第十三章习题解答
13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为r 1，r 2。已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为时间。导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势。
分析：当导线中电流
I 随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第电磁感应定
律d d i t
Φ
ε=-计算感应电动势，其中磁通量s
B d S Φ=? ，B 为两导线产生的磁场的叠加。
解：无限长直电流激发的磁感应强度为02I
B r
μ=
π。取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在矩形导线框的左
边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的叠加原理可得x 处的磁感应强度大小 00122()
2()
I
I
B r x r x μμ=
+
π+π+， 垂直纸面向里
通过微分面积dS adx =的磁通量为 00122()2()I I
d B dS B dS adx r x r x μμππ??Φ===+??++??
通过矩形线圈的磁通量为 000
122()2()b I I adx r x r x μμΦ??=
+??
π+π+??
?
012012
ln ln sin 2a
r b r b
I t r r μω??
++=+
?π??
感生电动势
01201
201
2012d ln ln
cos d 2()()ln cos 2i a r b r b I t t
r r a
r b r b I t
r r μωΦεωμωω?
?
++=-
=-
+ ?π?
?
??++=-
??π
??
0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方向为逆时针。
13-2 如题图13-2所示，有一半径为r =10cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场B
中（B =0.5T ）。
圆形线圈可绕通过圆心的轴O 1O 2转动，转速n =600rev/min 。求圆线圈自图示的初始位置转过/2π时， (1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R =100Ω，不计自感）；(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度。 分析：应用法拉第电磁感应定律求解感应电动势。应用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求出感应电流在圆心处产生的磁感应强度。
解：(1) 圆形线圈转动的角速度2=
2060
n
πωπ= rad/s 。设t =0时圆形线圈处在图示位置，取顺时针方向为回路绕行的正方向。则t 时刻通过该回路的全磁通 2
cos cos N B S N BS t N B r t ψωπω===
题图13-1 题图13-2
电动势 2
d sin d i N B r t t
ψεπωω=-
= 感应电流 2
sin i i NB r t
I R
R
επωω=
=
将圆线圈自图示的初始位置转过/2π时，2
t π
ω=
，代入已知数值 得： 0.99i I A =
(2) 感应电流在圆心处产生的磁感应强度的大小为
4
0 6.2210T 2i i I B N r
μ-==? i B 的方向与均匀外磁场B 的方向垂直。
13-3 均匀磁场B
被限制在半径R =10cm 的无限长圆柱形空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd ，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如题图13-3所示。设磁场以d 1T /s d B t
=的匀速
率增加，已知6cm Oa Ob ==，3
π
θ=
，求等腰梯形回路abcd 感生电动势的大小和方向。
分析：求整个回路中的电动势，采用法拉第电磁感应定律，本题的关键是确定回路的磁通量。 解：设顺时针方向为等腰梯形回路绕行的正方向.则t 时刻通过该回路的磁通量 B S BS Φ
==
，其中S 为等腰梯形abcd 中存在磁场部分的面积，其值为
2
2
11()sin 22
S R oa θθ=-
电动势 d d d d i B
S
t
t Φε=-
=-22
11d ()sin 22d B R oa t
θθ??=--??
?? 代入已知数值 3
3.6810V i ε-=-? “–”说明，电动势的实际方向为逆时针，即沿adcba 绕向。用楞次定律也可直接
判断电动势的方向为逆时针绕向。
13-4 如题图13-4所示，有一根长直导线，载有直流电流I ，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的
矩形线圈，以匀速度v 沿垂直于导线的方向离开导线.设t =0时，线圈位于图示位置,求：
(1) 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量m Φ； (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势i ε。 分析：线圈运动，穿过线圈的磁通量改变，线圈中有感应电动势产生，求出t 时刻穿过线圈的磁通量，再由法拉第电磁感应定律求感应电动势。
解：(1) 设线圈回路的绕行方向为顺时针。由于载流长直导线激发磁场为非均匀分布，02I
B x
μπ=
。因此，
必须由积分求得t 时刻通过回路的磁通量。取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在直导线的位置，坐标正
方向为水平向右，则在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量为0
0d d ln 22b vt S a vt I Il b vt l x x a vt
μμΦππ+++===+?? B S
题图13-3 题图13-4
（2）在图示位置时矩形圈中的感应电动势 00
()d d 2i t Ilv b a t
ab
μΦεπ=-=-
=
电动势的方向沿顺时针绕向。
13-5 如题图13-5所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM 与L M '',其间距离为l ,其左端与电动势为0
ε的电源连接.匀强磁场B
垂直于图面向里，一段直裸导线ab 横嵌在平行导线间（并可保持在导线上做无摩
擦地滑动）,电路接通，由于磁场力的作用，ab 从静止开始向右运动起来。求: (1) ab 达到的最大速度; (2) ab 到最大速度时通过电源的电流I 。
分析：本题是包含电磁感应、磁场对电流的作用和全电路欧姆定律的综合性问题。当接通电源后，ab 中产生电流。该通电导线受安培力的作用而向右加速运动，由于ab 向右运动使穿过回路的磁通量逐渐增加，在回路中产生感应电流，从而使回路中电流减小，当回路中电流为零时，直导线ab 不受安培力作用，此时ab 达到最大速度。
解：（1）电路接通，由于磁场力的作用,ab 从静止开始向右运动起来。设ab 运动的速度为v ,则此时直导线
ab 所产生的动生电动势i Blv ε=，方向由b 指向a .由全电路欧姆定理可得此时电路中的电流为
0B lv
i R
ε-=
ab 达到的最大速度时，直导线ab 不受到磁场力的作用，此时0i =。所以ab 达到的最大速度为
m ax v B l
ε=
（2）ab 达到的最大速度时，直导线ab 不受到磁场力的作用，此时通过电路的电流i =0。所以通过电源的电流也等于零。
13-6 如题图13-6所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω
在水平面内旋转，O 1O 2在离细
杆a 端L /5处。若已知均匀磁场B
平行于O 1O 2轴。求ab 两端间的电势差U a -U b .
