2017_2018学年高中数学课时作业13 第二章统计2.3变量间的相关关系 新人教A版 必修3
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1 课时作业13 变量间的相关关系 两个变量的线性相关
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列变量是线性相关的是( )
A．人的体重与视力
B．圆心角的大小与所对的圆弧长
C．收入水平与购买能力
D．人的年龄与体重
解析：B为确定性关系；A，D不具有线性关系，故选C.
答案：C
2．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．②③
解析：具有相关关系的两个变量的数据所对应的图形是散点图，②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．
答案：D
3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )
A.y^＝1.5x＋2 B.y^＝－1.5x＋2
C.y^＝1.5x－2 D.y^＝－1.5x－2
解析：设回归方程为y^＝b^x＋a^，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以b^<0，a^>0，因此方程可能为y^＝－1.5x＋2.
答案：B
4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )
A．直线l1和l2有交点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和l2必定重合
解析：设线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，而a^＝y－－b^x－.所以点(s，t)在回归直线上．所以直线l1和l2有公共点(s，t)．
答案：A
5．下列有关回归方程y^＝b^x＋a^的叙述正确的是( ) 2 ①反映y^与x之间的函数关系
②反映y与x之间的函数关系
③表示y^与x之间的不确定关系
④表示最接近y与z之间真实关系的一条直线
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：y^＝b^x＋a^表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关系．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列关系：
(1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系．
(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系．
(3)柑橘的产量与气温之间的关系．
(4)森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．
其中具有相关关系的是________．
解析：(1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时间有关外，还要受冶炼温度等其他因素的影响，故具有相关关系．
(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一种确定性关系．
(3)柑橘的产量除了受气温影响以外，还与施肥量以及水分等因素的影响，故具有相关关系．
(4)森林中的同一种树木，其横断面直径随高度的增加而增加，但是还受树木的疏松及光照等因素的影响，故具有相关关系．
答案：(1)(3)(4)
7．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；
②回归方程一般都有局限性；
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．
正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错．
答案：②③
8．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．
解析：由题意知，y＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元．
答案：12.1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．根据有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的吗？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法正确吗？
解析：吸烟和健康之间存在一定的相关关系，但不是每一个吸烟者的健康问题都是因为吸烟引起的．“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”是不正确的．
10．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)，与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表
x 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
已知i＝1nx2i＝280，i＝1ny2i＝45 209，i＝1nxiyi＝3 487. 3 (1)求x－，y－；
(2)求回归方程．
解析：(1)x－＝17×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
y－＝17×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝5597.
(2)b^＝3 487－7×6×5597280－7×36＝194，
∴a^＝5597－194×6＝71914，
∴所求回归方程为y^＝194x＋71914.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．已知x与y之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.b^>b′，a^>a′ B.b^>b′，a^
C.b^a′ D.b^
解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，从而b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b^＝i＝16xiyi－6x－·y－i＝16x2i－6x－2＝58－6×72×13691－6×722＝57，
a^＝y－－b^x－＝136－57×72＝－13，
所以b^a′.
答案：C
12．(广州高一检测)某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y与x呈线性相关关系)：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
根据上表提供的数据得到回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．
解析：x－＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5， 4 y－＝15(30＋40＋60＋50＋70)＝50，
由b^＝6.5知，a^＝y－－b^·x－＝50－6.5×5＝17.5，
所以y^＝17.5＋6.5x，当y^＝115时，解得x＝15.
答案：15
13．(重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10
(1)求y关于t的回归方程y^＝b^t＋a^；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程y^＝b^t＋a^中，b^＝i＝1ntiyi－nt－y－i＝1nt2i－nt－2，a^＝y－－b^t－.
解析：(1)列表计算如下：
i ti yi t2i tiyi
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
∑ 15 36 55 120
这里n＝5，t－＝1n，i＝1nti＝155＝3，
y－＝1ni＝1nyi＝365＝7.2.
又i＝1nt2i－nt－2＝55－5×32＝10，i＝1ntiyi－nt－y－＝120－5×3×7.2＝12，
从而b^＝1210＝1.2，a^＝y－－b^t－
＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y^＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
y^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
14．(全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 5
注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：i＝17yi＝9.32，i＝17tiyi＝40.17，
i＝17yi－y－2＝0.55，7≈2.646.
参考公式：相关系数r＝i＝1n ti－t－yi－y－i＝1n ti－t－2i＝1n yi－y－2，回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝i＝1n ti－t－yi－y－i＝1n ti－t－2，a^＝y－－b^t－.
解析：(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得
t－＝4，i＝17 (ti－t－)2＝28，i＝17 yi－y－2＝0.55.
i＝17 (ti－t－)(yi－y－)＝i＝17tiyi－t－i＝17yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴ r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由y－＝9.327≈1.331及(1)得b^＝i＝17 ti－t－yi－y－i＝17 ti－t－2＝2.8928≈0.103，
a^＝y－－b^t－≈1.331－0.103×4≈0.92.
