2020届上海市崇明区高考一模数学试卷(解析版)

2020年上海市崇明区高考数学一模试卷

题号 一 二 三 总分

得分

一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）

1. 若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（

）

A. B. -a＞b C. a3＜b3 D. a2＞b2

2. 已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 如图，在底面半径和高均为的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于（ ）

A. B. 1 C. D.

4. 若不等式（|x-a|-b）sin（πx+）≤0对x∈[-1，1]恒成立，则a+b的值等于（ ）

A. B.

C. 1 D. 2

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}，则A∩B=______．

6. 不等式|x-2|＜1的解集是______．

7. 半径为1的球的表面积是______．

8. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，则该数列的前n项和Sn=______．

9. 函数f（x）=的反函数是______．

10. 计算：=______．

11. 在二项式的展开式中，常数项等于______．

12. 若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为______ ．

13. 已知a，b∈R+，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，则ab的最大值等于______．

14. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数．当0＜x≤1时，f（x）=x3-ax+1，则实数a的值等于______．

15. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种．

16. 正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）

17. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB1=2．

（1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小；

（2）求直线B1C1与平面A1BC的距离．

18. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）设△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，，若，求a,b的值．

19. 某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升．

（1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；

（2）求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值．

20. 已知椭圆，其左右顶点分别为A，B，上下顶点分别为C，D．圆O是以线段AB为直径的圆．

（1）求圆O的方程；

（2）若点E，F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE，DF分别交x轴于点M、N，求证：为定值；

（3）若点P是椭圆Γ上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

21. 已知无穷数列{an}，{bn}，{cn}满足：对任意的n∈N*，都有an+1=|bn|-|cn|，bn+1=|cn|-|an|，cn+1=|an|-|bn|．记dn=max{|an|，|bn|，|cn|}（max{x，y，z}表示3个实数x，y，z中的最大值）．

（1）若a1=1，b1=2，c1=4，求，b4，c4的值；

（2）若a1=1，b1=2，求满足d2=d3的c1的所有值；

（3）设a1，b1，c1是非零整数，且|a1|，|b1|，|c1|互不相等，证明：存在正整数k，使得数列{an}，{bn}，{cn}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，由于a＜0＜b，则＜0＜，A错误；

对于B，若|a|＜|b|，则-a＜b，B错误；

对于C，由于a＜0＜b，则a3＜0＜b3，C正确；

对于D，若|a|＜|b|，则a2＜b2，D错误；

故选：C．

根据题意，依次分析选项中不等式是否正确，综合即可得答案．

本题考查不等式的性质以及应用，关键是掌握不等式的基本性质，属于基础题．

2.【答案】B

【解析】【分析】

由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．

本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．

【解答】

解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．

∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．

故选B.

3.【答案】D

【解析】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．

∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为，

∴OH=EH=．

∴OE=1．

在平面CED内建立直角坐标系如图．

设抛物线的方程为y2=2px．

（p＞0），F为抛物线的焦点．

C（1，），

∴2=2p•1．

解得p=1．

F（，0）．

即OF=，EF=，

∵PB=2，PE=1，

∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为=

故选：D．

根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可．

本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，是中档题．

4.【答案】B

【解析】解：当-1≤x≤-或≤x≤1时，sin（πx+）≤0，

当-≤x≤时，sin（πx+）≥0，

∴当-1≤x≤-或≤x≤1时，|x-a|-b≥0，当-≤x≤时，|x-a|-b≤0，

设f（x）=|x-a|-b，则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，

且f（x）的图象关于直线x=a对称，

∴f（-）=f（）=0，

∴2a=-+=，即a=，又f（）=|-|-b=0，故b=．

∴a+b=．

故选：B．

设f（x）=|x-a|-b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值．

本题考查了三角函数值的计算，函数单调性的应用，属于中档题．

5.【答案】{1，2}

【解析】解：∵A={0，1，2，3}，B={x|0＜x≤2}；

∴A∩B={1，2}．

故答案为：{1，2}．

进行交集的运算即可．

考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．

6.【答案】（1，3）

【解析】解：由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1，

解得1＜x＜3，

故答案为：（1，3）．

由不等式|x-2|＜1可得，-1＜x-2＜1，由此解得不等式的解集．

本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．

7.【答案】4π

【解析】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π•12=4π．

故答案为4π．

直接利用球的表面积公式，即可得出结论．

本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．

8.【答案】n2

【解析】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差为2，

∴该数列的前n项和Sn=n×=n2．

故答案为：n2．

利用等差数列前n项和公式直接求解．

本题考查等差数列前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9.【答案】f-1（x）=x2-1（x≥0）

【解析】解：由y=可得：x=y2-1，y≥0，

∴f（x）=的反函数是：f-1（x）=x2-1（x≥0），

故答案为：f-1（x）=x2-1 （x≥0）．

将y=转化为用y表示x的算式，进而可得答案．

本题考查了反函数的求法，考查了函数与方程思想，转化思想，难度中档．

10.【答案】3

【解析】解：===3

故答案为：3．

可将分子分母同除以3n再利用和极限的四则运算法则即可求解．

本题主要考查极限及其运算．解题的关键是要分子分母同除以3n使得分子和分母的极限均存在．

11.【答案】160

【解析】解：展开式的通项为=

令6-2r=0可得r=3

常数项为=160

故答案为：160

展开式的通项为=，要求常数项，只要令6-2r=0可得r，代入即可求

本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题

12.【答案】

【解析】解：依题意可知a=3，c=5

∴b=

根据顶点坐标可知焦点在x轴，

∴双曲线的方程为

故答案为：

根据顶点坐标求得a，根据焦距求得c，进而根据b2=c2-a2求得b，进而求得双曲线的标准方程．

本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a，b和c的关系，同时注意焦点是在x轴还是在y轴．

13.【答案】

【解析】解：根据题意，若直线x+2y+3=0与直线（a-1）x+by=2互相垂直，

则有（a-1）+2b=0，变形可得a+2b=1，

则ab=（a×2b）≤×（）2=，当且仅当a=2b=时，等号成立；

即ab的最大值为，