直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√(教材习题改编)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1，3]C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， 所以|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1，故选C.圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D.因点P 在圆上，且圆心Q 的坐标为(2，0)， 所以k PQ ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k ＝33，所以切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则实数m ＝________． 解析：圆C 1的圆心是原点(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝1＋25－m ＝5，所以m ＝9.答案：9直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 解析：如图，取AB 中点C ，连接OC ，OA ，则OC ⊥AB ， |OA |＝22，|OC |＝|0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，所以|AC |＝8－5＝3，所以|AB |＝2|AC |＝2 3. 答案：2 3直线与圆的位置关系(1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)．【答案】 (1)B (2)k ∈(－3，3)若将本例(1)的条件改为“点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1上”，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系如何？解：由点M 在圆上，得a 2＋b 2＝1，所以圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，则直线与圆O 相切．[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2019·衢州模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．主要命题角度有：(1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数．角度一 求圆的切线方程过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0【解析】 因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B. 【答案】 B角度二 求弦长及切线长(1)若a ，b ，c 是△ABC 三个内角的对边，且csin C ＝3asin A ＋3bsin B ，则直线l ：ax －by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝12所截得的弦长为( )A ．4 6B ．2 6C ．6D ．5(2)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________．【解析】 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝csin C，故由c sin C ＝3a sin A ＋3b sin B 可得c 2＝3(a 2＋b 2)．圆O ：x 2＋y 2＝12的圆心为O (0，0)，半径为r ＝23，圆心O 到直线l 的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝3，所以直线l 被圆O 所截得的弦长为2r 2－d 2＝2（23）2－（3）2＝6，故选C.(2)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A (－4，－1)．所以|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36.所以|AB |＝6. 【答案】 (1)C (2)6角度三 由弦长及切线问题求参数已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3B ．212C ．2 2D ．2【解析】 如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2， 则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ， 此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5， 即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 【答案】 D(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2.②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .1．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3，3] D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 解析：选B.如图，设圆心C (2，3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2≤4－3＝1， 即|2k |21＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33.2．(2019·温州中学高三期末)若经过点P (－3，0)的直线l 与圆M ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋3＝0相切，则圆M 的圆心坐标是________；半径为________；切线在y 轴上的截距是________．解析：圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，则圆心坐标为(－2，1)，半径R ＝2，设切线斜率为k ，过P 的切线方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－2k －1＋3k |1＋k 2＝|k －1|1＋k 2＝2，平方得k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2＝0，解得k ＝－1，此时切线方程为y ＝－x －3，即在y 轴上的截距为－3.答案：(－2，1)2 －33．(2019·杭州市学军中学高三模拟)已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线n ：x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________，动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：由题意得m －m (m －1)＝0⇒m ＝0或m ＝2；动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，而动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：(x －1)2＋y 2＝9截得的弦长最短时，弦中点恰为(0，－1)，此时弦长为29－（1＋1）＝27.答案：0或2 27圆与圆的位置关系(1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A ．62B ．32C ．94D ．2 3【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0，0)，(－a ，a )． 因为圆M 截直线所得线段长度为22，所以a 2＋（－a ）2＝2 2. 又a >0，所以a ＝2.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0，2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1，1)，半径r 2＝1， 所以|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2. 因为r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3，1<|MN |<3， 所以两圆相交．(2)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝9，根据基本不等式可知9＝a 2＋2ab ＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4ab ，即ab ≤94，当且仅当a＝b 时，等号成立．故选C.【答案】 (1)B (2)C若本例(2)条件中“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切，得 （a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1.即(a ＋b )2＝1, 又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，并求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5D ．不确定解析：选C.由C 1(m ，－2)，r 1＝3；C 2(－1，m )，r 2＝2；则两圆心之间的距离为|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝2＋3＝5，解得m ＝2或－5.故选C.2．(2019·嘉兴模拟)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA .又因为|OA |＝5，|O 1A |＝25，所以|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1所在直线对称， 所以AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍． 所以|AB |＝2 ×5×255＝4. 答案：4解决有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且r2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2； (2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k ≠0)．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意斜率不存在的情形．易错防范(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条：过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．[基础达标]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.(直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22<1＝r ，所以直线与圆相交． 2．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－22，22]C ．[－2－1，2－1]D ．[－22－1，22－1]解析：选D.圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2＝|m ＋1|2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则|m ＋1|2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.3．