分析：由动生电动势表达式先求出每段的电动势，再将ab 的电动势看成是oa 和ob 二者电动势的代数和，ab 两端的电势差大小即为ab 间的动生电动势大小。求每段的电动势时，由于各处的运动速度不同，因此要
将各段微分成线元dl ，先由动生电动势公式计算线元dl
的两端的动生电动势i d ε，再积分计算整段的动生电动势。 解：设金属细杆ab 与竖直轴O 1O 2交于点O ,将ab 两端间的动生电动势看成ao 与ob 两段动生电动势的串联。
取ob 方向为导线的正方向，在铜棒上取极小的一段线元dl
，方向为ob 方向。线元运动的速度大小为v l ω=。由于,,v B dl
互相垂直。所以dl 两端的动生电动势 ()i d v B dl vBdl B ldl εω=?=-=-
题图13-5 题图13-6
ob 的动生电动势为 2
42
50
1
416d d 2550L
ob i ab
L Bl l B B L εεωωω??=
=
-=-=- ?
??
?
?
动生电动势ob ε的方向由b 指向O 。同理oa 的动生电动势为
2
2
50
1
1d d 2550L
oa i ba
L Bl l B B L εεωωω??=
=
-=-=- ???
?
?
动生电动势oa ε的方向由a 指向O 。所以ab 两端间的的动生电动势为
2
310
ab ao ob oa ob B L εεεεεω=+=-+=-
动生电动势ab ε的方向由a 指向了b ；a 端带负电，b 端带正电。
ab 两端间的电势差 2
310
a b ab U U B L εω-==-
b 端电势高于a 端。
13-7 如题图13-7所示，导线L 以角速度ω绕其端点O 旋转，导线L 与电流I 在共同的平面内，O 点到长直电流I 的距离为a ,且a >L ,求导线L 在与水平方向成θ角时的动生电动势的大小和方向。
分析：载流长直导线产生磁场，导线L 绕O 旋转切割磁力线。由于切割是不均匀的磁场，而且导体各处的
运动速度不同，所以要微分运动导线，先由动生电动势公式计算线元dl
的两端的动生电动势i d ε，再积分
计算整段的总动生电动势。
解：取OP 方向为导线的正方向，在导线OP 上某处取极小的一段线元dl
,方向为OP 方向。线元运动的速度大小为v l
ω=。由于,,v B dl 互相垂直。所以dl 两端的动生电动势
()d v B dl vBdl B ldl εω=?=-=-
将载流长直导线在该处激发磁场02(cos )
I B a l μπθ=
+代入，积分得导线L 在与水平方向线成θ角时的动生
电动势为：()
00
d 2cos L
i O P
i I ldl
a l ωμεεπ
θ=
=-+?
? 02
(cos )(cos )2cos (cos )
L I a l a d l a l ωμθθπθ
θ+-=
+?
02
+cos cos In 2cos I
a L L a a ωμθθπθ??
=-
-? ?
? 动生电动势的方向由P 指向O 。 13-8 如题图13-8所示半径为r 的长直密绕空心螺线管，单位长度的绕线匝数为n ,所加交变电流为I =I 0sin
ωt 。今在管的垂直平面上放置一半径为2r ,电阻为R 的导线环，其圆心恰好在螺线管轴线上。 （1）计算导线环上涡旋电场E 的值且说明其方向；
题图13-7 题图13-8
(2)计算导线上的感应电流i I ；(3)计算导线环与螺线管间的互感系数M 。
分析：电流变化，螺线管内部磁场也变化，由磁场的柱对称性可知，由变化磁场所激发的感生电场也具有相应的对称性，感生电场线是一系列的同心圆。根据感生电场的环路定理，可求出感生电场强度。由法拉第电磁感应定律及欧姆定律求感应电流，由互感系数定义式求互感系数。 解：（1）以半径为2r 的导线环为闭合回路L ，取回路L 的绕行正方向与B 呈右旋关系，自上向下看为逆时针方向。由于长直螺线管只在管内产生均匀磁场0B nI μ=，导线环上某点涡旋电场E 方向沿导线环的切向。 所以由规律L S B E dl dS t ?=-???
可得 2
2(2)dB E r r dt
ππ=- 导线环上涡旋电场E 的值为 00cos 44
n r
r dB E I t dt
μωω=-
=-
若cos ωt >0,E 电场线的实际走向与回路L 的绕行正方向相反，自上向下看为顺时针方向；若cos ωt <0,E 电场线的实际走向与回路L 的绕行正方向相同，自上向下看为逆时针方向。 (2) 导线上的感应电流i I 2
2
001cos i i d r dB r I nI t
R
R dt
R
dt R
εππμωωΦ=
=-
=-
=
(3)导线环与螺线管间的互感系数为 2
2
0B r M n r I
I
πμπΦ=
=
=
13-9 电子感应加速器中的磁场在直径为0.50m 的圆柱形区域内是匀强的，若磁场的变化率为1.0×10-2
T/S 。试计算离开中心距离为0.10m 、0.50m 、1.0m 处各点的感生电场。
分析：由磁场的柱对称性可知，变化磁场所激发的感生电场分布也具有相应的对称性，即感生电场的电场
线是一系列以圆柱体中心为轴的同心圆。根据L S B E dl dS t ?=-???
可求出感生电场强度。 解：以圆柱形的区域的中心到各点的距离为半径，作闭合回路L 。取回路L 的绕行正方向与B 呈右旋关系，为顺时针方向。由于回路上各点处的感生电场E 沿L 的切线方向。所以由规律
L
S
B
E dl dS t ?=-??
