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符号函数及其微积分

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实验2 符号函数及其微积分 一、符号函数计算 MATLAB中的符号函数计算主要有复数计算、复合函数计算和反函数计算。这些有关的符号函数的计算命令及说明列于表2—1。 表2—1 符号函数计算及复数操作 函数名称 功能及说明 compose(f,g) 求f=f(y),g=g(x)的复合函数f[g(x)]。 compose(f,g,z) 求f=f(y),g=g(x),x=z的复合函数f[g(z)]。 compose(f,g,x,z) 求f=f(x),x=g(z)的复合函数f[g(z)]。 compose(f,g,x,y,z) 求f=f(x),x=g(y),y=z的复合函数f[g(z)]。 g=finverse(f) 求符号函数f的反函数g。 g=finverse(f,v) 求符号函数f对指定自变量v的反函数g。

实例1、求的复合函数 >> syms x y z u t %定义符号变量 >> f=u^3;g=sin(2*x-1); %定义符号表达式f,g >> compose(f,g) %求f,g的复合函数 ans = sin(2*x-1)^3 >> compose(f,g,t) %求f,g的复合函数，再将自变量x换为t ans = sin(2*t-1)^3

实例2、求的反函数。 >> finverse(exp(2*x)-2) %求的反函数 ans = 1/2*log(2+x)

>> finverse((1-x)/(2+x)) %求的反函数 ans = -(2*x-1)/(1+x) 二、绘制二维图形 1、图形窗口及其操作 MATLAB中不仅有用于输入各种命令和操作语句的命令窗口，而且有专门用于显示图形和对图形进行操作的图形窗口。图形窗口的操作可以在命令窗口输入相应命令对其进行操作，也可以直接在图形窗口利用图形窗口的本身所带的工具按钮、相关的菜单对其进行操作。下面将介绍一些对图形窗口进行基本操作的命令和函数。 （1） 图形窗口操作命令 对图形窗口的控制和操作的命令很多，这里主要介绍常用的figure、shg、clf、clg、home、hold、subplot等常用命令。它们的调用格式及有关说明了见表2—2。 表2—2 图形窗口操作命令 命令及函数 说明 figure/figure(gcf) 显示当前图形窗口。用于创建新的图形窗口，也可以用来在两个图形窗口中间进行切换。 gcf/shg 显示当前图形窗口，同figure/figure(gcf)。 clf/clg 清除当前图形窗口。如果在hold on状态，图形窗口内的内容将被清除。clg与clf功能相同，是MATLAB早期版本中的清

12sin,3xuuuf

x2x1 ,22e

x

22e

x

x2x1除图形窗口内图象命令。 clc 清除命令窗口。相当于命令窗口edit菜单下的clear command window选项。 home 移动光标到命令窗口的左上角。 hold on 保持当前图形，并允许在当前图形状态下，用同样的缩放比例加入另一个图形。 hold off 释放图形窗口，将hold on状态下加入的新图形作为当前图形。 hold 在hold on和hold off两种状态下进行切换。 ishold 测试当前图形的hold状态。若是hold on状态，则显示1；若是hold off状态，则显示0。 subplot(m,n,p)/subplot(mnp) 将图形窗口分成m×n个窗口，并指定第p个子窗口为当前窗口。子窗口的编号是从左至右、再从上到下进行编号。 subplot 将图形窗口设定为单窗口模式，相当于subplot(1,1,1)/subplot(111)。

