黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高一4月月考数学试题+Word版

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={x |x 2-3x ＜0}，则A ∩B 为（ ）A. 2，B.C.D. {1,3}{2,3}{1,2}(0,3))2.已知角α在第三象限，且sinα=-，则tanα=（ ）23A. B. C. D. 52‒52255‒2553.的值为（ ）sin10°⋅sin80°cos 235∘‒sin 235∘A.B.C. 1D. ‒1212‒14.已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2+ab ，则△ABC 的内角C 为（ ）A. B. C. D. 150∘120∘60∘30∘5.设函数，则f （2）+f （-log 23）的值为（ ）f (x )={log 2x,x >02‒x ,x ≤0A. 4B. C. 5 D. 6436.若sin （）=，sin （2）的值为（ ）π6‒α23α+π6A.B. C. D. 59‒5979‒797.已知f （x ）=sin 2x +2cos x ，则f （x ）的最大值为（ ）A. B. 0 C. 1D. 2‒18.已知函数f （x ）=cos 2x -，则下列说法正确的是（ ）12A. 是周期为的奇函数B. 是周期为的偶函数f(x)π2f(x)π2C. 是周期为的奇函数D. 是周期为的偶函数f(x)πf(x)π9.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足f （x +6）=f （x ），当x ∈（0，3）时，f （x ）=x 2，则f （64）=（ ）A. B. 4 C. D. 98‒4‒9810.函数的图象如图所示，为了得到f(x)=Asin(ωx +ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)g （x ）=sin （3x +）的图象，只需将f （x ）的图象（ ）5π4A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度ππC. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度π3π311.奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式x [f （x ）-f （-x ）]＞0的解集为（ ）A. B. (‒1,0)∪(0,1)(‒∞,‒1)∪(0,1)C. D. (‒∞,‒1)∪(1,+∞)(‒1,0)∪(1,+∞)12.将函数f （x ）=2sin （x +2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x =对称，π2π2π4且f （0）＞0，则φ=（ ）A. B. C. D. π83π8‒π8‒3π8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f （x ）=x +log a x 的图象过点（2，3），则实数a =______．14.已知sin ，且α∈（0，），则tan 的值为______．α+cosα=2π2α+1tanα15.已知f （x ）=x 2-ax +2a ，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．16.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =2，cos C =-，sin B =sin C ，则边1823c =______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f （x ）=2x -sin2x -．3cos 23（I ）求函数f （x ）的最小正周期及对称轴方程；（II ）求函数f （x ）的单调区间．18.若0，0，sin （）=，cos （）=．＜α＜π2＜β＜π2π3‒α35β2‒π3255（I ）求sinα的值；（II ）求cos （）的值．β2‒α19.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（2a -c ）cos B =b cos C ．（I ）求角B 的大小；（II ）若b =2，求△ABC 周长的最大值．20.已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点π2（）中心对称，且过点（）．π12，0π2，1（I ）求函数f （x ）的解析式；（II ）若方程2f （x ）-a +1=0在x ∈[0，]上有解，求实数a 的取值范围．π221.在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ＞c ，若△ABC 的面积为2，sin （A -B ）2+sin C =sin A ，b =3．23（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求边a ，c 的值．22.设函数f （x ）=a 2x +ma -2x （a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若f （1）=，且g （x ）=f （x ）-2kf （）+2a -2x 在[0，1]上的最小值为2，求实数k 的取值范154x 2围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2-3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵角α在第三象限，且sinα=-，∴cosα=-．∴．故选：C．由已知利用平方关系求得cosα，再由商的关系求得tanα．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：==．故选：B．把分子利用诱导公式化sin80°为cos10°，然后利用二倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2-c2=ab，∴cosC===，C∈（0°，180°），∴C=60°．故选：C．根据余弦定理，求出cosC的值，即可得出角C的大小．本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查分段函数求值及指对数运算，难度中等.推导出f（2）=log22=1，f（-log23）==3，由此能求出f（2）+f（-log23）的值．【解答】解：∵函数，∴f（2）=log22=1，f（-log23）==3，∴f（2）+f（-log23）=1+3=4．故选A．6.【答案】A【解析】解：∵sin（）=，∴sin（2）=cos[-（2）]=cos（）=cos2（）=．故选：A．由已知利用诱导公式及二倍角的余弦求得sin（2）的值．本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．7.【答案】D【解析】解：f（x）=sin2x+2cosx，=1-cos2x+2cosx，=-（cosx-1）2+2，当cosx=1时，f（x）max=2，故选：D直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成二次函数的顶点式，进一步求出函数的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用．8.