?
可得 22
()
2()
L dB r r R dt
E dl E r dB R r R dt
πππ?-???
得 2
d ()
2d d ()
2d r B
r R t
E R B r R r t
?-??
式中“-”说明：若
d 0d B t
>，E 的实际方向与假定方向相反，否则为一致。 r =0.10m 时,r d || 5.010 V /m 2d r B E t -==?r =0.50m 时, r >R , 2 4 d || 6.2510V/m 2d R B E r t -= =? r =1.10m 时,r >R , 2 4 d || 3.1310V/m 2d R B E r t -= =? 13-10 如题图13-10所示，一个限定在半径为R 的圆柱体内的均匀磁场B 以10-2T/s 的恒定变化率减小。电子在磁场中A 、O 、C 各点处时，它所获得的瞬时加速度（大小、方向）各为若干？设r =5.0cm 。 分析：根据对称性，由感生电场的环路定理求出感生电场强度，由感生电场力及牛顿第二定律求出瞬时加速度。 解：以圆柱形区域的中心到各点的距离为半径，作闭合回路L 。取回路L 的绕行正方向与B 呈右旋关系，由 于回路上各点处的感生电场E 沿L 的切线方向。所以由规律 d d L l t ?=-??? S B E S 可得 2 d d 2d L B E r r t =π=-π? E l (r =-。 由于圆柱体内的均匀磁场B 以10-2T/s 的恒定变化率减小.所以d 0d B t <，E 的实际方向与假定方向一致，为顺时针方向的切线方向。 电子受到的电场力为e F eE =-,其方向为逆时针的切线方向。 瞬时加速度的大小为：d 2d eE e r B a m m t = = 由于r A =0.05m,所以A 处的瞬时加速度的大小为： 72 4.410/A a m s =?，方向为水平向右；由于r C =0.05m,所以C 处的瞬时加速度的大小为：7 2 4.410/C a m s =?，方向为水平向左；由于r O =0,所以O 处的瞬时加速度：0O a = 13-11 真空中的矩形截面的螺线环的总匝数为N ，其它尺寸如题图13-11所示，求它的自感系数。 分析：自感系数一般可由LI ψ=计算，可见计算自感系数关键是确定穿过自感线圈的磁通量。假设螺线管通有电流，求出磁感应强度，再求出磁通量、磁通链，即可求出自感系数。 解：设螺绕管通有电流I ，由安培环路定理可得管内距轴线r 处的磁场强度为2N I H r = π, 2N I B H r μμ== π 通过某一截面的磁通量 21 0021 d d ln 22R S R N I N Ih R B S h r r R μμΦ= = = ππ ?? ? 螺绕管的磁通链2 021 ln 2N N Ih R N R μψΦ== π 自感系数：2 021 ln 2N N h R L I R ψμ= = π 题图13-10 题图13-11 13-12 设一同轴电缆由半径分别为1r 1和2r 的两个同轴薄壁长直圆筒组成，电流由内筒流入，由外筒流出，如题图13-12所示。两筒间介质的相对磁导率r 1μ=，求同轴电缆 (1) 单位长度的自感系数；（2）单位长度内所储存的磁能。 分析：先求磁场、磁通量，由自感系数定义式求自感系数，再由自感磁能表达式求磁能。 解：（1）电流由内筒流入，由外筒流出时，在内外筒之间产生的磁场为B=02I r μπ（见11-19）。通过内外筒之 间单位长度截面的磁通量为 21 21 21 d 1d ln ln r S r I I r x x r r L r μμΦμΦI 000 = == 2π2π ∴= = 2π? ? S B （2）单位长度内所储存的磁能 2 2 021 1ln 2 4m I r W LI r μπ = = 13-13 一无限长直导线通以电流I =I 0sin ωt ，和直导线在同一平面内有一矩形线框，其短边与直导线平行，线框的尺寸及位置如题图13-13所示，且b /c =3。求： (1) 直导线和线框的互感系数；(2) 线框中的互感电动势。 分析：互感系数由MI =φ计算，计算互感系数关键是确定穿过互感线圈的磁通量。 解：(1) 无限长直导线产生的磁场02I B r μπ= 。取矩形线框的正法线方向为垂直纸面向里，通过矩形线框的 磁通量为 d d d ln ln 3 b c S I I a x a x x x Ia Ia b c μμΦμμ0000= = -2π2π= = 2π 2π ? ? ? S B ∴ 0ln 32a M I μΦ = = π （2）线框中的互感电动势 00ln 3 d cos d 2i a I I M t t μωεω=-=- π i ε为正时，电动势的方向沿顺时针绕向；i ε为负时，电动势的方向沿逆时针绕向。 13-14 一圆环，环管横截面的半径为a ，中心线的半径为R (R a )。有两个彼此绝缘的导线圈都均匀地密绕在环上，一个N 1匝，另一个N 2匝，求： （1）两线圈的自感L 1和L 2；（2）两线圈的互感M ； （3）M 与L 1和L 2的关系。 分析：由于R a ，环中的磁感应强度可视为均匀。设两个线圈通有电流1I 、2I ，求出穿过螺线管线圈的 题图13-12 题图13-13 磁通链数，进而求出自感、互感系数。 解：（1）设N 1匝螺绕管线圈中通有电流I 1，由于中心线的半径R 环管横截面的半径a ，所以螺绕管内的磁场011 12N I B R μ= π，通过螺绕管线圈的磁通链数为 22 2 011011111 122N I N a N B S N a I R R μμψ==π= π N 1匝螺绕管线圈自感系数： 22 011 11 2N a L I R μψ= = 同理，N 2匝螺绕管线圈自感系数： 22 022 22 2N a L I R μψ= = （2）N 1匝螺绕管线圈产生的磁场B 1，通过N 2匝螺绕管线圈的磁通链数为 2 2 01101221212 122N I N N a N B S N a I R R μμψ==π= π 两线圈的互感 2 01221 1 2N N a M I R μψ= = （3）M 与L 1和L 2的关系 2 0122N N a M R μ= = = 13-15 一圆柱体长直导线，均匀地通有电流I ，证明导线内部单位长度储存的磁场能量为2m 0/(16) W I μ=π（设导体的相对磁导率r 1μ≈）。 分析：均匀通有电流的长直导线，其内部和外部均存在磁场，且磁场分布呈轴对称性。据题意，只需求得单位长度导线内所储存的磁能，因此根据磁能密度公式，求得体元内的磁能，然后对圆柱内部的磁能进行积分即可。 解：设圆柱形导体的半径为R .由安培环路定律可得长直导线内的磁场 02 ,2r B I R μ= π r 导线内的磁能密度 2 2 2 2 00m 224 0012228r I r B w I R R μμμμ?? === ?ππ?? 。在导线内取单位长度的同轴薄圆柱筒体元d 2d V r r =π 其磁能为 23 0m m 4 d d d 4I W w V r r R μ== π 单位长度导体柱内储存的磁场能量为 22 3 00m m 4 d d 416R I I W W r r R μμ= = = ππ ?? 