人教版数学必修四：1.3.2三角函数的图象与性质(一)(学生版)

正弦函数的图象与性质（一）学案

教学目标：1．能正确使用“五点法”和“几何法”作出正弦函数的图象．

2．掌握“五点法”作图的技巧．

3．了解“图象变换法”作正弦函数的图象的方法．

重点：正确使用“五点法”作出正弦函数的图象．

难点：理解“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的作图技巧．

教学过程：

问题二：如何利用三角函数线在直角坐标系中做出点)3sin3(，C？

自学指导：

阅读教材P37-P38，然后回答：

(1)怎样利用正弦线画正弦函数的图象？

(2)分为哪几步呢?

作法:(1)等分单位圆

(2)作正弦线

(3)平移正弦线

(4)连线

小结：正弦函数的图象的作法

(1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π…，即可，此时的图象叫做正弦曲线．

(2)“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)和(2π，0)．

例题：用五点法画出下列函数的简图:

(1)

按五个关键点列表

x

sin x

1＋sin x

利用五点法描点画图，

思考1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？

(2) 2,0,sin1xxy2,0,sinxxy

按五个关键点列表

x

sin x

—sin x

利用五点法描点画图，

思考2、函数y=-sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？

(3)

按五个关键点列表

内部资料，请勿外传 4 专题二

三角函数的图象与性质

一、三角函数的性质

【知识要点】

函数 xysin xycos xytan

图象

定义域 R R Zkkxx,2

值域

最值 1,1

当22kx时，1maxy

当22kx时，1miny 1,1

当kx2时，1maxy

当kx2时，1miny R

无最大值与最小值

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

周期性 最小正周期：2 最小正周期：2 最小正周期：

单

调

性 在]22,22[kk单调递增

在]232,22[kk单调递减

在]2,2[kk上单调递增

在]2,2[kk上单调递减

在)2,2(kk上单调递增

对称性 对称中心：)0,(k

对称轴：2kx 对称中心：)0,2(k

对称轴：kx 对称中心：)0,2(k

无对称轴

注：表中.Zk

【典例精析】

题型一、三角函数定义域与三角不等式

例1. 下列函数的定义域

(1)1sin2xy (2))2tan1lg(xy

内部资料，请勿外传 4 题型二、三角函数的奇偶性

例2. 求下列函数的奇偶性

(1)判断函数xxxysin)2cos(3的奇偶性。

(2)判断函数1tan1tanlgxxy的奇偶性。

➢ 变式训练：若函数6)(2sin)(xxf是偶函数，求的一个值。

题型三、三角函数的单调性

例3. 求函数1)23sin(xy的单调减区间。

变式：求函数1)6cos(2xy的单调增区间。

内部资料，请勿外传 4 题型四、三角函数的值域与最值

例4. 求下列函数的值域

(1)3)32cos(2xy (2))63(,3)32sin(2xxy

[学业水平训练]

1．函数y＝3＋3cos(2x＋π3)的值域是________．

解析：－1≤cos(2x＋π3)≤1，∴0≤y≤6.

答案：[0，6]

2．函数y＝sin |x|的图象是________(填正确序号)．

解析：y＝sin |x|＝sin x （x>0）sin（－x） （x<0），

作出y＝sin x在[0，2π]上的图象后作关于y轴对称的图象．

答案：②

3．已知函数f(x)＝sin(x－π2)(x∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号)

①函数f(x)的最小正周期为2π；

②函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数；

③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；

④函数f(x)是奇函数．

解析：∵y＝sin(x－π2)＝－cos x，∴T＝2π，即①正确．y＝cos x在[0，π2]上是减函数，则y＝－cos x在[0，π2]上是增函数，即②正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cos x为偶函数，即④不正确．

答案：④

4．函数y＝2sin x＋1的定义域为________．

解析：由题知2sin x＋1≥0，即sin x≥－12，结合正弦函数的性质可知，此时2kπ－π6≤x≤2kπ＋76π，(k∈Z)，所以该函数的定义域为{x|2kπ－π6≤x≤2kπ＋76π，k∈Z}．

答案：{x|2kπ－π6≤x≤2kπ＋76π，k∈Z}

5．已知四个函数的部分图象，其中，函数y＝－xcos x的图象是________．

解析：因为函数y＝－xcos x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除①③，当x∈(0，π2)时，y＝－xcos x<0，故排除②.

答案：④

6．下列关系式中正确的是________．

①sin 11°＜cos 10°＜sin 168°；

②sin 168°＜sin 11°＜cos 10°；

③sin 11°＜sin 168°＜cos 10°；

- 1 - 第1课时 余弦函数的图象与性质

学

习 目 标 核 心 素 养

1．会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象．(重点)

2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点) 1．通过余弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．

2．借助余弦函数图象和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.

1．余弦函数的图象

把正弦函数y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度就得到余弦函数y＝cos x的图象，该图象叫做余弦曲线．

2．余弦函数的性质

函数 y＝cos x

定义域 R

值域 [－1,1]

奇偶性 偶函数

周期性 以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期

单调性 当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，递增；

当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减

最大值与

最小值 当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；

当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1

3.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝2πω.

思考：在[0,2π]上画余弦函数图象的五个关键点是什么？

[提示] 画余弦曲线的五个关键点分别是(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)．

1．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( ) - 2 - A．0，π2，π，3π2，2π B．0，π4，π2，3π4，π

C．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3

B [令2x＝0，π2，π，3π2和2π，得x＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]

2．使cos x＝1－m有意义的m的值为( )

A．m≥0 B．0≤m≤2

C．－11

B [∵－1≤cos x≤1，∴－1≤1－m≤1，