第十六章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )
§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )
一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.
1. 常见平面点集:
⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,
}|),{(b ax y y x +≥等.
⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.
⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是
}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.
⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .
⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.
2. 邻域: 圆邻域和方邻域,圆邻域内有方邻域,方邻域内有圆邻域.
空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集
}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<- 二. 点集的基本概念: 1. 内点、外点和界点:集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内 点E ∈, 外点E ?, 界点不定. 2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 . 例1 确定集} 4)2()1(1| ),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点. 3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和 空集φ为既开又闭集. 4. 开区域、闭区域、区域:以上常见平面点集均为区域 . 5. 有界集与无界集: 6. 点集的直径)(E d :两点的距离) , (21P P ρ. 7. 三角不等式: ||21x x -(或||21y y -)|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤. 三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =. 定义 0lim P P n n =∞ →的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n . 例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞ →. 四. 2R 中的完备性定理: 1. Cauchy 收敛准则: 先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列. 2. 闭集套定理: [1]P 89. 3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理,列紧性. 4. 有限复盖定理: 五. 二元函数: 1. 二元函数的定义、记法、图象: 2. 定义域: 例4 求定义域: ⅰ> ),(y x f 192222-+--= y x y x ; ⅱ> ),(y x f ) 1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数: 4. n 元函数: §2 二元函数的极限 ( 3 时 ) 一. 二元函数的极限: 1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或 A y x f y y x x =→→),(lim 00 例1 用“δε-”定义验证极限 7)(lim 22) 1,2(),(=++→y xy x y x . [1]P 94 E1. 例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2 22 0=+→→y x xy y x . 例3 设?? ???=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(222 2y x y x y x y x xy y x f 证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2. Th 1 A P f D P P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f D P P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 2 0A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f D P P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f D P P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 . 2 方向极限: 方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000 θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0 P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等 ?/ 二重极限存在 ( 以下例5 ). 例4 设?? ???=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3. 例5 设???+∞<<-∞<<=. ,0,0,1),(2其余部分时,当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. [1]P 95 E4. 二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质. 例6 求下列极限: ⅰ> )0,0(),(lim →y x 2 22y x y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(y x y x +++. 3. 极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限,→),(y x 无穷远点的情况. 例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321y x . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹,4,5. 二. 累次极限: 1. 累次极限的定义: 定义. 例8 设2 2),(y x xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设222 2),(y x y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设x y y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限. 2. 二重极限与累次极限的关系: ⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 ) ⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数y x y x f 1 sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 . ⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10) ⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ). 综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系. Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim 0 0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等. 注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在. 注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例. §3 二元函数的连续性 (2 时 ) 一. 二元函数的连续概念:由一元函数连续概念引入. 1. 连续的定义: 定义 用邻域语言定义连续. 注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 . 例1 设???????=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(222 2222y x m m y x y x xy y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 . 例1 设? ??+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101) 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续. 2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性. 3. 函数在区域上的连续性. 4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P 102). 二. 一致连续性: 定义. 三.有界闭区域上连续函数的性质: 1. 有界性与最值性. ( 证 ) 2. 一致连续性. ( 证 ) 3. 介值性与零点定理. ( 证 ) Ex [1]P 104—105 1 ⑴—⑸,2,4,5.