13-16 平行板电容器的电容为C=20.0μF ，两板上的电压变化率为dU/dt =1.50×105V/s ，则该平行板电容器中的位移电流为多少。 分析：根据平行板电容器的性质，平行板间为均匀电场，电位移D 均匀分布，由平行板电容器场强与电压关系式，求出电位移通量ψ与电压U 的关系，并求出位移电流。 解：设平行板电容器的极板面积S 、间距d ，其间电位移通量为 00U D S E S S d ψεε=== 对平行板电容器，其电容为0 S C d ε=，代入上式得C U ψ=。位移电流为 6 5 d d d 2010 1.510 3A d d U I C t t ψ--= ==???= 13-17 一平行板电容器，极板是半径为R 的两圆形金属板，极板间为空气，此电容器与交变电源相接，极板上电量随时间变化的关系为q =q 0sin ωt (ω为常量)，忽略边缘效应，求：（1）电容器极板间位移电流及位移电流密度；（2）极板间离中心轴线距离为r (r 分析：根据电流的连续性，电容器极板间位移电流等于传导电流求解位移电流。忽略边缘效应，极板间位移电流均匀分布求解位移电流密度。根据全电流安培环路定理求出磁场强度极板间的磁场强度。由极板间电场强度、磁场强度可求得电磁场能量密度。 解：（1）电容器极板间位移电流 d 00d cos cos d U I C C U t q t t ωωωω===。或由电流连续性得： 0cos d dq I q t dt ωω= = 位移电流密度 02 cos d d I q t S R ωωδπ= = （2）以中心轴线为圆心，过b 点作一半径为r (r H d l I =? ， 有2 2 02 cos 2d q t H r r r R ωωπδπππ== 。解得 02 cos 2q r t H R ωωπ= (3) t ω=π/4 时，002 2 cos 24q r r H R R ωπωππ/4 = = 002 2 sin /4 12q E R R πσεεππε= = = b 点的电磁场能量密度 2 2 2 22 000 024012 2 44e m w w w E H q r R εμμωπε=+??= + =+ ??? 13-18 由一个电容C =4.0μF 的电容器和一个自感为L =10mH 的线圈组成的LC 电路，当电容器上电荷的最 大值Q=6.0×10－5C 时开始作无阻尼自由振荡。试求（1）电场能量和磁场能量的最大值； （2）当电场能量和磁场能量相等时，电容器上的电荷量。 分析：由电容器储能，自感磁能，求电场能量，磁场能量。 解：（1）由初始条件可知，电磁振荡的初相位0?=.所以电容器上的电量振荡表达式为0cos q Q t ω= 自感线圈上的电流振荡表达式为 0sin dq I Q t dt ωω= =- 系统固有振动角频率ω= 由于电场能量为2 2 2 cos 22e Q Q W t C C ω= = ，所以电场能量的最大值为 2 4 4.510J 2eM AX Q W C -= =? 由于磁场能量为2 2 2 0sin 2 2 m LI LI W t ω= = ，所以磁场能量最大值为 2 2 4 00 4.510J 2 2mM AX LI Q W C -= = =? 电场能量和磁场能量的最大值相同，都与系统总能量相等。 (2) 电场能量和磁场能量相等时，e m W W = 。解得 cos 2 t ω=± 所以电容器上的电荷量为 5 0 4.310C 2 q Q -=± =±? 13-19 一个沿负z 方向传播的平面电磁波，其电场强度沿x 方向，传播速度为c 。在空间某点的电场强度为 300cos 2V /m 3x E vt ππ? ? =+ ?? ? 试求在同一点的磁场强度表达式，并用图表示电场强度和传播速度之间相互关系。 分析：根据电场强度与磁场强度的定量关系可得该点的磁场强度。 解：由于平面电磁波沿负z 方向传播，某点电场强度E 的振动方向沿x 轴正方向，根据电场强度、磁场强度和传播方向三者满足右旋关系，则该点磁场强度的振动方向沿负y 轴方向。由此，根据电场强度与磁场强度的定量关系式可得该点的磁场强度表示式为 0.8cos 2A/m 3y x H vt ππ? ? ==-+ ?? ? 用坡印廷矢量S 的方向表示电磁波的传播方向。电场强度、磁场强度和电磁波的传播方向（坡印廷矢量）三者满足关系 S E H =? 。 题13-19解图 电路分析基础练习题 @ 复刻回忆 1-1 在图题1-1 所示电路中。元件 A 吸收功率30W ，元件 B 吸收功率15W ，元件 C 产生功率30W ，分别求出三个元件中的电流I 1、I 2、I 3。 5V A I 15V B I 2 5V C I 3 图题1-1 解I 1 6 A，I 2 3 A ，I 3 6 A 1-5 在图题1-5 所示电路中，求电流I 和电压U AB 。 解I 4 1 2 1 A，U AB 3 10 2 4 4 39 V 1-6 在图题1-6 所示电路中，求电压U。 30V 5 U 2A 50V 1 I 2 5V 3 I 1 2 4V 图题1-6 图题1-7解50 30 5 2 U ，即有U30V 1-8 在图题1-8 所示电路中，求各元件的功率。 解电阻功率：P 3 P22 2 3 42 / 2 12 W， 3 8 W 2A 电流源功率：P2A 2(10 4 6) 0 ，2 P1 A 4 1 4 W 10V 4V 1A 电压源功率：P 10V 10 2 20 W， P 4V 4(1 2 2) 4 W 2-7 电路如图题2-7 所示。求电路中的未知量。 解U S 2 6 I 12 4 A 2 9 3 12 V I 0 2A I 2 I 3 I 3 P3/ U S12 / 12 1 A U S R eq 6 9 R3 I 0 2 R 4 / 3 1 12 12 13 / 3 A P312W 1 U S R eq I 12 36 13/ 3 13 图题2-7 2-9 电路如图题2-9 所示。求电路中的电流解从图中可知， 2 与3 并联，I 1 。 1 2 由分流公式，得 I 2 I 33 5 I1 5 1 1 A 1 3I 1 I 3 I 2 1V I 1 5I 1 3 所以，有 I 1 I 2I 3 3I 1 1 图题2-9 解得I 1 0.5 A 2-8 电路如图题2-8 所示。已知I1 3I 2 ，求电路中的电阻R 。 解KCL ：I 1 I 2 60 I1 3I 260mA I 1 2.2k 解得I 1 R 为45 mA, I 215 mA. I 2R R 2.2 45 15 6.6 k图题2-8 解(a) 由于有短路线， (b) 等效电阻为 R AB 6 , R AB 1// 1 (1 1// 1) // 1 0.5 1.5 2.5 1.1 2-12 电路如图题2-12 所示。求电路AB 间的等效电阻R AB 。 3 1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16） 2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间 练习一、1．