【答案】D【解析】解：函数f（x）=cos2x-=（2cos2x-1）=cos2x，∴f（x）是最小正周期为T==π的偶函数．故选：D．化函数f（x）为余弦型函数，求出f（x）的最小正周期，判断它的奇偶性．本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，又∵当x∈（0，3）时，f（x）=x2，∴f（64）=f（6×11-2）=f（-2）=f（2）=22=4．故选：B．由f（x+6）=f（x），可得f（x）是以6为周期的周期函数，则f（64）=f（6×11-2）=f（-2），再由函数的奇偶性，x∈（0，3）时，f（x）=x2求解．本题主要考查函数的周期性，来转化自变量所在的区间进而来求函数值．10.【答案】D【解析】解：根据函数的图象，可得A=1，=-，∴ω=3，再根据五点法作图可得3×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（3x+）．为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：D．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0，∴f（-1）=0，则当x∈（-∞，-1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）-f（-x）＜0；当x∈（-1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）-f（-x）＞0，则不等式x[（f（x）-f（-x）]＞0的解集为（1，+∞）∪（-∞，-1），故选：C．由函数奇偶性的性质，我们根据已知中奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，易判断函数f（x）在（-∞，-1），（0，1），（-1，0），（1，+∞）上的符号，进而得到不等式x[（f（x）-f（-x）]＞0的解集．本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，其中奇函数在对称区间上单调性相同，是解答本题的关键．12.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）的图象，根据所得图象关于直线x=对称，可得++2φ=kπ+，即φ=-，k∈Z．根据且f（0）=2sin2φ＞0，则φ=，故选：B．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：∵已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），故有2+log a2=3，求得a=2，故答案为：2．由题意利用对数函数的图象的特殊点，求得实数a的值．本题主要考查对数函数的图象的特殊点，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由sin，得，∴sin（）=1，∵α∈（0，），∴∈（），则=，即，∴tanα=tan．∴tan=1+1=2．故答案为：2．由已知利用辅助角公式变形，可得sin（）=1，结合α的范围求得α值，则答案可求．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正弦，是基础题．15.【答案】（8，+∞）【解析】解：∵二次函数f（x）=x2-ax+2a在（1，+∞）内有两个零点，∴，即，解得8＜a．故答案为：（8，+∞）．根据二次函数的性质列出不等式组求解即可．本题考查了二次函数的性质，零点的个数判断，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：△ABC中，a=2，cosC=-，sinB=sinC，∴b=c，∴c2=a2+b2-2abcosC=22+c2-2×2×c×（-），化简得5c 2-3c-36=0，解得c=3或c=-（不合题意，舍去），∴c=3．故选：3．根据正弦、余弦定理，列方程求出c 的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=cos 2x -sin2x -233=（1+cos2x ）-sin2x -33=-sin2x +cos2x3=2cos （2x +）；π6∴f （x ）的最小正周期为π，令，得，2x +π6=kπ,k ∈Z x =‒π12+kπ2,k ∈Z 对称轴方程为x =+，k ∈Z ；‒π12kπ2（Ⅱ）令π+2k π≤2x +≤2π+2k π，k ∈Z ，π6解得+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，5π1211π12∴f （x ）的单调递增区间为[+k π，+k π]（k ∈Z ）；5π1211π12令2k π≤2x +≤π+2k π，k ∈Z ，π6解得-+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，π125π12∴f （x ）的单调递减区间为[-+k π，+k π]（k ∈Z ）．π125π12【解析】（Ⅰ）化函数f （x ）为余弦型函数，再求它的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）根据余弦函数的单调性，求出f （x ）的单调递增、递减区间．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵0，＜α＜π2∴，‒π6＜π3‒α＜π3又sin （）=，π3‒α35∴cos （）=，π3‒α45∴sinα=sin[-（）]=sin cos （）-cos sin （）π3π3‒απ3π3‒απ3π3‒α=；32×45‒12×35=43‒310（Ⅱ）∵0，∴，＜β＜π2‒π3＜β2‒π3＜‒π12又 cos （）=，β2‒π3255∴sin （）=，β2‒π3‒55∴cos （）=cos[（）+（）]β2‒αβ2‒π3π3‒α=cos （）cos （）-sin （）sin （）β2‒π3π3‒αβ2‒π3π3‒α=．255×45‒(‒55)×35=11525【解析】本题考查两角和与差的正弦，关键是“拆角、配角”思想的应用，是中档题．（I ）由已知求得cos （）=，利用sinα=sin[-（）]，展开两角差的正弦求解；（II ）由已知求得sin （）=，利用 cos （）=cos[（）+（）]，展开两角和的余弦求解．19.【答案】解：（Ⅰ）∵由（2a -c ）cos B =b cos C ，可得：（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ，∴2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C ，可得：2sin A cos B =sin （B +C ）=sin A ，∵A ∈（0，π），sin A ＞0，∴可得：cos B =，12∴由B =，B ∈（0，π），B =.12π3（Ⅱ）∵2R ==，a =sin A ，c =sin C ，bsinB 433433433∴可得三角形周长：a +b +c =sin A +sin C +2433433=sin A +sin （-A ）+2=4sin （A +）+2，4334332π3π6∵0＜A ＜，＜A +＜，可得：sin （A +）∈（，1]．2π3π6π65π6π612∴周长的最大值为6．