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同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试

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同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷
一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）
1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】
:A'1yy； :B'e1yy； :C2'yyy； :D2'yyx。

2、若向量2,1,0,1,1,2,0,1,2abckvvv，且0abcvvv，则k 【 B 】
:1A； :2B； :3C； :4D。
3、若向量1,2,akv在向量2,1,2bv上的投影为2，则k 【 C 】
:1A； :2B； :3C； :4D。

4、设ecosxxzxyy，则zy 【 A 】

:A2esinxxyy； :B21esinxxyy； :C21esinxyy； :D2esinxxyy。
5、交换二次积分的次序：2220d,dyyyfxyx 【 A 】
402:d,dxxAxfxyy；

4
2

0:d,dxx
Bxfxyy


；

2220:d,dxxCxfxyy； 220:d,dxxDxfxyy。
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格）
6、微分方程"2'20yyy的通解为y12ecossinxcxcx.

7、设向量2,3,2,2,3,0abvv，若,xaxbvvvv，且7xv。则向量xv3,2,6。
8、空间直线240329xyzxyz在xoy面上的投影直线方程为：7990xyz。
9、设函数2zfxy，其中函数f具有二阶导数，则2zxy2"2fxy。
三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程）
10、求微分方程：2d1dyxyx 的通解。 [2dd1yxyxtanlnyxc]

11、一平面过原点及点6,3,2，且与另一平面428xyz垂直，求平面方程。
[

6,3,24,1,24,4,6n

v

2230xyz
]

12、已知函数,zzxy由ln1sinzzxy所确定，求dz。

[1cosdddzxyzyxxyz]
13、求函数22,4fxyxyxy的极值点。
[420420xyfxfy22xy,20,0,2;0ABC,(2,2)为极大值点]
14、计算二重积分：sinddDyIxxyx，其中D由直线,0yxy和1x所围。
[100dsindxyIxxyx1200cosdxyxxx1201cos1dxx11cos13]
15、计算二重积分：ddDIxxy，其中222,,00Dxyxyaya。

[π2002dcosdaIπ3202cosd3a323a]
四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程）
16、求微分方程：21d2cosd0xyxyxx 满足初始条件：01xy 的特解。

[222cos'11xxyyxx21'cosxyx,2sin1xcyx,1c,2sin11xyx]

17、求函数：2zxy 在椭圆 2212xy 上的最值。


[222(1)2xLxyy,222012022xyxy,41(,)33,41(,)33,maxmin3;3zz]

18、球面2222xyza含在柱面2220xybba内部分的面积恰为全球面积的
一半，求 b。

[2222222ddxybaSxyaxy 224πaaab22πa32ba]
2009—2010学年第二学期《高等数学C》(下)
重修

一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）
1、微分方程'yy的通解为： 【 C 】

:Aexy； :Bexyc； :Cexyc； :Decxy。
2、若向量1,2,3,2,,6abkvv，且abvv，则k 【 D 】
:0A； :4B； :6C； :10D。
3、计算向量：23ababvvvv 【 B 】
:5Aabvv； :7Babvv； :5Cbavv； :7Dbavv。

4、设elnxyxzy，则zx 【 A 】

:A1exyyx； :B1exyyx； :C11exyxy； :Dexyyyx。
5、二重积分：222213ddxyxyxy 【 A 】
:πA； :2πB； :3πC； :4πD。
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格）
6、微分方程"0yy的通解为y12eexxcc.

7、到平面1z和到原点的距离相等的点的轨迹方程为：2221xyz。
8、曲面：2222220azxay 在点,,0aaaa处的切平面方程为：
0xyza。

9、设函数,yxzfxy，其中函数,fuv可微，则 zy112ln''yxxyfxyf。
三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出解题过程）
10、求微分方程： d1dyyxx 的通解。

解： '1yyx 1'yxx lnyxcx lnyxxc
11、已知三点2,3,1,2,1,1,6,3,1ABC，求点A到直线BC的距离。
解： 0,2,2,4,2,0BABCuuuvuuuv BABCdBCuuuvuuuvuuuv4,8,825655
12、已知函数,zzxy由e3zzxy所确定，求,zzxy。
解： 令e3zFzxy ,,e1zxyzFyFxF ,1e1ezzzyzxxy
13、求函数22222(,)()2()fxyxyxy的极值点。
解： 22224()404()40xyfxxyxfyxyy 驻点为：0,0,1,0,10，
22221244,8,4124xxxyyyfxyfxyfxy,有极小值点:1,0和1,0
14、计算积分：2222200d()dxxxxyy。
解：
π2cos2200ddI π
4
2

0
4cosd


3π4

15、计算二重积分：22ddxyxxxy。

解：2210ddxxxxIxxy1202dxxxx12204(1)dttt815
四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出解题过程）
16、求微分方程："'1yy 的通解。
解：200,1 *yAx 1A 12exyccx
17、求抛物面22zxy到平面10xyz的最近距离。
解： 令222(1)()Lxyzxyz