分别计算图示电路中各电源的端电压和它们的功率。 (5分) 解：(a ) …………2分 (b ) 电流源： ……….1.5分 电压源： …………1.5分 2．利用电源等效变换化简各二端网络。 (6分) 解: (a) 3 ．计算图示电路在开关S 打开和闭合时a 点的电位?=a U (5分) 解：开关S 打开：mA I 25.11 121 6=++-= ……..1分 V U a 25.225.111=?+= …………………1.5分 开关S 闭合：V U 8.22 141212 131=+++ = ….1分 V U U a 9.11 11 111=+-? += ….1.5分 4．求图示电路中的电流1I 和电压ab U 。 (5分) 解：A I 25 10 9.01== A A I 222.29 20 1== ……….2.5分 (a ) (b ) W U P V U 5051052=?==?=发W U P V U 1052=?==发 W P A I V U 6323252=?==-==吸，方向向下 a b a b b b b a U b A A I I U ab 889.09 8 4)9.0(11== ?-= ……..2.5分 5.电路如图所示，求X I 。(5分) 解： 电压源单独作用：4)42(-='+X I A I X 3 2 - ='? ……..1.5分 电流源单独作用：A I X 3 2 2422=?+= '' ……..1.5分 故原图中的03 2 32=+- =''+'=X X X I I I ………..2分 6、计算图四（4）所示二端网络吸收的有功功率、无功功率，并计算其视在功率和功率因数。其中,())(2sin 25V t t u =, R 1=1Ω, R 2=2Ω。 解：端口电压为?∠=05U & . 对于2=ω, X C = - 2j , X L =1j . 端口阻抗为 ()()()()() Ω-=-++-+= j j j j j Z 34221221 (2分) 端口电流： ?-∠=-=4.18953.3345 j I & A （2分） 有功功率：()W P 75.18]4.180cos[953.35=?--??= （2分） 无功功率：VA Q 24.64.18sin 953.35=??= （2分） 视在功率：VA Q P S 764.1922=+=（1分） 功率因数：95.0cos == S P ?（1分） Ω4X I '- V 4 +Ω 2Ω 4A 2X I ''Ω 2Ω 4A 2X I - V 4 +Ω 2 第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+- 4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则 电路分析基础练习题 @复刻回忆 1-1在图题1-1所示电路中。元件A 吸收功率30W ，元件B 吸收功率15W ，元件C 产生功率30W ，分别求出三个元件中的电流I 1、I 2、I 3。 解61=I A ，32-=I A ，63=I A 1-5在图题1-5所示电路中，求电流I 和电压U AB 。 解1214=--=I A ，39442103=?+?+=AB U V 1-6在图题1-6所示电路中，求电压U 。 解U +?-=253050 V 1-8在图题1-8所示电路中，求各元件的功率。 解电阻功率：123223=?=ΩP W ， 82/422= =Ω P W 电流源功率： 电压源功率： 1(44=V P W 2-7电路如图题2-7所示。求电路中的未知量。 解1262=?=S U V 2-9电路如图题2-9 3 I 解得2-8电路如图题2-8所示。已知213I I =解KCL ：6021=+I I 解得451=I mA,152=I mA. R 为 6.615452.2=?=R k ? 解(a)由于有短路线，R (b)等效电阻为 2-12电路如图题2-12所示。求电路AB 间的等效电阻AB R 。 A 3R U 3W 123=P Ω 解(a)Ω=+=++=75210//10)8//82//(6//6AB R (b)Ω=+=++=612//62)104//4//(64//4AB R 3-4用电源变换的方法求如图题3-4所示电路中的电流I 。 、(c) 解ab U 3-144-2用网孔电流法求如图题4-2?????=-++=-+-+=-+0)(31580 0)(4 )(32100)(4823312322211I I I I I I I I I I I 解得： 26.91=I A ，79.22=I A ， 98.33-=I A 所以79.22==I I x A 4-3用网孔电流法求如图题4-3所示电路中的功率损耗。 解显然，有一个超网孔，应用KVL 即11015521=+I I 电流源与网孔电流的关系 解得：101=I A ，42=I A 电路中各元件的功率为 200102020-=?-=V P W ，36049090-=?-=V P 1806)10520(6-=??-=A P W ，5102+?=电阻P W 显然，功率平衡。电路中的损耗功率为740W 。 4-10用节点电压法求如图题4-10所示电路中的电压0U 。 解只需列两个节点方程 解得 501=U V ，802=U V 所以 1040500=-=U V 4-13电路如图题4-13解由弥尔曼定理求解 开关S 打开时： 20/140/120/30040/300-=+-=U 1Ω4I 6I 12I 2I 0V 训练一 “电路分析基础”试题(120分钟)—III 一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答 案的号码填入提干的括号内。每小题2分，共40分） 1、图示电路中电流i等于（） 1）1A 2）2A 3）3A 4）4A 2、图示单口网络的短路电流sc i等于（）1）1A 2）1.5A 3）3A 4）-1A 3、图示电路中电压u等于（） 1）4V 2）-4V 3）6V 4）-6V 4、图示单口网络的开路电压oc u等于（）1）3V 2）4V 3）5V 4）9V 7AΩ 2Ω 1 Ω 4 i 6V Ω 2 Ω 4 sc i Ω 2 Ω 4 + _ Ω 2 Ω 2 - 2V + - 10V + u - + Ω 1Ω 2 6V + _ 3V + _ + - oc u 5、图示电路中电阻R 吸收的功率P 等于（ ） 1）3W 2）4W 3）9W 4）12W 6、图示电路中负载电阻 L R 吸收的最大功率等于（ ） 1）0W 2）6W 3）3W 4）12W 7、图示单口网络的等效电阻等于（ ） 1）2Ω 2）4Ω 3）6Ω 4）-2Ω 8、图示电路中开关断开时的电容电压)0(+c u 等于（ ） 1）2V 2）3V 3）4V 4）0V 3V Ω 2+_ R Ω 1A 3Ω 3+ _ 6V 5:1 L R Ω 4- + i 2a b 4V Ω 2+ _ Ω 2+ - c u +_ 2V =t F 1 9、图示电路开关闭合后的电压)(∞c u 等于（ ） 1）2V 2）4V 3）6V 4）8V 10、图示电路在开关断开后电路的时间常数等于（ ） 1）2S 2）3S 3）4S 4）7S 11、图示电路的开关闭合后，电感电流)(t i 等于（） 1）t e 25- A 2）t e 5.05- A 3）)1(52t e -- A 4） )1(55.0t e -- A 12、图示正弦电流电路中电压)(t u 的振幅等于（） 1）1V 2）4V 3）10V 4）20V Ω46V Ω 2+ _ Ω 2+ - c u 0=t F 1- +1u 1 2u + - Ω 2+ _ Ω2+ - =t F 1F 25A Ω 20=t i 1H s 10+ _ + _ u 1H s u F 25.0V t t u s )2cos()(= 第一章 练习题 1． 