【解析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sinAcosB=sinA ，结合sinA ＞0，可求cosB=，结合范围B ∈（0，π）即可解得B 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可得a=sinA ，c=sinC ，由三角函数恒等变换的应用化简可求三角形周长：a+b+c=4sin （A+）+2，由A 的范围可求＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解周长的最大值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=A sin （ωx +φ）的最小正周期为T ==π，2π|ω|由ω＞0，得ω=2；由函数f （x ）的图象关于点（）中心对称，π12，0∴2×+φ=k π，φ=-+k π，k ∈Z ；π12π6又|φ|＜，∴φ=-；π2π6又f （x ）过点（），π2，1∴A sin （2×-）=1，解得A =2，π2π6∴函数f （x ）=2sin （2x -）；π6（II ）方程2f （x ）-a +1=0，∴a =4sin （2x -）+1；π6又x ∈[0，]，∴2x -∈[-，]，π2π6π65π6∴sin （2x -）∈[-，1]，π612∴4sin （2x -）+1∈[-1，5]，π6∴实数a 的取值范围是[-1，5]．【解析】（Ⅰ）由题意求出T 、ω、φ和A 的值，即可写出f （x ）的解析式；（II ）分离变量a ，利用三角函数的图象与性质求出a 的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由sin （A -B ）+sin C =sin A ，得sin A cos B -cos A sin B +sin （A +B ）=sin A 2323即2sin A cos B =sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B =．sin B =2313223（Ⅱ）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac •cos B =a 2+c 2-ac23⇒a 2+c 2-ac =9…①23又∵s △ABC =ac •sin B =2，∴ac =6…②122由①②解得，{a =3c =2{a =2c =3∵a ＞c ，∴a =3，c =2．【解析】（1）由sin （A-B ）+sinC=sinA ，得sinAcosB-cosAsinB+sin （A+B ）=sinA ，即．sinB=，然后求解cosB 的值．（Ⅱ）由余弦定理得：a 2+c 2-ac=9…①，又s △ABC =ac•sinB=2，ac=6…②，由①②解得a ，c ．本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得f （0）=0，1+m =0，解得m =-1，则f （x ）=a 2x -a -2x ，f （-x ）=a -2x -a 2x =-f （x ），可得f （x ）为奇函数，则m =-1成立；（Ⅱ）由f （x ）=a 2x -a -2x ，f （1）=，154可得a 2-a -2=，解得a =2，154则f （x ）=22x -2-2x ，设y =g （x ）=22x +2-2x -2k （2x -2-x ）=（2x -2-x ）2-2k （2x -2-x ）+2，设t =2x -2-x ，y =t 2-2kt +2x ∈[0，1]，可得t ∈[0，]，32当k ＜0时，y min =2成立；当0≤k ≤时，y min =2-k 2=2，解得k =0成立；32当k ≥时，y min=-3k +=2，解得k =不成立，舍去．3217434综上所述，实数k 的取值范围是（-∞，0]．【解析】（Ⅰ）由题意可得f （0）=0，1+m=0，求得m ，由定义检验可得成立；（Ⅱ）由题意可得a=2，y=g （x ）=（2x -2-x ）2-2k （2x -2-x ）+2，设t=2x -2-x ，y=t 2-2kt+2，求得对称轴，讨论与区间[0，]的关系，可得最小值，解方程即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（1，1） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）2．（5分）设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（∁R A）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为（）A．48里B．24里C．12里D．6里5．（5分）平面向量与的夹角为60°，，，则=（）A． B．C． D．6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣87．（5分）对于函数y=sin（2x﹣），下列说法正确的是（）A．函数图象关于点（，0）对称B．函数图象关于直线x=对称C．将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2x的图象D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到y=sin（x﹣）的图象8．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（f（））=（）A．﹣ B．C．D．09．（5分）在△ABC中，tanC=2，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD=2DC，则cosA=（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B．C．D．11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=12，S6=S11，则必有（）A．a17=0 B．a6+a12=0 C．S17＞0 D．a9＜012．（5分）已知函数f（x）=有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y﹣1=0上，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，A=60°，c=，则△ABC的面积为．14．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．15．（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是．16．（5分）数列{a n}满足：na n+2+（n+1）a n=（2n+1）a n+1﹣1，a1=1，a2=6，则a n=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0．（1）求角C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）已知数列{b n}的前n项和．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．19．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若λT n≤a n对一切n∈N*恒成立，求实+1数λ的最大值．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，．（1）求证：CE⊥平面PAB；（2）若，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的零点及单调区间；（2）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）求函数f（x）的值域；（2）设a、b∈{y|y=f（x）}，试比较3|a+b|与|ab+9|的大小．