11. 排队论
11.1基本概念
排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。
因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.11所示:
排队系统
顾客到达 排队 排队 顾客离去
图1.11
表1.11给出了一些现实排队系统的例子。
表11.1: 排队系统应用
商业服务 理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台
运输行业 城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车
制造业 待修理的机器,待加工的材料,生产流水线
社会服务 法庭,医疗机构
为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。表2.11列举了一些排队系统的到达和服务过程。
表11.2: 排队系统举例
排队系统 到达过程 服务过程
银行 顾客到达银行 银员服务顾客
快餐店 顾客到达快餐店 顾客完成点餐
机场出租车等候站 顾客到达等候站 顾客上出租车并离开
汽车修理厂 故障车到达修理厂 车辆获得修理并被取走
)1(到达过程
通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。在许多实际情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)(Poisson流,或指数分布。顾客源可能是有限的,也可能是无限的。顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。
第八章——1 第八章 排队论
排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。
对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。
排队论是优化理论的重要分支。排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题
一、基本概念
（一）排队系统的组成
一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。
1．输入过程
输入过程指顾客按什么样的规律到达。包括如下三个方面的内容：
（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；
（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；
2．排队规则
排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。在等待制中，又可按顾客顾客达到 排队 接受服务 服务后顾客离去
M/M/C排队模型及其应用
摘要：将随机服务系统中M/M/C排队模型应用到理发服务行业中。通过对某理发店进行调查，以10min为一个调查单位调查顾客到达数，统计了72个调查单位的数据，又随机调查了113名顾客服务时间，得到了单位时间内到达的顾客数n和为每位顾客服务的时间t，然后利用2拟合检验，得到单位时间的顾客到达舒服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，从而建立起M/M/C等待制排队模型，通过计算和分析M/M/C排队模型的主要指标，得到理发店宜招聘的最佳理发师数目。
排队论主要对由于受随机因素的影响而出现排队系统进行研究，它广泛应用于通信、交通与运输、生产与服务、公共服务事业以及管理运筹等一切服务系统。在具体应用方面，把排队理论直接应用到实际生活方面也有不少的文献。另外，排队论和其他学科知识结合起来也有不少应用。
我们可以从现实生活中去的数据资料，基于排队系统基本知识和M/M/C排队模型基本理论和统计学有关知识，通过分析研究，得出一些结论，为实际问题的解决提供参考资料，从而拓宽了该模型的应用领域，并对其他模型的系统应用也有一定的启示作用。
1 M/M/C排队模型
定义
若顾客的到达间隔服从参数为λ的负指数分布，到达的人数服从泊松分布，每位顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布，且顾客的到达时间与服务时间独立，系统有C个服务台，称这样的排队模型为M/M/C排队模型。
M/M/C排队模型也可以对应分为标准的M/M/C模型、系统容量有限的M/M/C模型和顾客源有限的M/M/C模型3种。
假定顾客到达服从参数为λ的泊松分布，每个顾客所需的服务时间服从参数为μ的指数分布，顾客到达后若有空闲的服务台就按到达的先后顺序接受服务，若所有的服务台均被占用时，顾客则排成一队等候。令N（t）=i表示时刻t系统中恰有i位顾客，系统的状态集合为{0,1,2,…}。可证{ N（t），t>0}为生灭过程，而且有： .....2C1,CnC...,21nn{....,21nnn，μ，，μ，，，
指数分布求概率
一、什么是指数分布
指数分布是一种连续概率分布，常用于描述随机事件发生的时间间隔。指数分布具有单峰、右偏、非对称的特点，其概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ为正参数。
二、指数分布的性质
1. 概率密度函数f(x)在x=0处取最大值，随着x的增大而逐渐减小，但永远不会等于0。
2. 指数分布的期望值为1/λ，方差为1/λ^2。
3. 指数分布具有无记忆性质，即P(X>s+t|X>s)=P(X>t)，其中s,t>0。这意味着在已知事件发生了s个单位时间后仍未发生事件的情况下，在接下来的t个单位时间内发生事件的概率与从零开始计算t个单位时间内发生事件的概率相同。
4. 指数分布是连续型随机变量中最简单和最重要的一种。
三、如何求解指数分布概率问题
1. 求解单个事件发生时间间隔小于某一给定值t的概率
设X为一个服从参数为λ的指数分布，则P(X
2. 求解单个事件发生时间间隔大于某一给定值t的概率
P(X>t)=∫(t,∞) λe^(-λx)dx=e^(-λt)。
3. 求解单个事件发生时间间隔在某一区间[a,b]内的概率
P(a
4. 求解多个事件发生时间间隔之和小于某一给定值t的概率
设X1,X2,...,Xn为n个相互独立且服从参数为λ的指数分布，则P(X1+X2+...+Xn
四、指数分布在实际问题中的应用
指数分布广泛应用于排队论、可靠性分析、风险评估、金融工程等领域。例如，在排队论中，顾客到达商店的时间间隔可以用指数分布来模拟；在可靠性分析中，设备故障之间的时间间隔也可以用指数分布来描述。此外，指数分布还可以用于模拟股票价格的波动等金融工程问题。