记([,])C a b 是闭区间[,]a b 上连续函数全体构成的集合, 在([,])C a b 上定义距离如下: (,)|()()|,,([,])b a f g f x g x dx f g C a b ρ=-?∈?， （1）([,])C a b 按ρ是否完备? （2）(([,]),)C a b ρ的完备化空间是什么? 答：(1) 不完备, 例如对于[,][0,2]a b =以及1,2, n =,定义 ,01, ():1,1 2. n n x x f x x ?≤<=? ≤≤? 则{()}([0,2])n f x C ?在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为 1 11 (,)|()()|110,(,).11 n m n m n m f f f x f x dx x dx x dx m n n m ρ=-≤+= +→→∞++??? 另一方面, 点列{()}n f x 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有 0,[0,1) ()()1,[1,2].n x f x g x x ∈?→=? ∈? 因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到 1 1 1 00(,)|()()|1 |0|0.1 n n n n f g f x g x dx x dx x dx n ρ=-=-==→+??? 但()([0,2])g x C ?. (2) ([,])C a b 的完备化空间是1 ([,])L a b . 因为 (i) 在距离ρ的意义下, ([,])C a b 是1 ([,])L a b 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个 1()([,])f x L a b ∈, 需要证明: 对于任意的0ε>, 存在()[,]g x C a b ∈, 使得 [,] (,)|()()|a b f g f x g x dx ρε=-, 使得当[,]E a b ?, 只要mE δ<, 就有 命题人： 审批人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A 大学 试 卷 学期： 2006 至 2007 学年度 第 1 学期 课程： 电路分析基础I 专业： 信息学院05级 班级： 姓名： 学号： (本小题5分) 求图示电路中a 、b 端的等效电阻R ab 。 1 R R ab =R 2 (本小题6分) 图示电路原已处于稳态，在t =0时开关打开， 求则()i 0+。 Ω i(0+)=20/13=1.54A ( 本 大 题6分 ) 求图示二端网络的戴维南等效电路。 1A a b u ab =10v, R 0=3Ω (本小题5分) 图示电路中, 电流I =0，求U S 。 Us=6v (本小题5分) 已知某二阶电路的微分方程为 d d d d 22 81210u t u t u ++= 则该电路的固有频率(特征根)为____-2________和___-6______。该电路处于___过_____阻 尼工作状态。 (本小题5分) 电路如图示, 求a 、b 点对地的电压U a 、U b 及电流I 。 U a =U b =2v, I=0A. ( 本 大 题10分 ) 试用网孔分析法求解图示电路的电流I 1、I 2、I 3。 I 1=4A, I 2=6A, I 3=I 1-I 2=-2A (本小题10分) 用节点分析法求电压U 。 U U=4.8V ( 本 大 题12分 ) 试用叠加定理求解图示电路中电流源的电压。 3V 4A 单独作用时，u ’=8/3V; 3V 单独作用时，u ’’=-2V; 共同作用时，u=u ’+u ’’=2/3V 。 十、 ( 本 大 题12分 ) 试求图示电路中L R 为何值时能获得最大功率，并计算此时该电路效率 泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z) ' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!-- 一、填空题 1.通过精神或物质上的威胁来强迫服从的一种权力是。 2.领导行为二元四分图的纵轴与横轴分别代表与。 3.领导集体的结构包括年龄结构、、与性格结构。 4.领导者的权力来源有法定权力、、、专家权力与五种。 5.管理方格图的纵坐标和横坐标分别是和。 6.通过描述最难与之共事的人来测定领导风格的方法是。 7.双因素理论把影响人的行为与动机的因素分为两类与。 8. 理论认为通过奖励等手段对员工的某一行为进行鼓励和肯定，可使该行为重复出现和加强。 9.、增加报酬以增强所希望的行为的强化方式为，按周给付薪金的强化方式属于，对销售员每做成一笔交易就给予一定奖励属于。 10.路径——目标理论区分了四种基本的领导风格类型，分别、参与型 和。 11.麦克利兰把人的需要分为、友谊需要和三种。 12.菲德勒区分的三种领导情景因素分别是、和。 二、单项选择题 1.通过组织中等级制度所赋予的权力是（） A．专家权力B．感召权力C．表率权力D．法定权力 2.领导者和非领导者的差异在于领导者具有一些可以被确认的基本特质，持有这种观点的理论被称为（） A．领导特质理论B．管理方格理论C．领导权变理论D．领导行为理论 3.以信息或知识为基础的权力是（） A．法定权力B．奖励权力C．专家权力D．强制权力 4.假设领导者不能改变领导风格来适应情景的理论是（） A．路径——目标理论B．期望理论 C．领导生命周期理论D．双因素理论 5.根据领导生命周期理论，领导风格随着下属成熟程度不同而不同，对于高度成熟的下属，领导者应当采取以下哪种领导同风格（） A．高工作，高关系B．低工作，低关系 C．高工作，低关系D．低工作，低关系 6.强调下属的领导理论是（） A．路径——目标理论B．菲德勒权变理论 C．领导生命周期理论D．领导特质理论 7.任务导向型的领导行为在下述因素中最关心的是（） A．下属的意见、感情B．下属的满意程度 1211 di di u L M dt dt =-122 2 di di u M L dt dt =-+习题： 6-1：试确定题图6-1所示耦合线圈的同名端。 