2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A．（1，1） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【解答】解：复数z===1﹣i，复数的共轭复数在复平面内对应点的坐标（1，1）．故选：A．2．（5分）设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（∁R A）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞）B．[﹣1，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，x∈R，得到y∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∴∁R A=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由集合B中的函数y=lgx，得到x＞0，∴B=（0，+∞），则（∁R A）∩B=（1，+∞）．故选：C．3．（5分）已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|【解答】解：∵x＞y＞z∴3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，∴x＞0，z＜0．由得：xy＞xz．故选：C．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为（）A．48里B．24里C．12里D．6里【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：C．5．（5分）平面向量与的夹角为60°，，，则=（）A． B．C． D．【解答】解：平面向量与的夹角为60°，，，∴，则====．故选：A．6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选：D．7．（5分）对于函数y=sin（2x﹣），下列说法正确的是（）A．函数图象关于点（，0）对称B．函数图象关于直线x=对称C．将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2x的图象D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到y=sin（x﹣）的图象【解答】解：A，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=1，故不正确；B，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=﹣1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，将它的图象向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，故不正确；D，将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数y=sin（4x﹣）的图象，故不正确．故选：B．8．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（f（））=（）A．﹣ B．C．D．0【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（）=f（）．∵f（x）=，∴f（）=4×﹣2=，∴f（f（））=f（）=．故选：C．9．（5分）在△ABC中，tanC=2，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD=2DC，则cosA=（）A．B．C．D．【解答】解：设DC=a，则BD=2a，tanC==2，∴AD=2DC=2a，∴AC==a，∴AB==2a，且BC=BD+CD=3a，由余弦定理可得cosA====，故选：B．10．（5分）函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A适合，故选：A．11．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=12，S6=S11，则必有（）A．a17=0 B．a6+a12=0 C．S17＞0 D．a9＜0【解答】解：在等差数列{a n}中，由S6=S11，得a7+a8+a9+a10+a11=0，即5a9=0，∴a9=0，则a6+a12=2a9=0．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y﹣1=0上，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．【解答】解：直线kx+y﹣1=0关于直线y=1的对称直线为﹣kx+y﹣1=0，则直线﹣kx+y﹣1=0与y=f（x）的函数图象有4个交点，当x＞0时，f′（x）=1﹣lnx，∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，作出y=f（x）与直线﹣kx+y﹣1=0的函数图象，如图所示：设直线y=kx+1与y=2x﹣xlnx相切，切点为（x1，y1），则，解得：x1=1，k=1，设直线y=kx+1与y=﹣x2﹣（x＜0）相切，切点为（x2，y2），则，解得x2=﹣1，k=．∵直线y=kx+1与y=f（x）有4个交点，∴直线y=kx+1与y=f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上各有2个交点，∴＜k＜1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，A=60°，c=，则△ABC的面积为．【解答】解：∵a=1，A=60°，c=，∴由余弦定理可得：1=+b2﹣2××b×cos60°∴b2﹣b﹣=0∴b=∴=故答案为：14．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．15．（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4．【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．16．（5分）数列{a n}满足：na n+2+（n+1）a n=（2n+1）a n+1﹣1，a1=1，a2=6，则a n=2n2﹣n．【解答】解：∵na n+（n+1）a n=（2n+1）a n+1﹣1，∴n（a n+2﹣a n+1）﹣（n+1）（a n+1+2﹣a n）=﹣1，∴﹣=﹣=﹣（），∴=﹣﹣﹣…﹣﹣+（6﹣1）=4+．﹣a n=4n+1．∴a n+1∴a n=[4（n﹣1）+1]+[4（n﹣2）+1]+…+（4+1）+1=+（n﹣1）+1=2n2﹣n故答案为：2n2﹣n．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0．（1）求角C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）由cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0．