（2） 坐标轴、刻度和图形窗口缩放的操作命令 MATLAB中对图形窗口中的坐标轴的操作命令是axis，坐标刻度的操作命令是xlim、ylim、zlim等，其使用方法见表2—3，表2—4。 表2—3 axis函数的调用格式 调用格式 说明 axis([xmin xmax ymin ymax]) 根据向量[xmin xmax ymin ymax]设置二维图形窗口中坐标轴的最大、最小值。 axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) 根据向量[xmin xmax ymin ymax zmin zmax]设置三维图形窗口中坐标轴的最大、最小值。 axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax cmin cmax]) 根据向量[xmin xmax ymin ymax zmin zmax cmin cmax]设置三维图形窗口中坐标轴的最大、最小值和颜色。 axis auto 将当前图形窗口的坐标轴刻度设置为缺省状态。 axis manual 固定坐标轴刻度，若当前图形窗口为hold on状态，则后面的图形将采用同样的刻度。 axis tight 采用与X方向和Y方向相同的坐标轴刻度，即只绘制包含数据的部分坐标。 axis fill 设定坐标轴边界，用来适应数据值的范围。 axis equal 设置X轴、Y轴为同样的刻度。 axis ij 翻转Y轴，使之正数在下，负数在上。 axis xy 复位Y轴，使之正数在上，负数在下。 axis image 重新设置图形窗口的大小，与axis equal相同，以适应数据的范围。 axis square 重新设置图形窗口的大小，使窗口为正方形。 axis normal 将图形窗口复位至标准大小。 axis vis3d 锁定坐标轴之间的关系。一般用于图形旋转时。 axis off 不显示坐标轴及刻度。 axis on 显示坐标轴及刻度。 axis (v) 根据向量v设置坐标轴刻度，使xmin=v1,xmax=v2,ymin=v3,ymax=v4,zmin=v5,zmax=v6。对于对数图形，使用原数值而不使用对数值。 axis(axis) 固定坐标轴刻度，即当图形窗口位于hold on状态下也不改变坐标轴刻度。 表2—4 box、lim、grid及相关函数的调用格式 函数及调用格式 说明 box 是否图形四周都设定坐标轴。box on则开启该功能，box off则关闭该功能，box则在box on和box off之间切换。 datetick(axis,format) 根据日期格式format格式化坐标轴上的文本。参数axis可以是'x'（默认值），'y'，'z'。help datetick可以显示更多用法和信息。 dragrect(x,step) 允许用户在屏幕上拖动矩形。help dragrect可以显示更多的用法。

xlim([xmin xmax]) 设定X轴的最大、最小值，使xmin=xmin,xmax=xmax。 xlim 测定X轴的最大、最小值。 ylim([ymin ymax]) 设定Y轴的最大、最小值，使ymin=ymin,ymax=ymax。 ylim 测定Y轴的最大、最小值。 zlim([zmin zmax]) 设定Z轴的最大、最小值，使zmin=zmin,zmax=zmax。 zlim 测定Z轴的最大、最小值。 grid on 根据图形窗口中图形的坐标形式，绘制图形窗口的网格。 grid off 清除图形窗口中的网格。 grid 在grid on和grid off之间切换。 （3） 线型、点型及颜色参数 不管是在二维绘图还是在三维绘图当中，在所有能产生线条的命令中一律用参数S来定义线条的线型、点型和颜色。在绘图命令中参数S的输入采用字符串形式，两端加单引号。有关线型、点型和颜色的定义见表2—5、表2—6、表2—7。例如： plot(x,y,'-*k)表示绘制的曲线用实线，数据点（x,y）用星号*绘出，曲线和数据点都用黑色。 fplot('fun',lim,'-.r')表示绘制参数fun决定的函数在参数lim给定范围内的曲线，曲线用红色的点划线绘出。 当参数S省略时，则使用系统默认的线型和颜色绘制图形。 表2—5 线型定义符 线型 实线（默认值） 点线 划线 点划线 定义符 - : -- -. 表2—6 点型定义符 点型 实点 加号 交叉号 小圆圈 星号 棱形 上三角 定义符 . + x o * d ^ (续表5—5) 点型 下三角 左三角 右三角 正方形 正六角星 正五角形

定义符 v < > s h p 表2—7 颜色定义符 颜色 定义符 颜色 定义符 红色 r(red) 绿色 g(green) 蓝色 b(blue) 青色 c(cyan) 品红 m(magenta) 黄色 y(yellow) 黑色 k(black) 白色 w(white) 2、二维图形的绘制 MATLAB具有强大的图形处理功能，不管是二维图形还是三维图形，作图方法都非常简便。绘制二维图形有很多，现在把常用的四个绘图函数的函数名、功能列表如下（见表2—2）：