解： 6-2：写出题图6-2所示各耦合电感的伏安特性。 解： 6-3:电路如题图6-3所示，试求电压2u 。 1211di di u L M dt dt =+1222di di u M L dt dt =+12 11di di u L M dt dt =+1222 di di u M L dt dt =--(a) (c) (b) 解：dt di M u 12- =)1(32t e dt d M ---=)2(32t e M -?-=＝t e 212--V 由向量模型得：ο&&0105511∠=+m m I j I m m U I j 213&&= οοο &45245 250101-∠=∠∠=m I οο&452345232∠=-∠=j U m ,()()ο45cos 232+=t t u 6-4:题图6-4所示是初始状态为零的互感电路，电源在t ＝0是施加于电路。试求电流 )(1t i 和)(2t i 。 解： dt di L dt di M u 2212+= dt di M dt di L u 2111+=＝0 dt di L dt di 1 11M -= ()A i L t i +M -=211 舍去直流影响产生的A ，则()()t i L t i 21 1M - = ()1211 1???+=dt di M dt di L u ()22212???+=dt di L dt di M u 由()()212?M -?L 得: dt di dt di L L u u L 1 2121212M -=M - (V) 《电路》试题六及参考答案 问题1、叠加定理、置换定理结合应用的典型例。 在图示电路中，若要求输出电压)(t u o 不受电压源2s u 的影响，问受控源的控制系数α应为何值？ 解：据叠加定理作出)(2t u s 单独作用时的分解电路图 （注意要将受控源保留），解出)(t u o '并令)(t u o '=0即解得满足不受)(2t u s 影响的α的值。这样的思路求解虽然概念正确，方法也无问题，但因α,L R 是字符表示均未 给出具体数值，中间过程不便合并只能代数式表示，又加之电路中含有受控源， 致使这种思路的求解过程非常繁琐。 根据基本概念再做进一步分析可找到比较简单的方法。因求出的α值应使 0)(='t u o ，那么根据欧姆定律知L R 上的电流为0，应用置换定理将之断开，如解1图所示。（这是能简化运算的关键步骤！） 电流 22 1.06 26//3s s u u i =++=' 电压 21 2.02s u i u -='-=' 由KVL 得 2 22221)2.04.0(1.062.06s s s s s o u u u u i u u u ααα-=?-+-='-+'=' 令上式系数等于零解得 2=α 点评：倘若该题不是首先想到应用叠加定理作分解图，再用置换定理并考虑欧姆定律将L R 作断开置换处理，而是选用网孔法或节点法或等效电源定理求解出 o u 表达式，这时再令表达式中与2s u 有关的分量部分等于零解得α的值，其解算 过程更是麻烦。灵活运用基本概念对问题做透彻分析，寻求解决该问题最简便的方法，这是“能力”训练的重要环节。 1 s u Ω 3Ω 6Ω21u 1 u αo u 2 s u Ω 6s i L R 图1Ω3Ω 6Ω 22 s u Ω 61 u '1u 'α解1图 i ' o u ' P46: 第一章习题： 1.验证(),()d m 满足距离定义。 解：设{}i x ξ=，{}i y η=属于X ，α是数，()1 ,sup .j j j d x y ξη≥=- (1)对j ?，有0j j ξη-≥，所以1 sup j j j ξη≥-，(),0d x y ≥， 且1 sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=? -=?=，即(),0d x y =当且仅当.x y = (2) ()()1 1 ,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=； (3)设{}i z ζ= ()()1 1 1 1 ,sup sup ()()sup sup ,(,) j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1)，(2)，(3)，(),d 满足距离定义。 3.试证明：在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。 证：设{}()(),1,2, n n j x s n ξ= ∈=，{}()(0)0j x s ξ= ∈， ()?若0n x x →，则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞ ==， 否则，j N + ?∈，00ε>，与正整数列的子序列{}1k k n ∞ =，使()(0) 0,1,2, k n j j k ξξε-≥=， 因为()1t f t t = +是单调递增， 所以() ()(0)0 0()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j j n j j d x x k ξξεεξξ-≥?≥?=++-， 这与() 0,0k n d x x →矛盾， 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。 ()?若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==，则对j ?，0ε?>，0N N + ?∈，0n N ?>， ()(0)2 n j j ε ξξ-<， ()() (0) 0()(0) 1111,,1,2,22 11n j j n j j n j j j j d x x k ξξε εξξ∞ ∞==-=? 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 试题库 一、填空题（建议较易填空每空0.5分，较难填空每空1分） 1、电流所经过的路径叫做电路，通常由电源、负载和中间环节三部分组成。 2、实际电路按功能可分为电力系统的电路和电子技术的电路两大类，其中电力系统的电路其主要功能是对发电厂发出的电能进行传输、分配和转换；电子技术的电路主要功能则是对电信号进行传递、变换、存储和处理。 3、实际电路元件的电特性单一而确切，理想电路元件的电特性则多元和复杂。无源二端理想电路元件包括电阻元件、电感元件和电容元件。 4、由理想电路元件构成的、与实际电路相对应的电路称为电路模型，这类电路只适用集总参数元件构成的低、中频电路的分析。 5、大小和方向均不随时间变化的电压和电流称为稳恒直流电，大小和方向均随时间变化的电压和电流称为交流电，大小和方向均随时间按照正弦规律变化的电压和电流被称为正弦交流电。 6、电压是电路中产生电流的根本原因，数值上等于电路中两 点电位的差值。 7、电位具有相对性，其大小正负相对于电路参考点而言。 8、衡量电源力作功本领的物理量称为电动势，它只存在于电源内部，其参考方向规定由电源正极高电位指向电源负极低电位，与电源端电压的参考方向相反。 