北师大版高中数学选修4-5同步配套课件：2.2排序不等式

一、选择题

1．已知a、bR，224ab，求32ab的最大值为（ ）

A．27 B．213 C．217 D．4

2．函数2223614yxxxx的最小值是（ ）

A．10 B．101 C．11210 D．210

3．已知a，0b，5ab，则13ab的最大值为（ ）

A．18 B．9 C．32 D．23

4．设,xyR，且0xy，则222241xyyx的最小值为（ ）

A．9 B．9 C．10 D．0

5．m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m与n,3m+2n的最大值是( )

A．35 B．37

C．38 D．41

6．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OAOBOC

向量,OPxOAyOBzOC且424xyz,则OP不可能是

A．12 B．1 C．32 D．4

7．y=x21-x的最大值是 （ ）

A．1 B．2 C．2 D．4

8．已知22111abba，则以下式子成立的是

A．221ab B．221ab

C．221ab D．221ab

9．已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则 222abbcac 的最小值为( )

A．1 B．3 C．6 D．9

10．若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则 222abc 的最小值为( )

A．3 B．1 C．33 D．3

11．已知,,(0,1)abc，且1abbcac，则111111abc的最小值为（ ）

A．332 B．932 C．632 D．9332 12．若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是（ ）

A．ax+cy+bz B．bx+ay+cz

C．bx+cy+az D．ax+by+cz

§2 排序不等式

1．了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题．

2．体会运用经典不等式的一般思想方法．

1．定理1

设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么______≥ad＋bc，此式当且仅当______(或c＝d)时取“＝”号．

【做一做1】若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中最大的是( )．

A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2 C．a1b2＋a2b1 D．12

2．(1)顺序和、乱序和、逆序和：

设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，则a1b1＋a2b2＋a3b3≥a1bj1＋a2bj2＋a3bj3≥______________，其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝a3(或b1＝b2＝b3)时取“＝”号．

通常称a1b1＋a2b2＋a3b3为__________，a1bj1＋a2bj2＋a3bj3为________，a1b3＋a2b2＋a3b1为________(倒序和)．

(2)定理2(排序不等式)：

设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，则(顺序和)__________≥(乱序和)__________________≥(逆序和)________________．

其中j1，j2，…，jn是1,2,3，…，n的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．

【做一做2】设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整数，求证：12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2．

答案：

1．ac＋bd a＝b

【做一做1】A ∵a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝1，a1b1＋a2b2－a1b2－a2b1＝(a1－a2)(b1－b2)＞0，

北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案

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课 题： 第01课时 不等式的基本性质

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远

者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中

息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上

方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖

的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，

需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式

等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不

等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从

引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)

克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为

ab

，加入m克糖 后的糖水浓度为

mamb

，只要证

mamb

>

ab

即可。

怎么证呢?

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

0baba

0baba

0baba

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)

②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c

排序不等式练习

1设a1，a2，„，an都是正数，b1，b2，„，bn是a1，a2，„，an的任一排列，

2121211122nnPababab，Q＝a1＋a2＋„＋an，则P与Q的大小关系是( )．

A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≥Q

2若22212nAxxx，B＝x1x2＋x2x3＋„＋xnx1，其中x1，x2，„，xn都是正数，则A与B的大小关系是( )．

A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B

3设a，b都是正数，22abPba，abQba，则( )．

A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q

4设c1，c2，„，cn为正数a1，a2，„，an的某一排列，则1212nnaaaccc与n的大小关系是________．

5某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件，如果选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为______．

6已知a，b，c∈R＋，求证：222222333222abbccaabcabccabbccaab．

7设a1，a2，„，an为正数，求证：2221212231nnaaaaaaaaa．

8设a，b，c为正实数，求证：3abcabcabcabc．

参考答案

1答案：D 设a1≥a2≥„≥an＞0，

可知22212naaa，1111nnaaa．

由排序不等式，得

21212121212111221122nnnnabababaaaaaa，

即212121112212nnnabababaaa．

∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝„an＞0时等号成立．