3.3.2两点间的距离

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第 1 页 3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.2两点间的距离

【教材导读】

一、情景导入

已知平面上点A（1,3），你能求出A点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？

二、教材导读

1.两点间距离公式的推导

已知平面上点A（1,3），在平面直角坐标系中建立直角三角形，

由勾股定理可求得A点与原点O之间的距离：

223110d

那么已知平面上任意两点),(111yxP，),(222yxP，是否能用相同方法求得21PP的距离呢？

阅读教材P104内容，掌握应用几何方法推导出两点间距离公式的过程.

2.两点间的距离公式

平面上两点),(111yxP，),(222yxP间的距离公式：

21221221)()(yyxxPP

由公式可知，原点)0,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP；

3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模也得到了两点间的距离公式：平面上两点),(111yxP，),(222yxP，则： （1）122121(,)PPxxyy

（2）22122121||()()PPxxyy

注意比较两种情形下推证方法.

4. 沙尔定理:设A、B是x轴上任意一条有向线段，O是原点，OA=1x，OB=2x，那么有ABOBOA：21(,0),ABxx

12(,0),BAxx于是21||||ABxx

显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的直线上的有向线段也符合沙尔定理.

由此我们理解两点间距离公式的特例：

（1）当21PPy轴时，21yy，

1221xxPP；

1 顺德区容山中学__高二__年级__数学_学科活力课堂导学案

课题 §3.3.1两条直线的交点坐标 §3.3.2 两点间的距离

设计者：__杨时香 黄宗勤_审核者：__叶建华 _日期：___10月24日____

学习目标：

1.会求二元一次方程组的解；

2.掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；

3.了解过两条直线交点的直线系方程的问题；

4.理解平面内两点间距离公式的推导过程；

5.掌握两点间距离公式及其简单应用。

学习重点：求两条直线的交点坐标及掌握两点间距离公式应用

学习难点：过两条直线交点的直线系方程

第一部分：个体自学（预习教材P102~ P106，找出疑惑之处）

问题：1.如何用代数方法求方程组的解?

2.如何利用方程判断两直线的位置关系？

3.若两条直线相交，如何求直线的交点坐标？

4. 设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB=

第二部分：合作探究

探究一：直线上的点与其方程0CByAx的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点A(a,b)，这一点与两直线0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl有何关系？ 看下表，并填空。

几何元素及关系 代数表示

点A A（a，b）

直线L L：Ax+By+C=0

点A在直线上

直线L1与 L2的交点A

探究二：如何利用方程判断两直线的位置关系？

两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。因此，只要将两条直线1l和2l 的方程联立，得方程组00222111CyBxACyBxA

1．若方程组无解，则1l与2l

2.若方程组有且只有一个解，则1l与2l

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3．3.1 两条直线的交点坐标

3．3.2 两点间的距离

[学习目标]

1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．

3．掌握两点间距离公式并会应用．

[知识链接]

直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式，它们的表现形式分别为y－y0＝k(x－x0)、y＝kx＋b、y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1、xa＋yb＝1及Ax＋By＋C＝0.

[预习导引]

1．两条直线的交点

已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线的方程联立，得方程组 A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．

2．过定点的直线系方程

已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2.

3．两点间的距离

平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式

|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.

4．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.

(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.

(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.

要点一 两直线的交点问题

例1 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．

解 法一 由方程组 3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，

解得 x＝－2，y＝2，即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．

∵直线过坐标原点，

∴其斜率k＝2－2＝－1.

3.2.3 直线的一般式方程

一、课标解读

1．知识与技能

（1）理解直线和直线的交点与二元一次方程组的解的关系；

（2）掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2．过程与方法

(1) 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法

3．情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）用联系的观点看问题。

二、自学导引

1．两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为( )

A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合

2．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是（ )

A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0

3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为( )

A．1 B．－1 C．2 D．－2

4. 已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于( )

A．0或8 B．0或－8 C．0或6 D．0或－6

5． 已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．

答案：1．D 2．A 3.B 4.A 5．17

三、典例精析

例1判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．

(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；

(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；

(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.

解：(1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．

(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合．