9、电流所做的功称为电功，其单位有焦耳和度；单位时间内电流所做的功称为电功率，其单位有瓦特和千瓦。10、通常我们把负载上的电压、电流方向称作关联方向；而把电源上的电压和电流方向称为非关联方向。 11、欧姆定律体现了线性电路元件上电压、电流的约束关系，与电路的连接方式无关；基尔霍夫定律则是反映了电路的整体规律，其中KCL定律体现了电路中任意结点上汇集的所有支路电流的约束关系，KVL定律体现了电路中任意回路上所有元件上电压的约束关系，具有普遍性。 12、理想电压源输出的电压值恒定，输出的电流值由它本身和外电路共同决定；理想电流源输出的电流值恒定，输出的电压由它本身和外电路共同决定。 13、电阻均为9Ω的Δ形电阻网络，若等效为Y形网络，各电阻的阻值应为3Ω。 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 第四章 内积空间 在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道，n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。 4.1 内积空间的基本概念 首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。设123(,,)x t t t =，123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为?，由解析几何知识可得 112233 cos t s t s t s x y ?++= ? 其中， 13 2 2 1 ()k k x t ==∑，13 22 1 ()k k y s ==∑ 令3 1 ,k k k x y t s ==∑，称为x 与y 的内积，不难证明它有如下性质： （1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥?∈=?=且 （2）3,,,,;x y y x x y R =?∈ （3）3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+?∈ （4）3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=?∈?∈ 注：由定义可得x = 内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。 现在我们引入一般的内积空间的概念。 【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质： （1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥?∈=?=且 （2）,,,,;x y y x x y X =?∈ 泛函分析期末复习题（2005-2006年度） （1）所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？ （3）什么是线性流形？ （4）什么是线性空间中的凸集？ （5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 （6）距离空间上的收敛是如何定义的？ （7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？ （8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10）什么是希尔伯特空间？ （11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？ （13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 （14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16）算子的强收敛是如何定义的？ （17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？ （18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19）什么是泛函？什么是泛函的范数？ （20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22）什么是的Gateaux微分？ （23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？ （25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数 （27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。 泛函分析练习题 一名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部： 7. 线性算子、线性范函： 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间： 11. 弱有界集： 12. 紧算子： 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题： 1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明：,,x y z X ?∈ 显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t t = =-++，(0)t >关于t 单调递增，得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++ (,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2， 设H 是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，即内积关于两变元连续。 证明：22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子，计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解：（1）当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =，则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = （2）当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤电路分析基础习题集与答案解析
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