第四节 变量间的相关关系、统计案例
变量间的相关关系、统计案例
1．变量间的相关关系
(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系．
(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
2．统计案例
了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
(1)独立性检验
了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
(2)回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
知识点一 回归分析
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x.
(3)通过求Q＝∑ni＝1 (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
(4)相关系数：
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 易误提醒
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
学必求其心得，业必贵于专精
9.3 变量间的相关关系与统计案例
［知识梳理]
1．相关关系与回归方程
(1）相关关系的分类
①正相关:从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内，如图1；
②负相关：从散点图上看,点散布在从左上角到右下角的区域内，如图2。
（2）线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
（3）回归方程 学必求其心得，业必贵于专精
①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
②回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1,y1），(x2，y2），…，（xn，yn),其回归方程为错误!＝错误!x＋错误!，则错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.其中，错误!是回归方程的斜率，错误!是在y轴上的截距，错误!＝错误!错误!xi,错误!＝错误!错误!yi，(错误!，错误!)称为样本点的中心．
说明：回归直线错误!＝错误!x＋错误!必过样本点的中心（错误!，错误!），这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据,也是求参数的一个依据．
（4)样本相关系数
r＝错误!，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
①当r>0时,表明两个变量正相关；
②当r<0时，表明两个变量负相关；
③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当｜r|〉0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
2．独立性检验
（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
（2)列联表：列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2｝和｛y1，y2｝，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为
2×2列联表 学必求其心得，业必贵于专精
第 1 页 共 6 页 第五节 变量间的相关关系、统计案例
知识梳理
1．散点图．
(1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个图， 这种图为变量之间的________．
(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势可用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．
答案：1.（1）散点图
2．相关关系．
(1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为____________；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为____________．
(2)线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做____________．
(3)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是______________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
答案：2.（1）正相关 （2）回归直线 （3）非线性相关
3．回归直线．
(1)最小二乘法：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接近程度： [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋„＋[yn－(a＋bxn)]2，使得上式达到最小值的y^＝b^x＋a^就是我们要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(2)在回归直线方程y^＝b^x＋a^中，b^＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2＝i＝1nxiyi－nx·yi＝1nx2i－nx2，a^1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
3.了解下列两种常用的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
2021高考领跑一轮复习资料·数学篇
专题68变量间的相关关系与统计案例
一、【知识精讲】
1.相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.
(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.
2.线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x
1，y
1)，(x
2，y
2)，…，(x
n，y
n)，其回归方程
为y^
＝b^
x
＋a^
__，则b^
＝∑n
i＝1(x
i－x－
)(y
i－y－)
∑n
i＝1(x
i－x－
)2＝∑n
i＝1x
iy
i－nx－
y－
∑n
i＝1x2
i－nx－
2，a^
＝y－
－b^
x－
.其中，b^是回归方程的斜率，a^
是在y
轴上的截距.
回归直线一定过样本点的中心(x－
，y－
).
3.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x
1，y
1)，(x
2，y
2)，…，(x
n，y
n)，其中(x－
，y－)称为
样本点的中心.
(3)相关系数
当r
>0时，表明两个变量正相关；
当r
<0时，表明两个变量负相关.
r
的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r
的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r
|大于0.75时，认为两个变量
有很强的线性相关性.(4)相关指数：R2＝1－∑n
i＝1（y
i－y^
i）2
∑n
i＝1（y
i－y－
）2.其中∑n
i＝1(y
i－y^
i)2
是残差平方和，其值越小，则R2
越大(接近1)，模型
的拟合效果越好.