可得cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0，即为sin（B+C）=acosC，即有sinA=acosC，∵==sinC，∴sinC=cosC，即tanC=1，∴C=；（2）∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcos=1+ab，①，∵ab≤②，∴②代入①可得：a2+b2≤1+（a2+b2），∴a2+b2≤2+，当且仅当a=b时取到等号，即取到最大值2+时，A=B=．18．（12分）已知数列{b n}的前n项和．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由数列{b n}的前n项和，得b1=B1=1，当n≥2时，=3n﹣2．b1=1适合上式，∴b n=3n﹣2；（2）∵=（3n﹣2）•2n，∴，，∴=2+3•，∴．19．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项和，若λT n≤a n对一切n∈N*恒成立，求实+1数λ的最大值．【解答】解：（1）各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比．设公差为d，由已知得：，，联立解得d=1或d=0（舍去），a1=2，故：a n=n+1．（2）由（1）得：=，所以：+…+．=，=．对一切n∈N*恒成立，由于：λT n≤a n+1所以：，解得：=，由于：故：，即：λ≤16．故λ的最大值为16．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，．（1）求证：CE⊥平面PAB；（2）若，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．【解答】证明：（1）取AP的中点F，连结DE，EF，如图所示．因为PD=AD，所以DE⊥AP．因为AB⊥平面PAD，DE⊂平面PAD，所以AB⊥DF．又因为AP∩AB=A，所以DF⊥平面PAB．因为点E是PB中点，所以EF∥AB，且EF=．又因为AB∥CD，且CD=，所以EF∥CD，且EF=CD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，所以CE⊥平面PAB．解：（2）设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，则OG∥AB，因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，所以OG⊥AD．因为EC=，由（Ⅰ）知DF=，又因为AB=4，所以AD=2，所以AP=2AF=2=2=2，所以△APD为正三角形，所以PO⊥AD，因为AB⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，所以AB⊥PO．又因为AD∩AB=A，所以PO⊥平面ABCD．故OA，OG，OP两两垂直，可以点O为原点，分别以，，的方向为x，y，x轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．P（0，0，），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），E（），所以=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，2，﹣），=（﹣），设平面PDCpdc的法向量=（x．y．z），则，取z=1，则=（﹣，0，1），设EC与平面PDC所成的角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，因为α∈[0，]，所以，所以EC与平面PDC所成角的大小为．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的零点及单调区间；（2）求证：曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．【解答】解：（1）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零点为e，f′（x）=（x＞0）．令f′（x）=0，解得x=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（2）令g（x）=则g′（x）==f（x），因为f（）=4+4ln2＞4+4×=6，f（e）=0，且由（1）得，f（x）在（0，e）内是减函数，所以存在唯一的x0∈（，e），使得g′（x0）=f（x0）=6．当x∈[e，+∞）时，f（x）≤0．所以曲线y=存在以（x0，g（x0））为切点，斜率为6的切线．由g′（x0）==6得：lnx0=1﹣6所以g（x0）===﹣6x0．因为x0＞，所以＜2，﹣6x0＜﹣3．所以y0=g（x0）＜﹣1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）求函数f（x）的值域；（2）设a、b∈{y|y=f（x）}，试比较3|a+b|与|ab+9|的大小．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．∴||x﹣2|﹣|x﹣5||≤=|x﹣2﹣（x﹣5）|=3，故﹣3≤|x﹣2|﹣|x﹣5|≤3，即函数f（x）的值域为[﹣3，3]，（2）∵a，b∈{y|y=f（x）}，∴a，b∈[﹣3，3]，则﹣9≤ab≤9，则ab+9≥0，|ab+9|=ab+9，当a+b≥0时，|ab+9|﹣3|a+b|=ab+9﹣3a﹣3b=（a﹣3）（b﹣3）≥0，此时3|a+b|≤|ab+9|，当a+b＜0时，|ab+9|﹣3|a+b|=ab+9+3a+3b=（a+3）（b+3）≥0，此时3|a+b|≤|ab+9|，综上3|a+b|≤|ab+9|．。

和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是
否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是
相等时参数是否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
12.若不等式
对任意
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题.
【详解】不等式
去掉绝对值符号得
，
即
对任意
恒成立，
变量分离得
，只需
所以 a 的取值范围是
，即
故选：B
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
到直线
的距离
，
所以直线和圆相交，过圆心和 l 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求，
与 l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有 3 个点符合题意，
故选：C
【点睛】解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的
位置关系得出结论．
10.与直线
平行的抛物线 的切线方程是(
13.若实数 满足
，则 的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件可令 【详解】实数 满足
代入 2x-y 中，利用余弦函数的性质即可得到答案. ，令
则
，其中
，
由余弦函数的性质可知最小值为 ， 故答案为： 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用，考查辅助角公式和余弦函数性质的应用，属于基础题.

