波浪理论

第6章 水波理论据统计在海面上大约70%的时间发生海浪，海浪使舰船摇摆、击水并产生波浪增阻，波浪还会周期或随机地冲击海上钻井平台、海工结构物、海底管线、海岸堤坝和港口；另一方面，水面舰船或近水面航行体兴起的波浪将使舰船遭受兴波阻力。

因此，合理地设计和建造船舶、海洋或海岸结构物，必须考虑海浪的影响，水波理论也就成为从事上述领域的工程技术人员必须掌握的基础知识。

海洋中存在着各种各样的波动，如阵风作用的风波、船体扰动的船行波、太阳和月亮引力作用的潮汐波、海底摇荡产生的地震津波，还有压缩性引起的声波、表面张力引起的毛细波等。

这些波动形成的原因虽然不同，但是其物理本质是一样的，即恢复力与惯性力的动态平衡。

风波和船行波的恢复力是重力。

本章讨论在重力作用下具有自由面的不可压缩理想流体的波动，即与船体尺度相当的风波和船波，这种波动主要发生在水（液体）表面附近，因此称为水表面波、水波或重力波。

水波可分为线性波和非线性波，这里仅介绍线性波，重点讲述线性简谐波的数学描述、运动特性和能量概念，为进一步研究非线性波以及波浪与结构物的相互作用打下基础。

6.1 水波问题的基本方程和定解条件6.1.1 基本方程我们知道，重力场中处于静止状态液体的自由面必为水平面。

在某种扰动（如风压或船体压力）的作用下引起凸凹不平，其液面离开了自己的平衡位置，而重力则力图使凸起的液面回到原来的平衡位置；这时惯性的作用驱动液面再次离开平衡位置，重力又使其恢复；流体的这种往复运动以波的形式在整个自由面上传播，形成波浪。

当外界扰动停止后，水的粘性将使波浪运动衰减并逐渐消失，但这种衰减过程极其缓慢，以至于可忽略粘性影响。

即使有粘性影响，仅局限于水底面附近很薄的边界层内。

因此，在波浪理论中假定水是不可压缩的理想流体。

根据Kelvin 定理，对于不可压缩或正压的理想流体，如果质量力有势，则原来处于静止状态的水受某种扰动后的运动将永远是无旋的。

综上所述，研究水波问题基于以下基本假定：(1) 流体是不可压缩的，在重力场中运动；(2) 流体是理想的，忽略粘性； (3) 流体的运动无旋，存在速度势ϕ，且ϕ∇=v 。

此外，我们仅考虑波长较大（与船体尺度相当）的波浪，不计表面张力。

取水在静止状态时的自由面为xoy 平面，z轴垂直向上，设水底深度为h(x,y)，扰动后的自由面或波面形状为),,(t y x z ζ=，如图6.1.1所示。

图中a 称为波幅，λ 称为波长，波面ζ的极大值称为波峰，极小值称为波谷。

对于不可压缩流体的无旋运动，存在速度势),,,(t z y x ϕ，它满足Laplace 方程图6.1.10),,,(2=∇t z y x ϕ（在流体中） （6.1.1）只要解出速度势ϕ，即得速度场ϕ∇=v ，然后根据Lagrange 方程)(212t f gz V p t =+++∂∂ρϕ （6.1.2） 得到压力场。

下面给出方程（6.1.1）应满足的边界条件和初始条件。

6.1.2 边界条件及其线性化1. 边界条件（1）底面条件在静止的底面),(y x h z -=上，流体不可穿透，有0=∇⋅=∂∂ϕϕn n（6.1.3） 式中n 为法线方向。

记底面方程为0),(=+=y x h z F ，以F F ∇∇±=n 代入上式得底面条件)),((0y x h z zy h y x h x -==∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂ϕϕϕ. （6.1.4） 如果底面是水平面，即const h =，则底面条件简化为 )(0h z z-==∂∂ϕ （6.1.5）（2）自由面运动学条件 自由面是重力场中水与空气之间的界面，它是由流体质点组成的流体面，在运动过程中自由面上的流体质点始终位于自由面上，即自由面上流体质点的法向速度与自由面本身的法向速度相同，但质点可以沿切向滑移。

记自由面方程为0),,(=-=t y x z F ς，由式（5.1.6）得自由面上的运动学条件为)(ζζϕζϕζϕ=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂z yy x x t z （6.1.6）（3） 自由面动力学条件 在自由面上流体的压力const p p ==0，将其代入（6.1.2）式得自由面上的动力学条件2011()2p V g f t t ϕζρ∂+++=∂ （6.1.7）令⎰-+=tdt t f t p 0101)(ρϕϕ显然v =∇=∇ϕϕ1，可将1ϕ作为原流场速度势而不影响速度场的求解。

把上式代入式（6.1.7），并略去下标“1”得自由面上的动力学条件())(211ζϕϕϕζ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅∇+∂∂-=z t g （6.1.8）自由面边界条件式（6.1.6）及（6.1.8）是水波运动速度势在自由面),,(t y x z ς=上应满足的一般条件式。

水波动力学问题研究的未知量有速度势ϕ、压力p 和自由面形状),,(t y x ζ，由于在问题解决之前自由面函数ζ是未知的，而且自由面条件式的右端均含有非线性项，因此它们是在未知的自由面边界上满足的非线性方程，求解十分困难。

如果我们考虑微幅波（或小振幅波），则自由面边界条件可以简化。

2． 自由面条件的线性化微幅波假定：（1）波幅与波长及水深之比均为小量，即1<<λa ，1<<ha （见图6.1.1）。

它表明波面ζ 偏离静水面0=z 是小量，波倾角x∂∂ζ和y ∂∂ζ也是小量，这样就可以把在未知波面ζ=z 上满足的条件式（6.1.6）及（6.1.8）近似为在0=z 上满足。

