反函数练习题

2018高考复习数学第一轮第21讲 反函数一、知识要点1、反函数的定义：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使()y f x =，这样得到的x =()1fy -．在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出1()x f y -=；（2）将1()x f y -=中的,x y 互换位置，得1()y f x -=； （3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域3、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y x =对称4、反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；二、 例题精讲例1、 求下列函数的反函数（1）()()12log 111y x x =-+<；（2）)110y x =-≤≤答案：（1）()1112x y x R -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）)01y x =≤≤例2、已知函数()21x f x x a +=+()x a ≠-且12a ≠，求反函数()1f x -，并当()f x 与()1f x -的图像重合时求a ．答案：2a =-例3、已知函数()2xf x a =+的反函数是()1y fx -=，设()1,P x a y +、()2,Q x y 、()32,R a y +是()1y f x -=图像上不同的三点．（1） 如果存在正实数x ，使得123,,y y y 依次成等差数列，试用x 表示实数a ； （2） 在（1）的条件下，如果实数x 是唯一的，试求实数a 的范围．答案：（1）)02a x x x =>≠且；（2）0a >或12a =-．例4、已知函数())0f x a =<，其反函数为()1f x -．（1）若点)1P-在反函数()1f x -的图像上，求a 的值；（2）求证：函数()f x 的图像与y x =的图像有且仅有一个公共点．答案：（1）1a =-；（2）提示：y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩有且只有一解落在20,a ⎛⎤- ⎥⎝⎦内即可．例5、已知函数(()log 1a y x a =+>的反函数()1f x -．（1） 若()()111fx f --<，求x 的取值范围；（2） 判断()12f-与()121f -、()13f -与()131f -的大小关系，并加以证明；（3） 请你根据（2）归纳出一个更一般的结论，并给予证明． 答案：（1）1x <；（2）()12f ->()121f -，()13f ->()131f -；（3）()()()111,2f n nf n N n -->∈≥例6、已知函数()1y fx -=是()y f x =的反函数，定义：若对给定的实数()0a a ≠，函数()y f x a =+与()1y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与()1y fax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”． （1） 判断函数()()210g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数()()0y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”，求()y f x =的表达式．答案：（1）不满足；（2）()y x b b R =-+∈；（3）()()0kf x k x=≠三、课堂练习1、函数()()2log 14f x x x =+≥的反函数()1f x -的定义域是 ．答案：[)3,+∞2、已知()f x 是定义在[]4,0-上的减函数，其图像端点为()4,1A -，()0,1B -，记()f x 的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 ，()f x 的值域是 ． 答案：4-，[]1,1-3、若lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()xf x a =与()xg x b =的图像关于对称． 答案：y 轴4、设函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，且()21y f x =-的图像经过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的反函数的图像必过点（ ） A 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭B 、11,2⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,0D 、()0,1答案：C5、已知函数()f x 存在反函数()1f x -，若1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭过点()2,3，则函数11f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭恒过点（ ） A 、()3,2B 、11,23⎛⎫⎪⎝⎭C 、11,32⎛⎫⎪⎝⎭D 、1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：C四、 课后作业 一、填空题1、函数()()1312f x x =-+的反函数()1f x -= ．答案：()()321x x R -+∈2、若直线1y ax =+与直线2y x b =-+关于直线y =x 对称，则a = ，b = ．答案：12-，23、已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解为x = ． 答案：14、已知函数()()y f x x D =∈的值域为A ，其反函数()1y fx -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x D >∈的充要条件是 ． 答案;()10fa -=且()()1f x x x A -<∈5、设()()12,01,0xa x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x =有且只有两个实数根，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[)2,46、若函数()xf x a k =+的图像经过点()1,7，又函数()14fx -+的图像经过点()0,0，则()f x 的解析式为 ． 答案：()43xf x =+二、选择题7、函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是（ ）A 、(],1a ∈-∞B 、[)2,a ∈+∞C 、[]1,2a ∈D 、(][),12,a ∈-∞+∞答案：D8、函数()()1ln1,1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ） A 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+B 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- C 、()1,0,1x xe y x e -=∈+∞+D 、()1,0,1x xe y x e +=∈+∞- 答案：B9、设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图像过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +等于（ ）A 、6B 、5C 、4D 、3答案：C三、解答题10、已知函数()lg 101xy =-．（1）求()y f x =的反函数()1y f x -=；（2）若方程()()12fx f x λ-=+总有实根，求实数λ的取值范围．答案：（1）()()()1lg 101xf x x R -=+∈；（2）()lg 2λ≥11、给定实数a （0a ≠且1a ≠），设函数11x y ax -=-（x R ∈且1x a≠），求证： （1）经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴；（2）这个函数图像关于直线y x =成轴对称图形；（3）你能否再给出一些函数，其图像关于直线y x =成轴对称图形？ 答案：（1）提示：证明斜率不为0即可；（2）提示：证明其反函数为其自身；（3）())2,,0,0,01ax by x y x b y bc a c y x cx a+==-+=+≠≠=≤≤-等．12、为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（1）首先选取如下函数：21y x =+，21xy x =+，y = 求出以上函数图像与其反函数图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为()1,1--， 21x y x =+与其反函数2x y x=-的交点坐标为()()0,0,1,1,y =()210y x x =-≤的交点坐标为⎝⎭，()1,0-，()0,1-；（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明． 现在请你完成（2）和（3） 答案：（2）原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上； （3）提示：反证法．。