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合}3|1||{<-∈=x Z x A ，}032|{2>+--=x x x B ，则=B A （ ） A.)1,2(- B. )4,1( C. }0,1{- D.}3,2{ 【答案】C考点：集合的表示与集合运算.2.已知(12)43z i i +=+，则z =（ ）2【答案】D 【解析】试题分析：()()()()431-243105=2,z 12121-25i i i iz i i i i ++-===-∴=++故选D.考点：复数的运算与复数模的概念. 3．若)cos(1)24(sin 22x x--=+ππ，则=x 2sin （ ） A. 1- B. 0 C. 21D. 1 【答案】D 【解析】试题分析：由于)cos(1)24(sin 22x x --=+ππ，所以1-cos()221cos()2x x ππ+⨯=--，根据诱导公式可得sin cos tan 1x x x =∴=，，2222sin cos 2tan sin 22sin cos 1,sin cos 1tan x x xx x x x x x====++故选D.考点：三角恒等变换与诱导公式.4.已知向量)sin ,(cos θθ=, 向量)1,3(-=，则|2|-的最大值，最小值分别是（ ） A ．4，0 B ．24，4 C ．24，0 D ．16，0 【答案】A考点：平面向量数量积的运算及三角函数的最值.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A.34π B.332π C.π4 D.π16【答案】D 【解析】1的圆锥，设外接圆半径为R ，如图，()2213R R -+=，解得2R =，所以外接球的表面积为2416S R ππ==．故选D.考点：三视图与球的体积.6.已知y x ,满足约束条件34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ）A.2z x y =-B.2z x y =-+C.y x z --=21D.2z x y =+ 【答案】B考点：简单的线性规划.7．执行右边的程序框图，若7.0=p ，则输出的n 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B考点：程序框图中条件循环结构.8.柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（ ） A.51 B. 52 C. 53 D. 54 【答案】B 【解析】试题分析：由题意：可以先选出左脚的一只有13C 种选法，然后从剩下的两双的右脚中选出一只有12C 种选法，所以一共有11326C C =种不同的取法；又因为柜子里有6不同的鞋，随机选出两只，一共有2615C =种选法，所以概率为62155P ==，故选B. 考点：相互独立事件的概率乘法公式.9.已知函数x e y =，若)(x f 的图像的一条切线经过点)0,1(-，则这条切线与直线1=x 及x 轴所围成的三角形面积为（ ） A.e2B.1C. 2D. e 【答案】C 【解析】试题分析：设函数x e y =经过点)0,1(-的切线的切点为(,)a a e ，则|a x a y e ='=即切线的斜率为ae ，由斜率公式得0=,1a ae e a -+所以0a =，所以斜率01k e ==，切点为(0,1)，切线方程为1,y x =+其与直线1x =，及x 轴围成的三角形面积为12222S =⨯⨯=，故选C. 考点：利用导数研究曲线上某点的切线.10.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（ ）A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部【答案】A考点：棱柱的结构特征及面面垂直的应用. 11.过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by ax C 的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以的右焦点F 为圆心，半径为4的圆经过A,O 两点（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.112422=-y x B.19722=-y x C. 17922=-y x D. 141222=-y x【答案】A 【解析】试题分析：由题意知：4c =，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，令x a =，则y b =，即(),A a b ，右焦点()4,0F ，4FA =，()22416,a b ∴-+=又2216,a b +=2,a b ==所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选A. 考点：双曲线方程与简单几何性质.【方法点晴】本题考查了双曲线的方程与简单几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题.取曲线方程通常用待定系数法，先定型（确定焦点位置，本题中已经明确），再定量,解题的难点是根据题目条件，构造待定系数的方程组，本题中根据其几何性质求得A 的坐标是解答的关键，同时应把握好基本量,,a b c 之间的不变关系222a b c +=.12.已知函数)(x f 对定义域R 内的任意x 都有)4()(x f x f -=，且当2≠x 时导函数)(x f '满足 )(2)(x f x f x '>'，若42<<a ，则（ ）A.)(log )3()2(2a f f f a <<B. )2()(log )3(2a f a f f <<C. )2()3()(log 2a f f a f <<D. )3()2()(log 2f f a f a << 【答案】C考点：函数的单调性与导数的应用.