二元一次方程组培优竞赛专题讲解

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21世纪教育网 专题21 含字母的二元一次方程组

知识解读

培优学案

典例示范

1.求方程组中的字母的值

（1）方程组的解与另一个方程（组）的解相同

例1 若方程组4732byaxyx与方程组3546yxbyax有相同的解，求a，b的值.

【提示】根据方程组的解的意义，可知这两个方程组的解满足354732yxyx，求出这个解，再带入另外两个方程，求出a，b.

【解答】

1.求方程组中的字母的值

（1）方程组的解与另一个方程（组）的解相同

一般先将方程组中的字母看成已知数，把方程组的解用含这个字母的式子来表示，再根据题意列出新方程（组）来求解.

（2）看错方程组中字母的值

方程组的解适合方程组中每一个方程，如果看错了其中一个非常的系数，那么这个解就不是这个方程的解，但是还是其他方程的解.

（3）方程组有整数解

方程组有整数解的问题，一般情况下可先用字母表示出方程的解，再根据整除的性质联合确定使得几个未知数的值都是整数的字母的取值

2.含字母系数的方程组的解的情况

含字母系数方程组解的情况可用两种方法来解决：一是通过消元，将方程组转化为只含一个未知数的方程，然后讨论这个方程解的情况；二是直接根据方程组中字母的系数考虑方程组的解：一般地，若关于x,y的二元一次方程组222111cybxacybxa（其中212211,,,,,ccbaba是常数），（1）当x与y的系数不成比例即2121bbaa时，方程组有唯一解；（2）当x与y的系数成比例但与常数项不成比例即212121ccbbaa时，方程组无解；（3）当x与y的系数及常数项成比例即212121ccbbaa时，方

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21世纪教育网 【技巧点评】

方程组的解满足方程组中的每一个方程，因此将不含字母的方程联立成方程组可先求出方程组的解，进而再将解带入含字母的方程求字母.

1

二元一次方程组测试题

姓名: 得分:

一、选择题（每小题3分，共30分）：

1、若二元一次方程组043,1ynxymx的解中，y＝0，则m∶n等于( )．

(A)3∶4 (B)－3∶4 (C)－1∶4 (D)－1∶12

2、已知x＝3t＋1，y＝2t－1，用含x的式子表示y，其结果是( )．

(A)31xy (B)21yx (C)352xy (D)312xy

3、方程1132yxyx的整数解的个数是( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、方程组00axbymxny有不等于零的解的条件是（ ）

（A） 0a （B）0b （C）am＝bn （D）an＝bm

5、已知方程组 ||10||12xxyyxy，则x+y的值为（）

（A）185 （B）195 （C）4 （D）215

6、已知：一等腰三角形的两边长xy、满足方程组23328xyxy，，则此等腰三角形的周长为( )

A.5 B.4 C.3 D.5或4

7、小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠

子”.小刚却说：“只要把你的31给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组是（ ）

A．303202yxyx B．103102yxyx C．103202yxyx D．303102yxyx

8、如果21yx是方程组10cybxbyax的解，那么，下列各式中成立的是„（ ）

解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组

（八大题型）

重难点题型归纳

【题型1 解二元一次方程组-消元法】

【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】

【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】

【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】

【题型5遮挡问题】

【题型6 相同的解】

【题型7 错解】

【题型8 二元一次方程组新定义问题】

【题型1 解二元一次方程组-消元法】

【典例1】解方程组：

(1)2𝑥―𝑦=8①

3𝑥+2𝑦=5②

；

(2)2𝑥―1=3―𝑦

2

3𝑥―1

2𝑦=1

2

．

【答案】(1)𝑥=3

𝑦=―2

(2)𝑥=3

2

𝑦=1

【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．

（1）利用加减消元法求解即可；

（2）先化简方程组为2𝑥+𝑦=4①

4𝑥―3𝑦=3②

，再利用加减消元法求解即可．

【详解】（1）解：由①×2+②，得7𝑥=21，

解得：𝑥=3，

把𝑥=3代入，①得6―𝑦=8

解得：𝑦=―2，

∴𝑥=3

𝑦=―2

；

（2）解：化简整理，得2𝑥+𝑦=4①4𝑥―3𝑦=3②

，

由①×3+②，得10𝑥=15，

解得：𝑥=3

2，

把𝑥=3

2代入①，得𝑦=1，

∴𝑥=3

2

𝑦=1

．

【变式1-1】解下列方程组：

(1)𝑥―𝑦=5

2𝑥+𝑦=4

；

(2)3𝑥―𝑦=7

𝑥+3𝑦=―1

．

【答案】(1)𝑥=3

𝑦=―2

(2)𝑥=2

𝑦=―1

【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．

（1）利用加减消元法求解即可；

（2）利用加减消元法求解即可．

【详解】（1）解：𝑥―𝑦=5①

2𝑥+𝑦=4②

，

①+②，得3𝑥=9，

∴𝑥=3，

把𝑥=3代入①，得𝑦=―2，

∴𝑥=3

𝑦=―2

；

（2）3𝑥―𝑦=7①

𝑥+3𝑦=―1②

，

①×3+②，得10𝑥=20，

∴𝑥=2，

把𝑥=2代入①，得𝑦=―1，

∴𝑥=2

1．已知方程组512xyaxby和521613xybxay的解相同，则a、b的值分别是（ ）

A．2，3 B．3，2 C．2，4 D．3，4

2．把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，公路长为y米．根据题意，下面所列方程组中正确的是（ ）

A．6(1)5(211)yxxy B．6(1)5(21)yxxy

C．65(211)yxxy D．65(21)yxxy

3．下列方程中是二元一次方程的是（ ）

A．(2)(3)0xy B．-1xy

C．132xy D．5xy

4．已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）

A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1 C．14m,n33 D．14,33mn

5．下列各组值中，不是方程21xy的解的是（ ）

A．0,12xy B．1,1xy C．1,0xy D．1,1xy

6．已知关于x、y的二元一次方程组356310xyxky给出下列结论：①当5k时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程61516xy的解，则10k；③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解(x、y均为整数)，其中正确的是( )

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②

7．若方程6kx﹣2y=8有一组解32xy，则k的值等于（（ ） 23 23 16 16

8．小红问老师的年龄有多大时，老师说：“我像你这么大时，你才4岁，等你像我这么大时，我就49岁了，设老师今年x岁，小红今年y岁”，根据题意可列方程为（ ）