高一数学必修一函数练习题函数是高中数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。

下面为高一学生准备了一系列函数练习题，以帮助学生更好地理解和掌握函数的基本概念和性质。

练习题一：函数的定义域与值域1. 给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，求其定义域。

2. 对于函数 \( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)，找出其值域。

练习题二：函数的单调性1. 判断函数 \( h(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x \in (-\infty,\infty) \) 上的单调性。

2. 若函数 \( k(x) = 2x - 1 \) 在 \( x \in [0, 2] \) 上单调递增，求 \( k(x) \) 在 \( x \in [2, 4] \) 上的单调性。

练习题三：函数的奇偶性1. 判断函数 \( f(x) = |x| \) 是否为奇函数或偶函数。

2. 若函数 \( g(x) = x^2 + 1 \) 是偶函数，求证。

练习题四：复合函数1. 已知 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x + 3 \)，求复合函数\( (f \circ g)(x) \)。

2. 若 \( h(x) = \sqrt{x} \) 和 \( k(x) = x - 1 \)，求 \( (h \circ k)(x) \)。

练习题五：反函数1. 若 \( f(x) = 2x + 1 \)，求其反函数 \( f^{-1}(x) \)。

2. 对于函数 \( g(x) = x^2 \)，讨论其反函数的存在性。

练习题六：函数的图像与性质1. 画出函数 \( y = |x - 1| \) 的图像，并标出其顶点坐标。

2. 对于函数 \( y = x^3 \)，描述其在 \( x = 0 \) 附近的图像变化趋势。

练习题七：函数的实际应用1. 某工厂生产的产品数量与时间的关系为 \( P(t) = 100t - 5t^2 \)，求出生产量达到最大时的时间。

C．(Hale Waihona Puke ，1] D．(－∞，0][ ]
A．y＝2－(x－1)2(x≥2)B．y＝2＋(x－1)2(x≥2)
C．y＝2－(x－1)2(x≥1)D．y＝2＋(x－1)2(x≥1)
4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]
5．如果y＝f(x)的反函数是y＝f-1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]
A．若y＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y＝f-1(x)在[1，2]上也是增函数
3、已知函数y＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域内也是增函数．
关于y＝x对称，求g(2)的值．
第三教学环节:课堂练习
（本节为练习课）
第四教学环节:布置作业
作业在试卷上
课堂
检测
测试题(累计不超过20分钟)道;成绩;教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数
C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数
D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点
6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是 [ ]
A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)
C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)
3．如果一次函数y＝ax＋3与y＝4x－b的图像关于直线y＝x对称，那a＝________，b＝________．
义域是________．
5．已知函数y＝f(x)存在反函数，a是它的定义域内的任意一个值，则f-1(f(a))＝________．
(三)解答题
(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y＝f-1(x)的图像上一点，求函数y＝f(x)的值域．