【方法点晴】本题考查了抽象函数及其应用，利用导数研究函数的单调性，判断函数()f x 在区间(),2-∞和()2+∞，上的单调性时解答本题的关键，同时把握好条件“)(x f 对定义域R 内的任意x 都有)4()(x f x f -=”，实质上是告诉了函数的对称性，可在递推关系中用"2x"+代替""x ，可得()()2+=2-f x f x ，所以其图象关于2x =对称，整体上属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数)0(21sin >=ωωx y 在),0(π内是增函数，则ω的取值范围是 .【答案】]1,0( 【解析】试题分析：因为函数)0(21sin >=ωωx y 在),0(π内为增函数，可得122πωπ≤，求得1ω≤，故答案为(]0,1考点：正弦函数的单调性.14.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 且倾斜角为︒60的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于B A ,两点，则=||||BF AF . 【答案】3考点：抛物线的定义、方程与几何性质.15.给出下列4个函数：①x x f sin )(=；②x x f 2)(=；③11)(-=x x f ；④x x f ln )(=，则满足对定义域D 内的D x ∈∀，D y ∈∃,使)()(y f x f -=成立的函数序号为 . 【答案】①③④ 【解析】试题分析：对于①x x f sin )(=，由于1sin 1x -≤≤，关于原点对称，满足对定义域D 内的D x ∈∀，D y ∈∃,使)()(y f x f -=成立；对于②x x f 2)(=，由于20x>，不关于原点对称，则不满足对定义域D 内的D x ∈∀，D y ∈∃,使)()(y f x f -=成立；对于③11)(-=x x f ，定义域为{}|x 1x R ∈≠，值域为{}|0y R y ∈≠关于原点对称，满足对定义域D 内的D x ∈∀，有11=11x y ---等价于2x y +=恒成立，则满足条件；对于④x x f ln )(=，由于其值域为R ,关于原点对称，()()f x f y =-等价于ln =ln ,1x y xy -∴=恒成立，满足条件,所以成立的序号为①③④.考点：函数的恒成立问题.【方法点晴】本题考查了函数值域的应用，考查学生对常见基本初等函数性质的综合应用，对运算能力要求较高，属于中档题.解答本题时，关键是对条件 “对定义域D 内的D x ∈∀，D y ∈∃,使)()(y f x f -=成立”的理解，本质上是对函数的值域提出了限定条件，也就是要求函数的值域应当满足关于原点对称，这样只需要求出各个函数的值域即可.16.正三角形ABC 的边长为2，F E D ,,分别在三边CA BC AB ,,上，D 为AB 的中点，DF DE ⊥，且DE DF 23=，则=∠BDE . 【答案】60考点：利用正弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用好DF DE ⊥这个条件，得到90BDE ADF ∠+∠=,从而可设BDE θ∠=，结合正三角形，分别在BDE ∆和ADF ∆中利用正弦定理表示出,DE DF ，这样就可以利用条件DE DF 23=来建立BDE ∠三角函数之间的关系，从而求得其正切值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428,a a a ++= 且23+a 是42,a a 的等差中项.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n n n n a a b 2log )1(-+=，其前n 项和为n T ，求12-n T . 【答案】(1) 12n n a -=； (2) 212122n n T n --=+-. 【解析】考点：等比数列的通项公式与数列求和. 18.（本小题满分12分）某气象站观测点记录的连续4天里，AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y （单位cm ）的情况如下表1：M900700300100y0.5 3.5 6.5 9.5哈尔滨市某月AQI 指数频数分布如下表2：M]200,0[]400,200( ]600,400( ]800,600( ]1000,800(频数3 6 12 6 3（1）设100Mx =,根据表1的数据，求出y 关于x 的回归方程； （参考公式：a x b yˆˆˆ+=；其中2121ˆxn x yx n yx b ni i ni ii --=∑∑==，x by a ˆ-=） （2）小张开了一家洗车店，经统计，当M 不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M 在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M 大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入.【答案】（1）4412021ˆ+-=x y；（2）5500元. 考点：线性回归方程.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ,8,6==BD AC ,E 是棱PB 上的动点，AEC ∆面积的最小值是3.（1）求证：DE AC ⊥； （2）求四棱锥ABCD P -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）15（2）解：连接EF EC ,∵CD AD =且⊥PD 平面ABCD ，∴PC PA =又∵AC AB =且PB 为公共边，则PAB ∆≌PBC ∆,∴EC EA =,则AC EF ⊥…6分 ∵6=AC , ∴EF EF AC S AEC 321=⋅=∆ 当AEC ∆面积的最小值是3时，EF 有最小值1…………………8分 ∵当PB EF ⊥时，EF 取最小值，∴1522=-=EF BF BE , 由BD BE PD EF =，得158=PD ,又24862121=⨯⨯=⋅=BD AC S ABCD ……………10分 故151564158243131=⨯⨯=⋅=-PD S V ABCD ABCD P …………………12分 考点：直线与平面的垂直关系，棱柱、棱锥、棱台的体积. 20.