表2—8 MATLAB绘图函数 函 数 式 操 作 功 能 Plot(X,Y) 对向量X绘制向量Y的图形。以X为横坐标，以Y为纵坐标，

将有序点集连成曲线。可以加确定图形线型和着色的参数。

Fplot(‘fcn’,) 绘制由fcn表示的函数在区间上图形。Fcn可以是代表某一函数的变量，也可以是X和Y的数学表达式。中括号内最多可以是4个值，前两个是自变量X的范围，后两个是Y的范围。在中括号后还可以加确定图形线型和着色的参数。 polar(theta,rho) 绘制极坐标函数rho=f(theta)的图象。其中theta是极角，以弧度为单位，rho是极径。 polar(theta,rho,S) 同polar(theta,rho)，参数S确定要绘制的曲线的线型、点型、颜色。 Bar(X,Y) 以X为横坐标绘制Y的条形图。X必须是严格递增向量。 legend('str1','str2',…) 在图的右上角加线形标注。str1是plot函数中的第一对数组[x1,y1]，str2是plot函数中的第二对数组[x2,y2]，标注的线型也取处plot函数中相应的线型。

（1）向量作图 在利用向量作图时，首先要创建一个有值的向量，然后对这个向量的每一个元素求另一向量函数值，最后画出向量图形。

实例3、画出在[0，2]上的图象，操作如下： >> X=[0:1/10:2]; %创建向量X，确定X的范围 >> Y=X.^2; %创建向量Y，确定Y的范围 >> plot(X,Y) %绘图 绘制出的图形见图2—1。

yx

ii

,

xxmaxmin

,

xxmaxmin

,

xy2

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大学微积分第一章 函数

大学微积分第一章 函数


X
f
Y f (X )
①满射 若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射;
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; ③双射 若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】 设
f :X Y
是单射
记作
1
定义
称映射
g
g : f (X ) X
为映射
f
的逆映射
周期为
【注】 周期函数不一定存在最小正周期 . 【例如】 常量函数 f ( x ) C
狄里克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
五、复合函数
1【定义】 设有函数链
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
① ②
则 称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
y 与之对应则称这个对应 D 上的一个一元函数，简
因变量
y f ( x ) , x D, 函数值
定义域
函数
自变量
x 0 处的
当 x 0 D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点
函数值 值域
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D } 称为函数的
2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
第一章
函数
一. 区间和邻域 二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 复合函数 六. 基本初等函数
七. 初等函数
八. 经济学中常用的函数
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
一元函数微积分的基本概念与运算

一元函数微积分的基本概念与运算

一元函数微积分的基本概念与运算微积分是数学中十分重要的一个分支。

其中，一元函数微积分是微积分的基础，也是我们初次接触微积分时需要理解和掌握的概念和运算。

本文将为大家简单介绍一元函数微积分的基本概念与运算。

一、函数的基本概念在学习一元函数微积分之前，我们需要先了解函数的基本概念。

所谓函数，就是一种描述变化关系的数学规律。

从输入值到输出值，函数都有严格的对应关系。

而这个对应关系就是函数的核心。

函数可以用数学符号表示，常见的符号为 y=f(x)，其中 y 代表输出值，x 代表输入值，f 表示函数名称。

例如 y=x²就是一个函数的表达式，它的输出值是输入值的平方。

我们可以通过绘制函数图像的方式来更直观地理解函数的定义和特点。

以 y=x²为例，当输入值 x=0 时，输出值 y=0，对应的点为坐标系的原点；当 x 取正值时，输出值 y 会随着 x 的增加而增加，图像呈现右侧开口的 U 形曲线；当 x 取负值时，输出值 y 也会增加，但函数的图像则向下移动。

二、导数的概念及计算方法导数是微积分的重要概念之一。

它表示一个函数在某一点处的变化速率，也就是函数斜率的大小。

导数可以用公式表示为：f'(x)=lim⁡(f(x+Δx)-f(x))/Δx (Δx->0)其中 f(x) 是函数在 x 点处的值，Δx 表示 x 增加的微小量，lim 表示取极限。

