1979年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
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1979年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
一．（本题满分6分）
若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z成等差数列
证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y2
=(z+x-2y)2=0
∴2y=x+z,所以，x,y,z成等差数列
二．（本题满分6分）
xxxxtgxctgx222222cscsin1csc111111111111:.csc111111:原式解化简
三．（本题满分6分）
甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？
11111111222222221122112222111122112211221122221111221122:(),(),(),()()()()()()()()(mvnvmnmnmvnvmnmnmvmvmvmnmvmnmnmnmnmnnvnvnvmnnvmnmnmnmnmn解甲中含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲乙共含纯酒精公斤甲乙共含水),公斤混合后纯酒精与水之比为
1122221111222211[()()]:[()()]mvmnmvmnnvmnnvmn
四．（本题满6分）
叙述并证明勾股定理
证：略
五．（本题满10分）
外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？
解：作PC⊥AB于C，设PC=d，
在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ
P
A α β B
C
∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ）
当d≤D，即ctgα+ctgβ≥DS时，应向外国船发出警告
六．（本题满分10分）
设三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角
求证：△ABC是锐角三角形
证一：设VA=a，VB=b，VC=c，AB=p，BC=q，CA=r
于是p2=a2+b2, q2=b2+c2, r2=c2+a2
由余弦定理：
222222222222222()cos02.abcabcaCABabcaabcaCAB为锐角
同理，∠ABC，∠BCA也是锐角
证二：作VD⊥BC，D为垂足因VA垂直于平面VAC，所以
VA⊥BC又BC⊥VD，所以BC垂直于平面VAD，从而BC⊥AD
及在△ABC中，A在BC边上的垂足D介于B和C之间因此，
∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角
七．（本题满分12分）
美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3)
解：年增长率x应满足
100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.
C
V
D
A B
取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.
又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61
利用ln(1+x)≈x,则有
x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%
答：每年约增长百分之四
八．（本题满分12分）
设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B求证：33ACBCAEBF
证：连接CD因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径，
又AB切圆O于D，
∴CD⊥AB又在直角三角形ABC中，∠ACB=900，
∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA
(1) .22ACBCADBD
又因 BD2=BC·BF，AD2=AC·AE
(2) 22AEACBFBCADBD
由（1）与（2）得
3344ACBCAEBFACBCAEACBFBC C
E
F
A B
D
九．（本题满分14分）
试问数列)4sin100lg(,),4sin100lg(),4sin100lg(,100lg12n前多少项
的和的值最大？并求这最大值（lg2=0.301)
解：该数列的第k项为：
2lg)1(212)4sin100lg(1kank
所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k应适合下列条件：
11412(1)lg20, (1)212[(1)1]lg20, (2)2:(1)14.2(2)13.2,1414,149114280.301014.30.22kkkkkNkkaaS解此不等式组由得由得又取前项的和
十．（本题满分18分）
设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h
1．在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|·|PF|=|PE|2求P点的轨迹
2．在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|
Y
A
D P E
α
O θ h X
F
B
解：设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x,y）,则
0,.(2)25(1sin)2552sin1sin515552sin52sin5(,)52sin52sinPDPEPFyhhxhxhhtgytghhtgP由可知所以这里右端取正号代入得所求点的坐标为 xtgyxyyyxhyxyxxhyxPFPEPDOAAAhEAEhEOOAEAAhhhyhxhyxhxhyhxxxhyxPEPFPDyxOPOPPFyxOPOPPDyxOP51,sincos5cos4cossin)2(),1()2cosh(0,(h,0)(2) .cos2cossincossin.2.,,.cossin.cos.:.cossin,)0,cos()cossin()cos(0coscos20cos0cos2cos(1) ,)(cossincossin )sincoscos(sin)sin(cossin )sincoscos(sin)sin(.22222222222222222222222222222222222222得由点点及此直线通过即得由条件的切线是而且圆在是圆上一点的半径是圆是圆的中心则作直线在注意等腰三角形内的一部分所求轨迹是此圆在所给为半径的圆以为中心这是以即得除以即得由条件
