北师大版初二数学上册2.3 立方根

《立方根》 《立方根》是义务教育教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》第三节．本节内容1个学时完成．主要是通过对立方根与平方根的类比，探索立方根的概念、计算和简单性质．因此，除了具体的知识技能以外，关注学生的学习方法培养，渗透数学思想方法也是教师教学过程中的关注点．【知识与能力目标】 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同【过程与方法目标】在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.【情感态度价值观目标】当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.【教学重点】立方根的概念.【教学难点】2. 教学目标1. 教材分析3. 教学重难1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.一、创设情境，引出课题课件展示：某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？（球的体积公式为334R＝v，R为球的半径）提问：怎样求出半径R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识．目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望．效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学习热情，？又很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于4，从而顺利引入新课．二、探索新知复习引入、类比学习提问：（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？（3）平方和开平方运算有何关系？（4）算术平方根和平方根有何区别与联系？5.教学过程强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0．（5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运算？1．一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）．2．一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根．目的：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生用类比学习法学习立方根知识．初步探究1做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？ （1）001.0 3＝）（ ； （2）6427 3＝－）（ ； （3）0 3＝）（． 目的：通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a 的取值分别选为正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法．2议一议：（1）正数有几个立方根？（2）0有几个立方根（3）负数呢？意图：提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．3在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理（1）每个数a 都只有一个立方根，记为“3a ”，读作“三次根号a ”．例如x 3=7时，x 是7的立方根，即37=x ；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略．（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．（3）求一个数a 的立方根的运算叫做开立方(extrct ion of cubic root) , 其中a 叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．效果：学生通过类比学习，初步掌握立方根的概念，能用符号语言表示一个数的立方根．尝试反馈，巩固练习内容：例1求下列各数的立方根：（1）27－；（2）1258 ； （3）833； （4）216.0；（5）5－．解：（1）因为2733＝－）（－，所以27－的立方根是3－，即3273＝－－； （2）因为1258523=⎪⎭⎫ ⎝⎛，所以1258的立方根是52，即5212583＝； （3）因为833827233＝＝）（，所以833的立方根是23，即238333＝； （4）因为216.06.03＝）（，所以216.0的立方根是6.0，即6.0216.03＝； （5）5－的立方根是35－．例2 求下列各式的值：（1）;83- （2）;064.03 （3）31258-； （4）()339． 解：（1）38-=()2233-=-； （2）3064.0=()4.04.033=；（3）31258-=525233-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-； （4）()339=9． 反馈练习1．求下列各数的立方根： 2．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？目的：例1着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法．例2则巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质．效果：学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，如：().8283273228333333333＝）＝（；＝＝；＝－－＝ -引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．深入探究想一想：（1）3a 表示a 的立方根，那么()33a 等于什么？33a 呢？（2）3a －与3a －有何关系？目的：明晰()33a =a ，33a =a说明：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，可以引导学生分析，如果3x =a ,那么x 就是a 的立方根，即x =3a ,所以3x =()33a =a , 同样，根据定义，3a 是的a 三次方，所以3a 的立方根就是a , 即a a =33，3a－=3a － 三、归纳总结：内容1：提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，得出下列内容：1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根．2．在学习中应注意以下5点：（1）符号3a 中根指数“3”不能省略；（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；（3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；负数没有平方根，但却有一个立方根；（4）灵活运用公式：(3a )3=a , a a =33，3a －=3a －； （5）立方与开立方也互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．效果：通过小结，学生进一步加深了对类比学习方法的感受，对所学的知识进行了梳理，学习更有条理性．内容2：回顾引例某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？如有时间，学生能力许可，还可以安排学生探究下列问题：1．回顾上节课的内容：已知01822＝-x ，求x 的值．2．求下列各式中的x ．()()--=+=-=x x x x 3435(1)8＋27＝0； （2）10.3430; (3)81116；（4）3210.目的：回顾引例，使得教学环节更完整，同时体现了数学的实用价值．安排有层次的探究问题，可更好地调动不同学生的学习热情，让学生通过练习解决有关问题，培养学生综合解决问题的能力．效果：学生通过引例的解决，体会到了立方根及开立方运算的实用性，并类比应用方法解决（3）（4），培养并形成能力．略。

数学八年级上[北师大版]
2.3 立方根
学习目标
知识与技能目标 1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根． 2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆 运算． 3．了解立方根的性质． 4．区分立方根与平方根的不同． 过程与方法目标 1．经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些 基本方法和策略． 2．在学习了平方根的基础上，经历用类比的方法学习立方根的 有关知识，领会类比思想． 3．通过对立方根性质的探究，在探究中培养逆向思维能力和分 类讨论的意识． 情感与态度目标： 1．在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养联系 实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神． 2． 通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．
4＝ 2.
