高一数学必修五第二章数列测试(二)

1 高中数学必修五第二章数列1．如果,,1)()1(*∈+=+N n n f n f 且,2)1(=f 则=)100(f （ ）A.99B.100C.101D.1022．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =3n a －2,那么下面结论正确的是（ ）A ．此数列为等差数列B ．此数列为等比数列C ．此数列从第二项起是等比数列D ．此数列从第二项起是等差数列3．在等比数列｛n a ｝中，,60,482==n n S S 则n S 3等于（ ） A.26 B.27 C.62 D.63 4. 等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） A 、23 B 、2131n n -- C 、2131n n ++ D 、 2134n n -+ 5. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前100项和为（ ） (A) 100101 (B) 99101(C) 99100 ( D) 101100 6.已知等比数列{}n a 的前n 项为n S ,33S =,627S =，则此等比数列的公比q 等于（ ）A ．2B ．2-C ．21D ．12- 7．若数列{}n a 是等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = .8.在等比数列{}n a 中，3254=a a ，=+++82212log log log a a a .9.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = _______10．设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式.11.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

第二章测试(时间：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和 ,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3 ,…) ,那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2 ,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2 ,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4 ,…由此可知 ,数列{a n }既不是等差数列 ,也不是等比数列． 答案 D2．一个数列{a n } ,其中a 1＝3 ,a 2＝6 ,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,那么a 5＝( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3 , a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3 , a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首||项为a 的数列{a n }既是等差数列 ,又是等比数列 ,那么这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析 由题意 ,知a n ＝a (a ≠0) ,∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列 ,假设a 1＝1 ,a 5＝16 ,那么数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16 ,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．－9 ,a 1 ,a 2 ,－1四个实数成等差数列 ,－9 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,－1五个实数成等比数列 ,那么b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83 , b 22＝(－1)×(－9)＝9 ,∴b 2＝－3 , ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数 ,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列 ,那么n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 依题意 ,得－10＝－12＋82(n ＋2) , ∴n ＝3. 答案 B7．{a n }是等差数列 ,a 4＝15 ,S 5＝55 ,那么过点P (3 ,a 3) ,Q (4 ,a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15 ,S 5＝55 ,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15 5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11) ,Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,假设a 3＋a 17＝10 ,那么S 19＝( )A ．55B ．95C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和 ,假设a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数 ,那么在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C．S13D．S16解析a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7 ,∴a7为常数．∴S13＝a1＋a132×13＝13a7为常数．答案 C10．等比数列{a n}中,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31 ,a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62 ,那么通项是()A．2n－1B．2nC．2n＋1D．2n＋2解析∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5) ,∴62＝q×31 ,∴q＝2.∴S5＝a1(1－25)1－2＝31.∴a1＝1 ,∴a n＝2n－1.答案 A11．等差数列{a n}中,|a3|＝|a9| ,公差d<0 ,那么使其前n项和S n 取得最||大值的自然数n是()A．4或5 B．5或6C．6或7 D．不存在解析由d<0知,{a n}是递减数列,∵|a3|＝|a9| ,∴a3＝－a9 ,即a3＋a9＝0.又2a6＝a3＋a9＝0 ,∴a6＝0.∴S5＝S6且最||大．答案 B12．假设a ,b ,c成等比数列,那么方程ax2＋bx＋c＝0()A．有两个不等实根B ．有两相等的实根C ．无实数根D ．无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列 ,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题(本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分．把答案填在题中横线上)13．2 ,x ,y ,z,18成等比数列 ,那么x ＝________.解析 设公比为q ,那么由2 ,x ,y ,z,18成等比数列．得18＝2q 4 ,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．假设数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n ≤1a n －1 a n>1且a 1＝67 ,那么a 2021＝________.解析 由题意 ,得a 1＝67 ,a 2＝127 ,a 3＝57 ,a 4＝107 ,a 5＝37 ,a 6＝67 ,a 7＝127 ,… ,∴a 2021＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,那么S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9 ,S 33＝－16＋33＝17 ,S 50＝－25 ,∴S 17＋S33＋S50＝1.答案 116．设等比数列{a n}的公比q＝12,前n项和为S n,那么S4a4＝________.解析S4a4＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a1⎝⎛⎭⎪⎫123＝15.答案15三、解答题(本大题共6个小题,共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n为数列{a n}的前n项和,a1≠0,2a n－a1＝S1·S n,n ∈N*.(1)求a1 ,a2 ,并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．解(1)令n＝1 ,得2a1－a1＝a21,即a1＝a21,∵a1≠0 ,∴a1＝1 ,令n＝2 ,得2a2－1＝S2＝1＋a2 ,解得a2＝2.