（2） 流体质点的运动速度也是小量，即1<<∇ϕ。

由此可略去条件式（6.1.6）和（6.1.8）右端的高阶小量而只保留线性项。

基于以上假定的线性化运动学和动力学自由面条件成为 )0(=∂∂=∂∂z z t ϕζ (6.1.9) )0(1=∂∂-=z t g ϕζ. (6.1.10)联立以上两式，消去未知的ς，可得到用速度势表示的线形自由面条件)0(022==∂∂+∂∂z z g t ϕϕ （6.1.11）与线性自由面条件相匹配，微幅波浪中的压力分布也略去高阶项。

不失一般性，将式（6.1.2）写成gz tp p -∂∂-=-ϕρ0(6.1.12)6.1.3初始条件由于波浪运动是非定常的，波浪运动速度势ϕ除满足上述边界条件外,还需满足初始条件。

一般地可有两种初始扰动作用引起波动：一是作用于自由面上，如阵风、船体压力面；二是作用于水中，如潜艇运动、海底地震、造波板摇荡等。

下面仅考虑前者。

在自由面上的初始扰动也可归结为二种情形。

一是给定初始波面位移),()0,,(1y x f y x =ς而初始速度为零，记),(y x f g =-ς，由式（6.1.10）知)0,0(),(===∂∂z t y x f t ϕ (6.1.13)二是给定静止液面上的初始速度，这相当于脉冲压力扰动的兴波问题，这时有)0,0(),(===z t y x F ϕ （6.1.14）当上述两种初始扰动都存在时，同时给出以上两个条件。

综上所述，线性（微幅）水波运动速度势),,,(t z y x ϕ应满足的定解条件为)0( 0),,,(2<<-=∇z h t z y x ϕ (6.1.15))0( 0 22==∂∂+∂∂z z g t ϕϕ (6.1.16))( 0zh z -==∂∂ϕ (6.1.17) )0,0( ),(),,(===∂∂=z t y x f ty x F ϕϕ (6.1.18) 满足上述边界条件和初始条件的Laplace 方程的解是唯一的，它描述了给定初始条件下定深无界水域中的波动解。

解出ϕ后就求得液体的运动，再由式（6.1.10）和（6.1.12） 决定液体的自由表面形状和压力分布如果波浪中存在其它运动物体，如船舶、潜器或海洋结构物等，则还应加上物面条件在物面上）( bn v n=∂∂ϕ （6.1.19） 式中bn v 为物体表面的法向运动速度。

式（6.1.15）~（6.1.19）构成了研究波—物相互作用问题的定解条件。

需要指出，在水波问题中，研究在给定初始条件下液体如何运动以及波—物之间相互作用的问题已超出本书范围，读者可阅读专门书籍。

这里只介绍周期性波动解及其运动特性，因为任何波动过程可以由这些周期性谐波叠加而成。

为了清晰的了解波动的基本特征，只考虑xoz 平面上的微幅平面波情形。

所谓平面波，是指波形具有相互平行且无限长的波峰和波谷线，也称长峰波。

如果取波峰线方向为y 轴，则所有物理量与y 无关。

下面首先寻求速度势满足Laplace 方程（6.1.15）和边界条件（6.1.16）、（6.1.17）的周期性解−−平面驻波，然后再讨论波的线性叠加−−平面进行波、波群和船行波。

6.2 平面驻波初始时刻自由面受扰后，在每一空间点上流体的运动是周期性变化的，因此设速度势有下列函数形式),()cos(),,(z x t t z x φεωϕ+= (6.2.1)式中ω称为波浪简谐运动的圆频率，代表π2秒钟振动的次数；ε称为初相位；),(z x φ是只与坐标有关的待求函数。

6.2.1 有限水深平面驻波的解设水底深度为const h =。

显然，由（6.2.1）式所表示的ϕ已满足周期性（初始）条件，它还应当满足Laplace 方程（6.1.15）和边界条件（6.1.16）（6.1.17）。

为此，将（6.2.1）式代入可得确定φ的方程和边界条件22220 (0) h z x z φφ∂∂+=-<<∂∂ (6.2.2) )0( z 2==∂∂z gφωφ (6.2.3) )( 0z h z -==∂∂φ (6.2.4)这仍然是一个求解Laplace 方程解的问题。

解出φ后，ϕ自然得到。

令φ仍有可分离变量的形式)()(),(z Z x X z x =φ (6.2.5)将φ代入（6.2.2）式得)()()()( ''''z Z z Z x X x X -= 因等式左边和右边分别为x 和z 的函数，所以他们只能等于同一常数，令其为2k -，有常微分方程0)()(, 0)()(2''2''=-=+z Z k z Z x X k x X这两个方程的通解为 ⎭⎬⎫+=-=+=- e e )(sin sin cos 2121kz kz C C Z x k B kx B kx B X ξ (6.2.6)常数B 、1C 、2C 、ξ和k 需用边界条件确定。

由底部条件（6.2.4）知0e e 21=--kh kh k C k C即要求kh kh C C C C -==e 2,e 221 将它们代入式（6.2.6），合并常数A BC =，则式（6.2.5）式改写为 )(sin )(ch ξφ-+=x k h z k A (6.2.7)常数k 用自由表面条件式(6.2.3) 决定，将上式代入得kh g kh k ch sh 2ω=或 th 2kh gk =ω (6.2.8)这是常数k 与ω之间得关系，它表明给定常数k 也就决定了波动的圆频率ω。