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数学思想活用-巧得分系列之六 方程思想在平面向量中的应用2

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,中小学直线提分，就选福州五佳教育

平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从

两个方面思考，一是利用“数”的特征，我们可

以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标

运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问

题来解决；二是利用其“形”的特征，可以通过

向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为

平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关

结论得到结果.

[典例] (2012·江西高考)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝( )

A．2 B．4

C．5 D．10

1．特殊化法

该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果．

[解析] 设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图所示，以C为原点建立平面直角坐标系，则A(4,0)，B(0,4)，因为D为AB的中点，所以D(2,2)．因为P为CD的中点，所以P(1,1)，PC＝(－1，－1)，PA＝(3，－1)，PB＝(1,3)．

故|PC|2＝12＋12＝2，|PA|2＝32＋(－1)2＝10，

|PB|2＝(－1)2＋32＝10，所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝202＝10.

[答案] D

[题后悟道] 该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如果该题中出现,中小学直线提分，就选福州五佳教育

“与两直角边的长度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了．

2．向量基底法

在△ABC中，CA，CB是两直角边，可以先把两个向量CA，CB作为一组基底，然后利用平面向量基本定理表示目标向量，再进行运算即可．

[解析]如图所示，取相互垂直的两个向量CA＝a，CB＝b作为平面向量的基向量，显然a·b＝0.

则在△ABC中，BA＝a－b，因为D为AB的中点，

所以CD＝12(a＋b)．因为P为CD的中点，

所以PC＝－12CD＝－12×12(a＋b)＝－14(a＋b)．

在△CBP中，PB＝PC＋CB＝－14(a＋b)＋b＝－14a＋34b，

在△CAP中，PA＝PC＋CA＝－14(a＋b)＋a＝34a－14b.

所以|PC|2＝－14a＋b2＝116(a2＋b2＋2a·b)＝

116(|a|2＋|b|2)，

|PB|2＝－14a＋34b2＝116a2＋916b2－38a·b＝

116|a2|＋916|b|2，

|PA|2＝34a－14b2＝916a2＋116b2－38a·b＝916|a|2＋116|b|2.

故|PA|2＋|PB|2|PC|2＝

916|a|2＋116|b|2＋116|a|2＋916|b|2116|a|2＋|b|2＝10.

[答案] D

[题后悟道] 利用向量的线性运算和平面向量基本定理，首先用a和b表示出PC，进而求出PA和PB.

3．坐标法

我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证．

[解析] 如图所示，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别作为,中小学直线提分，就选福州五佳教育

x轴，y轴建立平面直角坐标系．

设|CA|＝a，|CB|＝b，则

A(a,0)，B(0，b)，

因为D为AB的中点，则Da2，b2，

因为P为CD的中点，则Pa4，b4，

PC＝－a4，－b4，PB＝－a4，3b4，PA＝3a4，－b4.

所以|PC|2＝－a42＋－b42＝a216＋b216，

|PB|2＝－a42＋3b42＝a216＋9b216，

|PA|2＝3a42＋－b42＝9a216＋b216.

所以|PA|2＋|PB|2＝a216＋9b216＋9a216＋b216＝10a216＋b216＝10|PC|2.

所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10.

[答案] D

[题后悟道] 利用坐标计算向量模的问题，是最常用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点．

以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征．

文章来源：福州五佳教育网(中小学直线提分，就上福州五佳教育)

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高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)

学必求其心得，业必贵于专精

1 2.7 向量应用举例

典题精讲

例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.

答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：

|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。

证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，

∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。

图2-7—1

∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，

｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。

∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.

又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，

∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,

即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.

证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.

设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），

∴AC=AB＋AD 学必求其心得，业必贵于专精

2

图2—7-2

=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），

BD=AD—AB

=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。

∴|AC｜2=（c+a）2+b2，

|BD｜2=（a-c）2+b2.

∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。

又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,

∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,

即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。

绿色通道：

1。向量法解决几何问题的步骤:

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;

②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；

高中数学向量的运算技巧及应用举例

高中数学向量的运算技巧及应用举例

高中数学向量的运算技巧及应用举例

向量是高中数学中的重要概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。掌握向量的运算技巧和应用，对于高中学生来说至关重要。本文将以具体的题目为例，详细介绍向量的运算技巧及其应用。

一、向量的加法和减法

向量的加法和减法是向量运算中最基础的部分。在进行向量的加减运算时，需要注意向量的方向和大小。

例题1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量c = a + b。

解析：根据向量的加法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之和，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之和。因此，向量c = (2 + (-1), 3 + 4) = (1,

7)。

例题2：已知向量a = (3, 5)和向量b = (2, -4)，求向量c = a - b。

解析：根据向量的减法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之差，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之差。因此，向量c = (3 - 2, 5 - (-4)) = (1,

9)。

通过以上两个例题，我们可以看出向量的加法和减法运算实际上就是对应坐标的加减运算。掌握了这一点，我们就能够轻松地进行向量的加减运算。

二、向量的数量积和向量积

向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。数量积表示两个向量的乘积，向量积表示两个向量的叉乘。

例题3：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的数量积。 解析：向量a和向量b的数量积等于向量a的横坐标乘以向量b的横坐标之和，再加上向量a的纵坐标乘以向量b的纵坐标之和。因此，向量a和向量b的数量积为3 * 2 + 4 * (-1) = 6 - 4 = 2。

例题4：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的向量积。

解析：向量a和向量b的向量积等于向量a的横坐标乘以向量b的纵坐标减去向量a的纵坐标乘以向量b的横坐标。因此，向量a和向量b的向量积为3 * (-1) -

2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版

2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．

2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．

3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．

【知识点展示】

（一）平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（二）平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)， |AB→|＝x2－x12＋y2－y12.

（三）平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

（四）平面向量数量积的坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．

结论 几何表示 坐标表示

模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21

数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2

夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22

a⊥b a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0

|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|

26-2.5.1平面几何中的向量方法

26-2.5.1平面几何中的向量方法

1 O A

a a

a b b b

2.5.1平面几何中的向量方法

教材分析

本节内容是数学4 第二章平面向量第5节平面向量应用举例第1小节，是在学习了平面向量定义运算数量积的基础上，展示平面向量在平面几何和物理中的应用.向量作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的很多章节，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，特别是在解决几何问题中的工具作用更为突出．这种数学方法，把几何从思辨数学化成算法数学，降低了思考问题的难度，推进了几何研究的发展．本节内容是中学数学知识网络的一个交汇点，因此在中学数学教材中的地位也越来越重要．本节也为学生以后学习向量在三角函数、立体几何、复数等章节内容中的应用奠定了基础．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要探究用向量方法解决平面几何问题.

教学目标

重点: 用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤．

难点：如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题．

知识点：运用向量方法解决平面几何问题三步曲．

能力点：发展创新意识,提高转化与化归能力.

教育点：通过对新方法的探求，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．

自主探究点：三角形四心的向量表示．

考试点：利用向量的几何意义进行向量的线性运算与数量积运算．

易错易混点：向量基底的选择．

拓展点：利用向量证明有关不等式．

教具准备 三角板、圆规、多媒体

课堂模式 探究导学

一、 复习引入

【师生活动】我们学习了向量的线性运算与数量积运算，

１．你能说出它们的几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？

（１）向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

（２）向量减法的法则：三角形法则与平行四边形法则

O A a B’

b b

b a+ (b) a

b 2

（３）平面向量基本定理：

如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,使a=11e22e.