………………12分17.（1）若函数的定义域为R ，即2210ax ax ++>的解集为R ．当a =0时，不等式转化为1>0，显然对x ∈R ，不等式2210ax ax ++>都成立；当a ≠0时，不等式的解集为R ，则有20,440.a a a >⎧⎪⎨∆=-<⎪⎩解得0<a <1． 综上可得0≤a <1时，函数的定义域为R ．…………………6分（2）因为x <0，所以-x >0，由基本不等式得：99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-=≥， 所以()12f x -≤． 当且仅当94x x -=-即32x =-时，9()4f x x x =+取得最大值-12．………12分 18. 解： （Ⅰ）由题意得：11233S a a ==?=，a=3. 当2n ≥时，11132332332n n n n n n a S S ---=-=?-?=?，∴n a =3·2n-1………5分 （Ⅱ） 132n n b n -=? 012132629232n n T n -=???+?L ① 2n T = 12132623(1)232n n n n -??+-??L ②① — ②得：1212233(222)32333212n n n n n T n n ---=++++-?+??-L 33(21)323(1)23n n n n n =+--?-? ∴ 3(1)23n n T n =-?… ……………………12分19.（1）∵cos B =45，∴sin B =35，由正弦定理sin sin a b A B =，得10sin303a =︒， ∴a =53．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分） （2）∵△ABC 的面积S =12ac ·sin B ， ∴12ac ×35=3，ac =10． 由余弦定理b 2=a 2+c 2－2ac cos B 得 4=a 2+c 2－85ac = a 2+c 2－16，∴a 2+c 2=20 ∴(a +c ）2=a 2+c 2+2ac =20+2×10=40，∴a +c．．．．．．．．．．．．．．．（12分）20．解：（1）设公差为d ，由题意，⎩⎨⎧ ⇔ ⎩⎨⎧ 解得⎩⎨⎧ 所以a n ＝2n －20． ……………………4分（2）由数列{a n }的通项公式可知，当n ≤9时，a n ＜0，当n ＝10时，a n ＝0，当n ≥11时，a n ＞0．所以当n ＝9或n ＝10时，S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90．……………8分（3）记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知b n ＝12-n a ＝2×2n －1－20＝2n －20．所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n －20)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－20n a 4＝－12 a 8＝－4 a 1＋3d ＝－12 a 1＋7d ＝－4d ＝2 a 1＝－18＝21221--+n －20n ＝2n +1－20n －2． ………………13分 21. 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P=6x+8y ， ………2分由题意有3020300510110x y x y x Ny N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩ ……………10分（列不等式组4分，画图4分）由图知直线y=34-x+18P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.………14分。

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n －1D ．2n －1解析：选C.取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a ＞1bB ．b a＞1 C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b解析：选D.利用特值法，令a ＝－2，b ＝2，则1a ＜1b ，A 错；b a＜0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <3解析：选A.因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， 所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15D ．±15解析：选D.因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9， 所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3， 所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝±15.5．若log a 5<log a 2，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1a或x <a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >a 解析：选A.由log a 5<log a 2知0<a <1，所以a <1a；不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0⇔(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，解得a <x <1a.6．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝asin A ，得b ＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 7．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2 B ．32 C.322D ．2解析：选B.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B 、C 两点横坐标分别为－1、12，A 、D两点纵坐标分别为1，－1.所以S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－（－1）＝32.8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．小于10 g B ．大于10 g C ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选B.设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g. 9．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1解析：选B.因为S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，所以sin B ＝22，所以B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( ) A.a （1＋γ）（1＋γ）5－1万元 B ．a γ（1＋γ）5（1＋γ）5－1万元 C.a γ（1＋γ）5（1＋γ）4－1万元D ．a γ（1＋γ）5万元 解析：选B.设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，所以x ＝a γ（1＋γ）5（1＋γ）5－1. 11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ 解析：选C.直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：选C.因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5， 所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根． 又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)， 所以a 3＝4，a 5＝1.所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝（9－n ）·n 2，所以S n n ＝9－n2.T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋2894. 所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________． 解析：因为{a n }为等比数列，则a n ＝2qn －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2， 所以S n ＝2n . 答案：2n14.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13. 答案：1315．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥（a ＋b ）24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．答案：①③④16．在△ABC 中，AC →·AB →＝|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值为________． 解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ， 由题意得bc cos A ＝a ＝2，即cos A ＝2bc，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －42bc，即cos A ≥1－2bc＝1－cos A ，所以cos A ≥12，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π3.S ＝12bc sin A ＝1cos Asin A ＝tan A ≤ 3. 答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B ＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ， 即3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C ，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24. 所以点A 的坐标为(20，24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图像过点(0，1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，所以m ＝3. (2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3＞0，得x ＜1或x ＞3，所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 因为log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， 所以0＜x 2－4x ＋3≤3， 所以0≤x ＜1或3＜x ≤4，所以不等式的解集为{x |0≤x ＜1或3＜x ≤4}．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N ＋)． (1)求a n 与b n 的表达式；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n(n ∈N ＋)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)， 所以y ＝25n －n [6＋（2n ＋4）]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n ＋20＝－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ＋20≤－2×n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”号)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。