线段的计算与证明

1、如图，点C 、D 为线段AB 上两点，AC ＋BD ＝a ，且AD ＋BC ＝57AB ，则CD 等于 。

（用含a 的式子表示）。

（a 32）2、已知，如图，B 、C 两点把线段AD 分成2∶5∶3三部分，M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长。

知识点一 基础线段问题 【知识梳理】1、常考题型：线段基本概念、线段计数、线段中点问题、方程思想求线段长度、分类讨论线段上点的位置关系、线段与数轴、绝对值结合的动点压轴问题等；2、常用方法：设元法、方程思想、分类讨论等；3、线段的中点、等分点对应的线段关系（1）概念：把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。

（2）画图并思考①若点C 为线段AB 上任意一点（点C 不与A 、B 重合），点M 为线段AC 的中点，点N 为线段BC 的中点，则线段MN 与AB 有什么数量关系？②若点C 为线段AB 上任意一点（点C 不与A 、B 重合），且2AC=5BC ，问AC 与AB 、BC 与AB 的数量关系？【例题精讲一】线段的基础计算1、已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使AC ＝2BC ，在AB 的反向延长线上取一点D ，使DA ＝2AB ，则线段AC 是线段DB 的 倍。

（32）2、已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长度。

3、（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的的长度；（2）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改写成“点C在线段AB延长线上”，其他条件不变，画出图形并求线段MN的长度。

【课堂练习】1、已知点A、B、C在直线l上，若BC＝53AC，则BCAB＝。

（2585或）2、如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，AC=12cm。

（1）若EC:CB=1：4，求线段AB的长；（20cm）（2）若F为CB的中点，求线段EF的长。

一、平行线等分线段定理特别关注1、对平行线等分线段定理及其推论的考查（重点）。

2、本课侧重于有关计算的考查与证明（难点） 教材导读1、平行线等分线段定理（1）如果一组 在一条直线上 ，那么这组平行线 。

（2）用符号语言表述：已知a ∥b ∥c,直线m 、n 分别与a 、b 、c 于点A 、B 、C 和C B A '''、、，如果 ，那么 。

2、平行线等分线段定理的推论(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 。

（2）推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分 。

基础自测1、如图，1l ∥2l ，OE=EF ，则下列结论成立的是（ ） A .ＡＢ＝ＥＦ＝ＣＤ B.ＯＣ＝ＣＤ，ＯＡ＝ＡＢ C.ＤＦ＝ＢＦ，ＣＥ＝ＡＥ D.ＯＡ＝ＯＥ＝ＯＣ2、已知AB ∥CD ∥EF ，AF 交BE 于O ，且OA=OD=DF ，若BE=60厘米，那么OB= 厘米。

3、如图，AF=FD=BD,FG ∥DE ∥BC,若EP=1,则BC=4、已知：Rt △ABC 中，∠ACB=90º,D 为BC 边的中点，ED⊥BC 交AB 于E ，求证：AB=2CE.对点讲练题型一 平行线等分线段定理【例1】E 为□ABCD 对角线的交点，过点A ，B ，C ，D ，E 分别向直线l 引垂线，垂足分别为A ’，B ’，C ’，D ’，E ’．求证：C B D A ''=''【练习1】已知RT △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 边的中点，ED ⊥BC 交AB 于E ，求证：AB=2CE 。

题型二 利用定理及推论进行计算【例2】如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD=6，求BE 的长。

【练习2】如图在正方形ABCD 中，O 是两条对角线AC 与BD 的交点，作OF 平行于CD 交AD 与点F,且正方形边长等于12，求AF 的长。

AE
判定
等边△ 平行
中位线
角90°
课堂小结
说说你的收获！
课堂小测
在Rt△ABC中,∠ACB= 90°, D是AB边上的一点,以BD为直 径作⊙0交AC于点E,连接DE 并延长,与BC的延长线交于点 F,且BD=BF. (1)求证: AC与⊙O相切.
(2)若BC=6,AB=12,求⊙0的面积.
（2）如果直线与圆没有明确的交点，则过 圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半 径，即“无交点，作垂直，证半径”．
运用技巧 类型一：“有交点，连半径，证垂直”． 1.如图AB=AC，AB为⊙O的直径，⊙O 交BC于D，DM⊥AC于M ． 求证：DM与⊙O相切．
【难点在于如何证明两线垂直】
运用技巧 类型二：“无交点，作垂直，证半径”． 2．如图，已知OC平分∠AOB，D是OC 上求任证一：点OB，与⊙—⊙D—D与—相O—切A—相．—切—于—点—E —． 垂直或直角三角形
构造思想——运用相似三角形对应边成比 例，或三角函数边角的关系、勾股定理等 找出隐藏的线段之间的数量关系，建立数 学模型，利用方程的思想，设出未知数表 示关键的线段，再运用线段之间的数量关 系建立方程来解决问题。
拓展提高
在等边△ABC中,以BC为直径的⊙0与
AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证:DE为⊙0的切线. (2)计算 CE .
(2) 若∠CAB=30°,AB=10,求线段BF的长.
【方法点拨】连接切点和圆心构造垂直 或直角三角形.
实战中考
变式训练:如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O 与PA相切于点C． （1）求证:直线PB与⊙O相切； （2）PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的 半径为3,PC=4.求弦CE的长．

关于a b±=型的线段关系证明方法一、由a b±=想到什么？12.通过构造等腰直角三角形，证明如a b±=型的线段关系应注意：c对应的是等腰直角三角形的直角边，a b±是直角边；二、范例讲解；例1，点E是正方形ABCD的边AB上一点，连结BD、DE，过点E作D E⊥DF交BC 的延长线于点F，求证：例2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、DC相交于点F，连结AF，求证：；FCDABEFB例3．如图正方形ABCD 中，P 为CD 上一点，D G ⊥AP 于点G ，∠GDN=45，DN 交AP 的延长线于点N ，连结BN 。

求证：A B例4正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上一点，若EG 经过点P ，交AB 于E ，交CD 于G ，过P 作H F ⊥EG 交AD 于H ，交BC 于F ，判断CF 、CP 、CG 之间的数量关系。

HEABG例5，如图，已知点P为等腰直角△ABC的直角边BC上任一点，E为直角边AC上一点，∠CBE=∠PAB，G为AP的延长线上一点，且GB=AB，求证：GCA B21．过正方形ABCD的顶点A作线段AE使DC=DE，交DC于G，作D F⊥AE，连接CE。

（1）若∠CDE=60°，AB=1，求DF的长；（2）作∠CDE平分线，交AE 于P，交CE与Q，连接BP，求证：DP+BP=AP；（3）若AD=2，DF=1，求PQ的长。

24。

（5月调考试题）正方形ABCD 中，点E 为DC 上一动点，过点E 作E F ⊥AC 于点F ，延长BF 、AE 交于点G ， （1）：求证：CDCFCE AC ； （2）：求证：AG+CG=2BG ；24．（本题10分）如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°． （1）求证：AD ＝BD ；（2）E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ，求证：AD +CD ＝DE ； （3）当BD ＝2时，AC 的长为______．（直接填出结果，不要求写过程）GD B C DCED A B CP 图1A B C DE G 图2G P N ED C B A 24．（本题10分）已知,如图Rt ABC ∆中，∠BAC =90°，AB =AC . AC 边上有点D ，连接BD , 以BD 为腰作等腰直角△BDE , DE 交BC 于F .（1）求证：△ABD ∽△CBE .（2）连接CE ,求证：BC －CE =2CD.（3）若AB =2,D 为AC 的中点，请直接写出线段DF 的长度为 。