（本小题满分12分） 已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，B 是椭圆的上顶点，2BF 的延长线交椭圆于点A ，过点A 垂直于x 轴的直线交椭圆于点C .（1）若点C 坐标为)31,34(，且2||2=BF ，求椭圆的方程；（2）若AB C F ⊥1, 求椭圆的离心率.【答案】(1) 1222=+y x ；(2) 5．（2）已知),0(),0,(),0,(21b B c F c F -，设),(y x A ，∵x AC ⊥轴，∴),(y x C -， 则),(2b c BF -=),(1y c x F -+=，),(2y c x F -=，∵A F C F 21⊥，∴022221=--=⋅y c x A F C F ①……………………………6分 ∵A 在椭圆上，∴12222=+by ax ② 由①②解得22422242,b a b y ba a x +=+=………7分∵A 在第四象限，∴222222,ba b y ba a x +-=+=③又∵2,,F B A 三点共线，∴2BF ∥A F 2, 故bx bc cy -=，④………………9分 将③代入④得222222b a b a bc b a c b +-=+-，整理得022=-bc b ，即c b 2=，………11分则225c a =，故55==a c e …………………12分 考点：椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系的综合应用，要熟练掌握求解椭圆方程的基本方法——待定系数法，牢记椭圆中三个基本量,,a b c 之间的固定关系222a b c =+，本题中两问都要用到这一关系，平面几何中的垂直关系通常利用向量的数量积转化为坐标的关系，本题中通过解方程组求得A 点的坐标，为后面建立,b c 之间的关系提供保证，这跟通常“设而不解”的做法区别所在. 21.（本小题满分12分）已知函数1)(+=x x xe e x f .（1）证明：1)(0≤<x f ；（2）当0>x 时，11)(2+>ax x f ，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）),21[+∞.试题解析：（1）∵0≠x e ，∴xe x xf -+=1)(，令x e x x g -+=)(，由x e x g --='1)(=0解得0=x ，x)0,(-∞),0(+∞)(x g ')(x g↘ 极小值1 ↗∴1)(≥x g ， 故1)(0≤<x f …………………5分 （2）①若0=a ，则0>x 时， 111)(2+=<ax x f ，不等式不成立；…………6分②若0<a ，则当ax -<<10时，1112>+ax ，不等式成立；………………7分③若0>a ，则11)(2+>ax x f 等价于01)1(2>-+-x e x ax考点：利用导数研究函数的单调性，导数在求函数的最值中的应用.【方法点晴】本题考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性、最值等函数中的基本题型，考查学生分析问题及利用所学知识解决问题的能力，对数学思想的考查也非常丰富，两问都涉及到了转化与化归的数学思想，第二问还用到了分类讨论，思维量、运算量大，属于难题，解答过程中，时刻注意把要解决的复杂分式结构的函数转化为简单的整式结构，也就会构造新函数，解决起来就方便的多，体现了化繁为简的解题原则.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若BC MC =.（1）求证：△APM ∽△ABP ； （2）求证：四边形PMCD 是平行四边形.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：(1)由切割线定理及N 是PM 的中点，可得2PN NA NB = ，进而PN NANB PN=，结合PNA BNP ∠=∠，可得PNA ∆∽BNP ∆，则APN PBN ∠=∠即APM PBA ∠=∠，再（22题图）由MC BC=，可考点：与圆有关的线段成比例问题及三角形相似的判定. 23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以坐标原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴，已知曲线C的参数方程为θθθ（⎩⎨⎧==sin 2cos 2y x 为参数），M 为曲线C 上任一点，过点M 作x 轴的垂线段MN ，垂足为N, MN 中点P 的轨迹方程为C '. （1）求曲线C '的参数方程；（2）已知曲线C '上的两点)2,(),,(21πθρθρ+B A ]),0[(πθ∈，求A O B ∆面积的最小值及此时θ的值. 【答案】（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）45，4π或34π．【解析】试题分析：(1)根据曲线C 的参数方程，结合P 是的中点，求出P 点的轨迹方程，即曲线C '的参数方程；（2）根据曲线C '的参数方程得出C '是椭圆，且椭圆C '的两点,A B 与O 构成直角三角形，利用极坐标的意义求出AOB ∆面积的表达式，再利用基本不等式求出面积的最大值与对应θ的值.考点：参数方程与普通方程的互化.24．（本小题 满分10分）选修4—5；不等式选讲．对于任意实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，试求实数x 的取 值范围． 【答案】39[,]44. 【解析】试题分析：分类讨论，当0a ≠时，原不等式转化为|2||1||||2|||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，故|1||2|x x -+-小于或等于|||2|||a b a b a ++-的最小值，换元处理设t a b=，利用绝对值三角不等式得到|||2|||a b a b a ++-的最小值，写出分段函数即可得出结论.试题解析：原式等价于|2||1||||2|||-+-≥-++x x a b a b a ，设t ab=，则原式变为|2||1||12||1|-+-≥-++x x t t 对任意t 恒成立． ·········· 2分考点：绝对值三角不等式.。