可以理解为，当Δx 足够小的时候，(f(x+Δx)-f(x))/Δx 的值就趋近于 x 点处的斜率，也就是导数。

导数有许多重要的应用，如求解函数的最值、曲线的凸凹性、速度加速度等。

因此掌握导数的计算方法是学习微积分的必要前提。

常见的导数计算方法有以下两种：1. 利用求导法则求导法则是一元函数微积分中常用的计算导数的方法。

它包括以下几条规则：（1）和差法则：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'（2）积法则：(f.g)'=f.g'+g.f'（3）商法则：(f/g)'=[f'g-fg']/g²（4）反函数法则：f⁻¹(x)'=1/f'(f⁻¹(x))通过组合这些法则，我们可以对各种函数求导，例如对y=x³+2x-1 求导：y'=3x²+22. 利用几何意义导数还有一个重要的几何意义，即为函数图像在某一点处的切线斜率。

高等数学符号大全对照表

高等数学符号大全对照表

高等数学符号大全对照表在高等数学的应用中，符号是重要的信息传输工具，因此，了解高等数学中常用符号的意义并用其正确表达意思是数学发展和应用的基础。

高等数学中大量的符号构成了一个复杂而庞大的系统，它涵盖几何、代数、微积分、微分方程等，和其他一些复杂的数学方法，如概率、统计和多元分析。

在学习和使用高等数学时，只有理解符号的含义和用法，才能获得学习进步和应用效果。

因此，掌握和理解高等数学中的符号的意义，尤其是微积分的符号是我们学习和使用高等数学的基础，故有必要为此准备一份高等数学符号大全对照表，方便查询。

高等数学符号大全分为数学符号、微积分符号、几何符号、集合符号和统计符号五大类，包含形式丰富、涵盖面广的符号及其用法，下面分门别类介绍其大体内容。

一、数学符号数学符号主要包含以下几种：大写字母（A,B,C,...Z）用于表示向量、集合、函数；小写字母（a,b,c,...z）用于表示数值，变量；数字（1,2,3,...9）用于表示值；运算符号（+、－、×、÷、＝）用于表示加、减、乘、除、等号等；计算函数（ln,sin,cos,tan,log,e 等）用于表示求解数学中常用函数求值；标点符号（，、：；（））用于表示逗号、冒号、分号、括号等。

二、微积分符号微积分符号主要包含以下几种：积分符号（∫）表示定积分；求和符号（＃）表示求和；微分符号（d/dx）表示导数；极限符号（lim）表示极限；相等符号（＝）表示一致；不等符号（≠）表示不同；方程符号（）表示方程；大于符号（＞）表示大于；小于符号（＜）表示小于；不小于符号（≥）表示不小于；不大于符号（≤）表示不大于。

三、几何符号几何符号主要包含以下几种：平行符号（）表示平行；垂直符号（）表示垂直；直角符号（）表示直角；角符号（∠）表示角；面积符号（S）表示面积；直线符号（－－）表示直线；圆符号（）表示圆；弦符号（－）表示弦；锐角符号（）表示锐角；钝角符号（）表示钝角。

微积分lim的数学符号

微积分lim的数学符号

微积分中，"lim" 表示极限（limit）的数学符号。

当我们研究函数在某一点的趋势时，使用极限符号"lim" 来表示自变量无限接近某一特定值时，函数的取值也无限接近的情况。

数学上用"lim" 来表示这种趋势的极限情况。

一般来说，极限符号的表示为：
lim (x →a) f(x)
其中，"x →a" 表示自变量x 无限接近 a 的意思，而"f(x)" 则是我们要研究的函数。

通过求解这个极限，我们可以得到函数在点a 处的极限值。

举例来说，如果我们要求函数f(x) = x^2 在x = 2 处的极限，那么表示为：
lim (x →2) x^2
在这个例子中，当x 趋近于 2 时，x^2 的取值也趋近于4。

因此，该极限的值为4。