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．±2 B ．2 C ．－2D ．无解解析：选A.圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为原点O ，半径r ＝|a |. 将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0左右分别相减，可得a 2＋ay －6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a 2＋ay －6＝0.原点O 到直线a 2＋ay －6＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a ，根据勾股定理可得a 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6a －a 2， 所以a 2＝4，所以a ＝±2.故选A.4．(2019·台州中学高三月考)若直线y ＝kx ＋4＋2k 与曲线y ＝4－x 2有两个交点，则k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－34C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1D ．(－∞，－1]解析：选B.曲线y ＝ 4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)，表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x 轴上方的半圆，如图所示．直线y ＝kx ＋4＋2k 即y ＝k (x ＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k 的直线， 结合图形可得k AB ＝4－4＝－1，因为|4＋2k |1＋k2＝2，解得k ＝－34，即k AT ＝－34， 所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－34.5．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0(D <0，E 为整数)的圆心C 到直线4x －3y ＋3＝0的距离为1，且圆C 被截x 轴所得的弦长|MN |＝4，则E 的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8解析：选C.圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋342＋（－3）2＝1，即|4D －3E －6|＝10，①在圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0中，令y ＝0得x 2＋Dx －3＝0. 设M (x 1，0)，N (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝－3. 由|MN |＝4得|x 1－x 2|＝4，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， (－D )2－4×(－3)＝16. 因为D <0，所以D ＝－2.将D ＝－2代入①得|3E ＋14|＝10，所以E ＝－8或E ＝－43(舍去)．6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，322B ．⎝⎛⎭⎪⎫322，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32 解析：选D.设P (a ，b )为圆上一点，由题意知，AP →·BP →＝0，即(a ＋t )(a －t )＋b 2＝0，a 2－t 2＋b 2＝0，所以t 2＝a 2＋b 2＝|OP |2，|OP |max ＝2＋1＝3，即t 的最大值为3，此时k OP ＝33，OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为32，横坐标为3×32＝332，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32. 7．(2019·浙江高中学科基础测试)由直线3x －4y ＋5＝0上的一动点P 向圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析：当直线上的点到圆心(2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离d ＝|3×2－4×（－1）＋5|32＋（－4）2＝3，r ＝1，所以切线长为2 2. 答案：2 28．(2019·杭州七校联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l 过圆心且交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于P 点，若2 PA →＝PB →，则直线l 的斜率k ＝________．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|PA |＋|AC |＝35，过圆心C (3，5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2.答案：±29．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1，2)，半径r ＝2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△PAC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠PAC，所以|PC |＝22sin ∠PAC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案：2 210．(2019·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．解析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1， 设O 2(a ，b )，则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a 2＋（b －1）2b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋（－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1. 所以|O 1O 2|＝22＋12＝ 5. 答案： 511．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P ，C ，所以k PC ＝2－02－1＝2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，又因为圆的半径为3，所以弦AB 的长为34. 12．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42， 所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20. [能力提升]1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3C ．19D ．49解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a ，0)和(0，2b )，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a 2＋4b 2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 2＋9b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4b 2a 2＋a 2b 2＋4≥19×(1＋4＋4)＝1.当且仅当4b 2a 2＝a2b2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A.2．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0，1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，125解析：选A.因为圆心在直线y ＝2x －4上， 所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.3．(2019·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为______________；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为________．解析：由题设将圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0中的x ，y 换为y ＋1，x －1可得圆C ′的方程为(y ＋1)2＋(x －1)2－6(y ＋1)－2(x －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，也即(x －2)2＋(y －2)2＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x －y －1＝0，圆心C ′(2，2)到该直线的距离d ＝12，半径r ＝10，故弦长L ＝210－12＝38.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝10 384．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝（y 1y 2）24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.5．(2019·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)设直线ax －y ＋5＝0(a ＞0)与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； (3)在(2)的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈N *)．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5， 所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25.因为m 为正整数，故m ＝1. 故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25. (2)把直线ax －y ＋5＝0，即y ＝ax ＋5 代入圆的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0，由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，由于a ＞0，解得a ＞512，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫512，＋∞.(3)设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为－1a，l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上， 所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.由于34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，故存在实数a ＝34， 使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。