2221202120210xxxLxyzxLxyzyLxyzzxy 11,22xyzmin111(,,)2221363xyzd
18、求由曲面：22zx与222zxy 所围的立体体积。
解： 22,1xyDxyxy

222[2(2)]ddxyDVxxyxy2π1200d(22)d112π2()24π
* '2,10'yxyyxyy 22arctanln0yxyx
* 2'xyxyy
* 3'321,00e12xyyxyyx
* 22'yyyxx
* 'cot3yxy
* "4'5cosyyyx
* 231dd0xyyxxx

* elnyxxzy，求zx。
* ,xyufyz，求22uy。
* 设zxyfz，其中f可微，且1'0yfz，求dz。
* 求曲线2223023540xyzxxyz在点1,1,1处的切线。
* 0211d,dyyfxyx

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同济大学高等数学期末考试题3

同济大学高等数学期末考试题3

《高等数学》试卷3（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a 3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y x C.(){}21,22≤+<y x y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）.A.2B.2-C.1D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy z＝（ ）. A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11B.x -22C.x -12D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.x ce y =B.x e y =C.x cxe y =D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂y x z 2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D ⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y 条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程. 试卷3参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-0121. 5.()x ex C C y 221-+= . 三.计算题 1.()()[]y x y x y e xz xy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z y y z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R . 5.x x e e y 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =。

同济版高数下册期末复习题

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同济版高数下册期末复习题同济版高等数学下册涵盖了多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。

以下是一份期末复习题，供同学们参考：一、多元函数微分学1. 定义题：解释什么是偏导数，并给出偏导数的几何意义。

2. 计算题：给定函数 \( f(x, y) = x^2y + y^3 - 2xy \)，求 \( f \) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

3. 证明题：证明如果函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (a, b) \) 处连续且可微，那么 \( f \) 在该点的偏导数存在。

4. 应用题：利用偏导数求函数 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切平面方程。

二、重积分1. 计算题：计算区域 \( D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\} \) 上的二重积分 \( \iint_D xy \, dx \, dy \)。

2. 变换题：将二重积分 \( \iint_D e^{x+y} \, dx \, dy \) 转换为极坐标形式并计算，其中 \( D \) 是单位圆盘。

3. 应用题：求由曲线 \( y = x^2 \)，直线 \( y = 1 \) 以及 \( x \) 轴所围成的区域的面积。

三、曲线积分与曲面积分1. 计算题：计算曲线积分 \( \oint_C (x^2 + y^2) ds \)，其中\( C \) 是圆 \( x^2 + y^2 = 1 \)。

2. 变换题：将曲面积分 \( \iint_S (x + y + z) dS \) 转换为球坐标形式，其中 \( S \) 是球面 \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)。

3. 应用题：求由抛物面 \( z = x^2 + y^2 \)，平面 \( z = 1 \)以及 \( z \) 轴所围成的立体的体积。

河大高等数学(同济)下册期末考试题与答案

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高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分，共计24分)1、z= . log a(x^y2)(a 0)的定义域为D= 。

2、二重积分ln(x2 y2)dxdy的符号为。

|x| | y| 13、由曲线y lnx及直线x y e 1，y 1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L的参数方程表示为x⑴(x ),则弧长元素y (t)ds 。

5、设曲面刀为x2 y2 9介于z 0及z 3间的部分的外侧，则(x2y21)ds 。

6、微分方程鱼-tan#的通解为。

dx x x7、方程y⑷4y 0的通解为。

8、级数J的和为。

n 1 n(n 1)二、选择题(每小题2分，共计16分)1、二元函数z f (x, y)在(X0，y0)处可微的充分条件是( )(A ) f (x,y)在(x°, y°)处连续;(B ) f x(x,y) , f y(x, y)在(x°,y。

)的某邻域内存在;(C) z f x(x°,y°) x f y(x°,y°) y当、、(x)2( y)20时，是无穷小;(D )z limx 0y 02、设xu yf ()y(A)x y;3、设 2:x 5叮f y(2x0,y0)y 0。

(x)2 ( y)2xf(y),其中f具有二阶连续导数，x2则x」Ux2y-U等于(y(B) x; (C)y; (D)0y2 z2 1,z 0,则三重积分I zdV等于(1 -(A) 4。

厲02d0r sin cos dr ; (B)2 d d r2 sin dr ;0 0 0(C) 1r3sin cos dr ; ( D )1r3sin cosdr。

4、 球面x 2y 2 z 2 4a 2与柱面x 2 y 2 (A ) 4 2d 2aC0S ,4a 2 r 2dr ;o o2acos --------------- 22(C )8 2dr . 4a r dr ；0 05、 设有界闭区域D 由分段光滑曲线 2ax 所围成的立体体积V=()2a cos ------------- 22(B )4 02 d o r . 4a r dr ；a cos(D )2dr 4a r dr 。

高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)之欧阳体创编

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高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(xyxf y x yf u +=其中f具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππϕϕϕθdr rd d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。