3 －8＝－2.
2．平方根的性质
一个正数有两个平方根；0只有 一个平方根，它是0本身；负数 没有平方根．
2．立方根的性质
正数的立方根是正数；负数的 立方根是负数；0的立方根是0．
立方根
立方根的表示方法：
注意:这个根指数 3是绝对不可省的.
3
3叫做根指数
a
a叫做被开方数
立方根
3
x 1 0.7， x 1.7.
(3) 81 x 1 16, 16 4 x 1 , 81 16 4 x 1 , 81 2 x 1 , 3 5 1 x 或x . 3 3
(4) 32 x 5 1, 1 5 x , 32 1 x . 2
a a,
3 3
3
a 3 a,
3
a 3 a ；
（5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可以用 立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是 另一个数的立方根．

2、 复习回顾
3、类比得到概念
4、巩固 概念
5、运用知识，解决问题，形成数学意识
6、达标检测
7、归纳总结。Байду номын сангаас
8、布置作业
1、思考问题的引入
2、复习回顾
3、小组讨论，并得到概 念
4、巩固概念，完成练习
5、学以致用
6、完成达标检测
7、归 纳总结，形成知识网络 。
8、记好作业
检测
书P46习题2.5 1，2，3
独立完成
书P46习题2.5 1，2，3
课题
2.3立方根
教
学
重点
立方根的概念及 计算
难点
立 方根的求法，立方根与平方根的联系及区别
方 法
1、小组合作探究学习、2 教师指导学习、 3讲解法、4类比法
手段
多媒体,PP T
达标检测
必做题
书P46随堂练习1、2
选做题
教学过程
课堂模式
教师活动
学生活动
目标
通过练习引出展示教学目标
阅读理解目标
导学
1、创设情境，引入新课

北师大版八年级数学上册《2.3立方根》自主达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列说法正确的是（）A．0的立方根和平方根都是0B．1的平方根和立方根都是1C．﹣1的平方根和立方根都是﹣1D．0.01是0.1的平方根2．下列说法中，正确的是（）A．﹣32＝9B．|﹣3|＝﹣3C．＝﹣4D．＝±3 3．若一个正方体的体积是8，则它的棱长是（）A．±2B．2C．2D．44．已知一个数x的两个平方根是3a+2和2﹣5a，则数x的立方根是（）A．4B．±4C．8D．±85．有个数值转换器，程序原理如图．当输入m＝27时，输出n的值等于（）A．3B．C．D．6．下列各式：①＝±3；②；③＝0.6；④±＝±5；⑤＝﹣2；⑥＝﹣3．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．﹣64的立方根与的平方根之和是（）A．﹣7B．5C．﹣13或5D．﹣1或﹣7 8．已知一列实数：﹣1，，，﹣2，，，⋯⋯则第2021个数是（）A．B．C．D．2021二．填空题（共8小题，满分40分）9．﹣的立方根是．10．的算术平方根是；＝，3的平方根是；的立方根是．11．若a的算术平方根为4，2b+4的立方根为2，c是平方根等于本身的数，则a+2b+c的值为．12．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长扩大为原来的倍．13．已知，则＝．14．若，则x与y的数量关系为．15．的平方根是；若，则x＝；若，则x＝．16．已知5x﹣2的立方根是﹣3，则x+69的算术平方根是．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解方程：（1）＝﹣4（2）12（2﹣x）2＝24318．已知+＝0，求的值．19．已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根，b的立方根是﹣2，c算术平方根是其本身，求2a+b﹣3c的值．20．已知正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，且＝4．求x﹣2y+2的值．21．一个底面为25cm×16cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个正方体铁桶中，当铁桶装满时，玻璃容器中的水面下降了20cm，求正方体铁桶的棱长．22．（1）填表：a0.0000010.001110001000000（2）根据你发现的规律填空：①已知，则＝，＝．