九年级数学弧长和扇形面积公式圆锥的侧面积和全面积人教实验版

初三数学弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积人教实验版【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积

教学目的 1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。 2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。 3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。 4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。 教学重点和难点： 教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算 难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程 1. 圆周长：r2C 圆面积：2rS 2. 圆的面积C与半径R之间存在关系R2C，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°

的圆心角所对的弧长就是360R2。

n°的圆心角所对的弧长是180Rn

180Rnl P

120

*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 4. 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2RS，所以圆心角为n°的扇形面积是：

R21360RnS2l扇形（n也是1°的倍数，无单位）

5. 圆锥的概念 观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。 如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。 锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。 母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122 6. 圆锥的性质 由图可得

（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等 7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系： 180ncl

同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是： llrc21S圆侧面

圆锥的全面积为：2rrl 圆柱侧面积：rh2。

例：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm80，那么⊙O的半径为___________cm。 答案：120 解：由弧长公式：180Rnl得： cm12012080180n180Rl

例：若扇形的圆心角为120°，弧长为cm10，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。 答案：15；25π 例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。 答案：90° 例：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为____________cm。 答案：7

例：两个同心圆被两条半径截得的10AB，6CD，又AC=12，求阴影部分面积。

解：设OC=r，则OA=r+12，∠O=n° 10180)12r(nABl

6180rnCDl

18r60n

∴OC=18，OA=OC+AC=30 CODAOBSSS扇扇阴

OC21OA21CDABll 18621301021 96

例：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。

解：∵正方形边长为a ∴2aS正，222a81)2a(21R21S半圆

两个空白处半圆正方形SS2S 2222a41aa812aS

两个空白处

222a21a2S2S个空白四个空白处

22222aa21)a21a2(aSSS

四个空白处正阴

∴叶的总面积为22aa21 *也可看作四个半圆面积减去正方形面积 2222aa21a)2a(214SS4S

正半阴

例：已知AB、CD为⊙O的两条弦，如果AB=8，CD=6，AB的度数与CD的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？ 解：将弓形CD旋转至B，使D、B重合 如图，C点处于E点

ABE的度数为180°

∴AE是⊙O的直径 ∴∠ABE=90° 又∵AB=8，BE=CD=6

由勾股定理1068AE22

∴半径51021OA

242256821521SSS2ABE半圆阴

例：在△AOB中，∠O=90°，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画AB，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。

解：∵OA=4cm，∠O=90° ∴cm4360490S2AOB扇形 cm24AB )cm(8S2AOB，)cm(42)22(S22半圆

)cm)(84(SSS2AOBAOBAmB扇形弓形

则阴影部分的面积为：

)cm(8)84(4SSS2AmB弓形半圆阴影

例：①、②……○m是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…… （1）图①中3条弧的弧长的和为_________________ 图②中4条弧的弧长的和为_________________

（2）求图○m中n条弧的弧长的和（用n表示）

解：（1）π，2π （2）解法1： ∵n边形内角和为：（n－2）180°

前n条弧的弧长的和为：)2n(21360180)2n(个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长

∴n条弧的弧长的和为：)2n()2n(2112 解法2：设各个扇形的圆心角依次为n21,,, 则180)2n(n21 ∴n条弧长的和为：

118011801180n21

)2n(180)2n(180

)(180n21

例：如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？ 分析：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6 60CBA,3AB21BC

33BCABAC22 法一：23933321'C'A'BC21SB'C'A

123606120360rnS22BA'A扇

33603120S2BC'C扇形 9SSSSSACBBC'CB'C'ABA'A扇扇阴影

法二：以B为圆心，BC为半径画弧

交A'B于D，AB于D' 有ACBB'C'ASS，'CBDBD'CSS扇扇

931236031203606120SSS22BD'D'ABA扇扇阴

例：如图，已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？ 解：)cm(12513BC22 以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：

)cm(300131212SSS22侧底表

以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。

1252113CD21 1360CD

ACCDBCCDSSS下上

1310201713

60

513601213

60

例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。 答案：6