当n≥2时,由2a n－1＝S n,2a n－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n ,即a n＝2a n－1 ,于是数列{a n}是首||项为1 ,公比为2的等比数列,即a n＝2n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知,na n＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为B n ,于是B n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1 ,①2B n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)等比数列{a n } ,首||项为81 ,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)假设S 11≠S 12 ,且S 11最||大 ,求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q , 那么a 1＝81 ,a n ＋1a n＝q ,由a n >0 ,可知q >0 ,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数) ,∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知 ,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4 , ∵S 11≠S 12 ,且S 11最||大 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧b 11≥0 b 12<0即⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋10d ≥0 b 1＋11d <0.⎩⎨⎧d ≥－b 110＝－25d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数 ,a 1＝3 ,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列 ,b 1＝1 ,且b 2S 2＝64 ,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,那么d >0 ,q ≠0 ,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1 ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2 q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65q ＝403 (舍去)．故a n ＝2n ＋1 ,b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2) , 1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ,∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.20．(12分)等比数列{a n }中 ,a 1＝2 ,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设a 3 ,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项 ,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由 ,得16＝2q 3 ,解得 q ＝2 ,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8 ,a 5＝32 ,那么b 3＝8 ,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8 b 1＋4d ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N * ,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3 ,n ∈N *.(1)求a n ,b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时 ,a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1 ,得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1 ,n ∈N * , ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1 , 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1 ,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N * ,n ≥2)． (1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)假设数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n . 解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0 ,∴a n 2n －a n －12n －1＝12 ,∴{a n 2n }是以12为首||项 ,12为公差的等差数列． (2)由(1) ,得a n 2n ＝12＋(n －1)×12 , ∴a n ＝n ·2n －1 ,∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 那么2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－② ,得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1·(1－2n)1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。

章末质量检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n π C ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)解析：选D 将各选项中的通项公式写出前4项，看是否为题干中的数即可，当n ＝3时，D 不满足，故选D.2．(2019·湖北荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋74×11＝15.故选A.3．(2019·山西太原模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( )A ．3B ．9C ．18D ．27解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，故选D.4．(2018·广东珠海模拟)S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝18，S 3＝26，则a 1＝( )A ．2B ．3C ．1D ．6解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，因a 3＝18，S 3＝26，则有a 3＋a 3q ＋a 3q 2＝26，即18＋18q ＋18q 2＝26，解得q ＝3或q ＝－34，又由数列{a n }为正项等比数列，得q ＝3，则a 1＝a 3q 2＝189＝2，故选A.5．(2018·山东淄博模拟)已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A.3116 B ．31 C.158D ．7解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 6＝8a 3，∴q 3＝8，解得q ＝2.∴a n ＝2n －1.∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列．则T 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.故选A. 6．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.7．(2019·湖北荆州模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 6＝10，则a 7＝( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选A ∵在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 6＝10， ∴⎩⎨⎧a 1＝1，a 1＋d ＋a 1＋5d ＝10，解得a 1＝1，d ＝43， ∴a 7＝a 1＋6d ＝1＋8＝9.故选A.8．(2019·河南濮阳模拟)已知等差数列{a n }一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为( )A.1720 B ．5960 C ．1D ．6766解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766.∴中间一项为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.