反函数〖考纲要求〗掌握互相为反函数图象之间的关系.〖复习要求〗理解反函数的概念，知道什么函数有反函数，会求一个函数的反函数，掌握互为反函数图象之间的关系.〖复习建议〗记住求反函数的步骤，知道原函数与反函数的定义域、值域关系，图象关系，单调性关系，能利用反函数研究原函数的性质.〖双基回顾〗1、求反函数的三个步骤是：⑴ ⑵ ⑶ .2、原函数的定义域是反函数的 ；原函数的值域是反函数的 .3、原函数的图象与反函数的图象关于 .4、原函数与反函数具有 单调性.5、函数12+=-x y 的反函数为…………………………………………………………………（ ）(A ))2,1(11log 2∈-=x x y (B ) )2,1(11log 2∈--=x x y (C ) ]2,1(11log 2∈-=x x y (D ) ]2,1(11log 2∈--=x x y 6、判断：原函数与反函数图象的交点一定在直线y =x 上，对吗？一、典型例题分析：1、求下列函数的反函数： ⑴ 12-≤+=x xx y ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧->+--≤+=1111)(2x x x x x f2、函数x b ax x f +=)(，则实数a 、b 为何值时，)()(1x f x f -=.3、132)(-+==x x x f y ，)(x g y =的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于直线y =x 对称，求)3(g 的值.4、设0<a ≠1，)1()1(log )(2≥-+=x x x x f a ⑴求函数)(x f 的反函数⑵如果)(233)(1N n n f nn ∈+<--，求实数a 的取值范围.二、课堂练习：1、下列哪一组的两个函数是互为反函数 …………………………………………………………( )(A ) f(x)=tgx,g(x)=ctgx (B ) f(x)=lgx,g(x)=e x (C) f(x)=x 2 ,x x g =)( (D ) xx g x x f 11)(,11)(+=-= 2、已知x x f -=10)(，那么)100(1-f=……………………………………………………………（ ）(A ) －2 (B ) －21 (C) 21 (D ) 2 3、已知f (x )=3x －2,则()[]=-x f f 1 .4、函数)5(log 2-=x y 的反函数是 .三、课堂小结：1、反函数的定义域不能由其解析式确定，应该是原函数的定义域.2、互为反函数的两个函数的图象具有相同的增减性，他们的图象关于直线y =x 对称.3、分段函数的反函数，应该分别求出各段的反函数，再合成.四、能力测试： 姓名 得分1、函数y =x 2在下列区间不存在反函数的是…………………………………………………………( )(A )),0[+∞ (B ) ]0,(-∞ (C ) [-1，1] (D ) [0，1] 2、)0)((21)(22>-=-x x x x f ，则)22(1-f =…………………………………………………（ ）(A )3+22 (B ) 3－22 (C ) 1+2 (D ) 1－23、如果)0(32)1(2≤+-=-x x x x f ，则=-)(1x f ……………………………………………（ ）(A )2-x x ≥2 (B ) －2-x x ≥2 (C ) －2-x x ≥3 (D )2-x x ≥34、函数y=2x-1)(N x ∈的反函数是 ……………………………………………………………… ( )(A ) )(21N x x y ∈+=(B ) )(21Z x x y ∈+= (C ) {})(21正奇数∈+=x x y (D ) {})(21正奇数∈-=x x y 5、函数y =)(x f 的反函数为y =)(x g ，具有0,)(≠=ab b a f ，则)(b g =……………………（ ）(A )a (B )b (C )a 1 (D ) b1 6、k a x f x +=)(的图象过点A (1,3)，函数)(1x fy -=的图象过点B (2,0),则f(x)的表达式为 .7、f －1(x )=log 3(2x －1)，则f (3)= . 8、⑴求函数⎩⎨⎧〉-≤=)0( 3)0( 2x x x x y 的反函数 ⑵若10≠≠a a 且，求证：函数11--=ax x y 的图象关于直线y=x 对称*9、设函数)21(1)(3>-=x x x f 的图象为C 1，C 1关于直线y =x 的对称图象为C 2. ⑴求C 2对应的函数)(x g y =的解析式及定义域M ⑵对任意x 1、x 2∈M ，并且x 1≠x 2，求证：||4|)()(|32121x x x g x g -<-。