1、一个偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数称为这个偏微分方程的阶。
2、如果方程对未知函数及其各阶导数总体来说是线性的，则称这个方程是线性方程，否则称这个方程是非线性方程。
3、几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果（即假设其他原因不存在时，该原因所产生的效果）的累加。这个原理称为叠加原理。
4、I【22222//0utaux
0:(),/()tuxutx】
初值问题I 的解为(,)[()()]/2(1/2)()xatxatuxtxatxatad此公式称为达朗贝尔公式
5、依赖区间（x-at,x+at）
第一章课后题2.8求解
222200{//sin|0,/|sin}ttutuxtxuutx
解：()0()11(,)sinsinsin22xtxttxtxtuxtddtx
sin(1,2,...)kkCxkl为常微分方程()()0XxXx满足边界条件(0)0,()0XXl的固有函数（或特征函数）而222kl称为相应的固有值。2222200:(),()0,:0uuatxutuxxtxxlu
初值问题，的解是(,)cossinsinkkkakakauxtAtBtxlll
又可以写成(,)cos()sinkkkkkuxtNtxl
其中222222,,cossinKKKKKkKkKkKkAKaNABlABBAB
KN称为波的振幅，K称为圆频率，k称为波的初位相。
弦上位于mlxk（m=0,1,..k）处的点在振动过程中保持不动，称为节点。。
弦所能发出的最低音所对应的圆频率就是其最低固有频率1al，这个音称为弦的基音，其余的圆频率是1的整数倍，称为泛音。
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专业知识 整理分享 第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案
第二篇数学物理方程
——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法
Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；
2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件
(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；
3、方程齐次化；
４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）
1、来源
I．质点力学：牛顿第二定律Fmr
连续体力学 弦 2 u(r,t) 弹性体力学杆振动：22波动方程); au(r,t)0( 2 t (弹性定律) 膜
流体力学：质量守恒律：(v)0; t
热力学物态方程： v1 (v)vpf0(Eulereq.). t
II.麦克斯韦方程
DddD;EdlBdsEB;
Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD.
Eu,BA,u,A
满足波动方程。
Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。
III.热力学统计物理
热传导方程：
扩散方程： T
t
t 2 kT
2 D 0;
0. 特别:稳态（0
t ）:
20(Laplaceequation).
IV.量子力学的薛定谔方程：
2 u 2.iuVu t2m
2.分类
物理过程方程数学分类 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 振动与波波动方程 2 u 1 2 u 22 at 0 双曲线
输运方程 能量：热传导
质量：扩散 u
t 20 ku 抛物线
1WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案
稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型
二、数理方程的导出
推导泛定方程的原则性步骤：
（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数
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文案大全 第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的力服从虎克定律，试证明),(txu满足方程
xuExtuxt
其中为杆的密度，E为氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：
),();,(txxuxxtxux
其相对伸长等于 ),()],([)],([txxuxxtxuxtxxuxxx
令0x，取极限得在点x的相对伸长为xu),(tx。由虎克定律，力),(txT等于
),()(),(txuxEtxTx
其中)(xE是在点x的氏模量。
设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx两端的力分别为
xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,().,(txx
于是得运动方程 ttuxxsx)()(xESutx),(xxxxxESuxx|)(|)(
利用微分中值定理，消去x，再令0x得
ttuxsx)()(xxESu()
若)(xs常量，则得 实用标准文档
文案大全 22)(tux=))((xuxEx
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在lxx,0两点则相应的边界条件为
.0),(,0),0(tlutu
(2)若lx为自由端，则杆在lx的力xuxEtlT)(),(|lx等于零，因此相应的边界条件为 xu|lx=0
数学物理方程复习
一．三类方程及定解问题
（一） 方程
1. 波动方程（双曲型）
Utt = a2Uxx +f; 00
U(0,t)= Φ1（t）;
U(l,t)= Φ2（t）;
U(x,0)= Ψ1（x）;
Ut(x,0)=Ψ2（x）。
2. 热传导方程（抛物型）
Ut = a2Uxx +f; 00
U(0,t)= Φ1（t）;
U(l,t)= Φ2（t）;
U(x,0)= Ψ1（x）.
3. 稳态方程（椭圆型）
Uxx +Uyy =f; 00.
U(0,x)= Φ1（x）;
U(b,x)= Φ2（x）;
U(y,0)= Ψ1（y）;
Ut(y,a)=Ψ2（y）。
（二） 解题的步骤
1. 建立数学模型，写出方程及定解条件
2. 解方程
3. 解的实定性问题（检验）
（三） 写方程的定解条件
1. 微元法：物理定理
2. 定解条件：初始条件及边界条件
（四） 解方程的方法
1. 分离变量法（有界区域内）
2. 行波法（针对波动方程，无界区域内）
3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）
Fourier变换:针对整个空间 奇：正弦变换 偶：余弦变换
Laplace变换：针对半空间
4. Green函数及基本解法
5. Bessel函数及Legendre函数法
例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b Ut（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+n△x））(0
在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),
COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)