故选D.9．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B ．322f C.1225fD ．1227f解析：选D 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D.10．(2018·广东汕头模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．4或5解析：选B 由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2， 由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11， 令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112， 所以S n 取最大值时的n 为5，故选B.11．(2018·西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( )A ．52B ．78C ．104D ．208解析：选C 依题意得3a 7＝24，则a 7＝8，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104.故选C.12．(2018·云南模拟)已知数列{a n }是等差数列，若a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，则q ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 依题意，注意到2a 3＝a 1＋a 5,2a 3－6＝a 1＋a 5－6，即有2(a 3－3)＝(a 1－1)＋(a 5－5)，即a 1－1，a 3－3，a 5－5成等差数列；又a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，因此有a 1－1＝a 3－3＝a 5－5(若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是一个非零的常数列)，q ＝a 3－3a 1－1＝1. 故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．数列{a n }为正项等比数列，若a 3＝3，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则此数列的前5项和S 5＝ .解析：设公比为q (q >0)，由a n ＋1＝2a n ＋3a n －1，可得q 2＝2q ＋3，所以q ＝3，又a 3＝3，则a 1＝13，所以此数列的前5项和S 5＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：121314．(2018·合肥模拟)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝ .解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ， 即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故S 9＝2×(1－29)1－2＝210－2＝1 022.答案：1 02215．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 015－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为 ．解析：由a n ＝2 015－3n >0，得n <2 0153＝67123， 又∵n ∈N *，∴n 的最大值为671. 答案：67116．在等比数列{a n }中，若1，a 2，a 3－1成等差数列，则a 3＋a 4a 5＋a 6＝ . 解析：设等比数列的公比为q ， 依题意，可得2a 1q ＝1＋a 1q 2－1， 又a 1≠0，整理得q 2－2q ＝0， 所以q ＝2或q ＝0(舍去)， 所以a 3＋a 4a 5＋a 6＝1q 2＝14. 答案：14三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得， ⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－20，d ＝5. ∴a n ＝5n －25(n ∈N ＋)． (2)由(1)知，a n ＝5n －25，∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30， ∴b n ＝10n －30(n ∈N ＋)．18．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求S n 和a n .解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)， 由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2. (2)由(1)知，1S n＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.19．(12分)(2019·成都模拟)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可知，a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，也满足上式．∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.20．(12分)用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解：购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，则a 1＝2＋(25－5)×10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)×10%＝3.8(万元)；a 3＝2＋(25－5－2×2)×10%＝3.6(万元)，…，a n ＝2＋[25－5－2(n －1)]×10%＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝31(万元)．因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付31＋5＝36万元． 21．(12分)(2018·广东七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝λ(λ>0)，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)．(1)求λ的值；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .解：(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ，代入a n ＋1＝2S n ＋1， 得S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，整理可得S n ＋1＝(S n ＋1)2， 因为S n >0，所以S n ＋1－S n ＝1，所以数列{S n }是首项为λ，公差为1的等差数列， 所以S n ＝λ＋(n －1)×1＝n ＋λ－1，即S n ＝(n ＋λ－1)2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2λ－3， ∴a n ＋1－a n ＝2，因为数列{a n }为等差数列， 所以a 2－a 1＝2λ＋1－λ＝2，解得λ＝1. (2)由(1)可得，a n ＝2n －1， 所以1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 因为T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1，所以T n ＝12×⎝⎛1－13＋13－15＋15－17＋…＋⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12－14n ＋2.22．(12分)(2018·河南信阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数)．(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解：(1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ)．又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1； 当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知，a n＝2n－1，所以n(a n＋1)＝n×2n，T n＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2T n＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得，－T n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2(1－2n)1－2－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.所以T n＝(n－1)2n＋1＋2.由Ruize收集整理。