②已知＝0.07696，则＝．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：A.0的立方根是0，0的平方根也是0，因此选项A符合题意；B.1的平方根是±1，1的立方根是1，因此选项B不符合题意；C．由于负数没有平方根，因此选项C不符合题意；D.0.1是0.01的一个平方根，因此选项D不符合题意；故选：A．2．解：A、﹣32＝﹣9，故A错误，不符合题意；B、|﹣3|＝3，故B错误，不符合题意；C、＝﹣4，故C正确，符合题意；D、＝3，故D错误，不符合题意；故选：C．3．解：设正方体的棱长为a，则：a＝＝2．故选：B．4．解：∵一个数x的两个平方根是3a+2和2﹣5a，∴3a+2+2﹣5a＝0，解得：a＝2，则x＝（3×2+2）2＝64，∴64的立方根是4．故选：A．5．解：当m＝27时，∴＝3，由于3是有理数，所以继续取立方根，∴此时是无理数，输出n＝，故选：C．6．解：∵＝3，，＝0.6，±＝±5，＝2，＝﹣3，∴语句①，③，⑤表述不正确，语句②，④，⑥表述正确，故选：B．7．解：﹣64的立方根是﹣4，的平方根，即9的平方根为±3，﹣4+3＝﹣1，﹣4+（﹣3）＝﹣7，所以结果为﹣1或﹣7，故选：D．8．解：由题意得，该组数据中第3n个数是，第3n+1个数是﹣（3n+1），第3n+2个数是，∵2021÷3＝673…2，∴第2021个数是，故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：因为（﹣）3＝﹣，所以﹣的立方根是﹣，故答案为：﹣．10．解：∵＝9，9的算术平方根是3，∴的算术平方根是3；＝﹣2，3的平方根是±；的立方根是＝．故答案为3；﹣2；±；．11．解：因为a的算术平方根为4，所以a＝16；因为2b+4的立方根为2，所以2b+4＝8，所以b＝2，因为c是平方根等于本身的数，所以c＝0；所以a＝16，b＝2，c＝0．所以a+2b+c＝16+2×2+0＝20．故答案为：20．12．解：设正方体的棱长为a，∴正方体的体积为a3，∴正方体的体积扩大为原来的8倍后，体积为8a3，∴此时棱长为2a，即它的棱长扩大为原来的2倍，故答案为：2．13．解：∵a2＝81，∴a＝±9．∵＝﹣2，∴b＝﹣8．∵b﹣a≥0，∴a＝﹣9，b＝﹣8．∴＝＝1．故答案为：1．14．解：∵+＝0，∴＝﹣∴＝，∴x＝﹣y，∴x+y＝0，故答案为：x+y＝0．15．解：∵＝3，（±）2＝3，∴的平方根是，∵＝﹣，∴若，则x＝﹣，∵63＝216，∴＝6，∴|x|＝216，∴x＝±216，故答案为：，﹣，±216．16．解：∵5x﹣2的立方根是﹣3，∴5x﹣2＝﹣27，解得：x＝﹣5，∴x+69＝﹣5+69＝64，∴x+69的算术平方根是8；故答案为：8．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）（x﹣1）3＝﹣4，（x﹣1）3＝﹣8，x﹣1＝﹣2，x＝﹣1；（2）12（2﹣x）2＝243，（2﹣x）2＝，2﹣x＝±，x＝或x＝﹣．18．解：∵+＝0，∴1﹣2x＝﹣（3y﹣1），∴2x＝3y，∴＝．19．解：∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．c算术平方根是其本身∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，c＝0或1，解得a＝4．当a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣0＝0；当a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣3＝﹣3．20．解：∵x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解之，得a＝4，∴x＝（a+3）2＝49，∵＝4，∴49+y﹣2＝64，解之，得y＝17，即x＝49，y＝17，∴x﹣2y+2＝49﹣2×17+2＝49﹣34+2＝17．21．解：设正方体的棱长为xcm，根据题意得：x3＝25×16×20，解得：x＝20．则正方体的棱长为20cm．22．解：（1）＝0.01；＝0.1，＝1，＝10，＝100，（2）①已知，则＝14.42，＝0.1442；②已知＝0.07696，则＝0.7696．故答案为：14.42，0.1442，0.7696．。