人教A版数学必修一《对数函数及其性质》提高知识讲解

对数函数及其性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数xya与对数函数logayx互为反函数0,1aa．

【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是0,，值域为R． 2．判断一个函数是对数函数是形如log(0,1)ayxaa且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x． 要点诠释： （1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log(1),2log,laaayxyxyx等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是

对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 要点二、对数函数的图象与性质 a＞0 0＜a＜1 图象

性质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0

要点诠释： 关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)

要点四、反函数 1．反函数的定义

设,AB分别为函数()yfx的定义域和值域，如果由函数()yfx所解得的()xy

也是一个函数（即对任意的一个yB，都有唯一的xA与之对应），那么就称函数()xy是函数()yfx的反函数，记作1()xfy，在1()xfy中，y是自变量，

x

是y的函数，习惯上改写成1()yfx（,xByA）的形式．函数1()xfy

（,yBxA）与函数1()yfx（,xByA）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为1f． 由定义可以看出，函数()yfx的定义域A正好是它的反函数1()yfx的值域；函数()yfx的值域B正好是它的反函数1()yfx的定义域． 要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2yx．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称． （2）若函数()yfx图象上有一点,ab，则,ba必在其反函数图象上，反之，若,ba在反函数图象上，则,ab必在原函数图象上．

【典型例题】 类型一、函数的定义域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 例1. 求下列函数的定义域： (1)2logayx； (2)log(4-)(01)ayxaa且. 【答案】（1）{|0}xx；（2）{|4}xx． 【解析】由对数函数的定义知：20x，40x，解出不等式就可求出定义域. (1)因为20x，即0x，所以函数2log{|0}ayxxx的定义域为； (2)因为40x，即4x，所以函数log(4-){|4}ayxxx的定义域为. 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log()ayfx的定义域时，应首先保证()0fx． 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域.

(1) y=1)1(log12133xx (2) ln(2)xxyak（0a且1,akR）.

【答案】（1）(1，23)(23，2)；（2）略

【解析】(1)因为1)1(log0)1(log012121xxx， 所以101132xxx， 所以函数的定义域为(1，23)(23，2). （2）因为 20xxak， 所以2xak. ①当0k时，定义域为R； ②当0k时， (i)若2a，则函数定义域为(2logak，+∞)；

(ii)若02a，且1a，则函数定义域为(-∞，2logak)； (iii)若2a，则当01k时，函数定义域为R；当1k时，此时不能构成函数，否则定义域为. 【变式2】函数(2)xyf的定义域为[-1，2]，求2(log)yfx的定义域. 【答案】[2，16]. 【答案】由12x，可得()yfx的定义域为[21，4]，再由21log42x得

2(log)yfx的定义域为[2，16].

类型二、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log3.6,log8.9； (2)0.20.2log1.9,log3.5； (3)2log5与7log5； (4) 3log5与6log4． (5)log4.2,log4.8aa（01aa且）． 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略． 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数3logyx的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，33log3.6log8.9； 解法2：由函数3logyx在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以33log3.6log8.9； (2)与第(1)小题类似，0.2logyx在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以

0.20.2log1.9log3.5；

(3)函数2logyx和7logyx的图象如图所示．当1x时，2logyx的图象在7logyx的图象上方，这里5x，27log5log5． (4) 3366log5log31log6log4,

36log5log4 (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当1a时，logayx在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log4.2log4.8aa 当01a时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，log4.2log4.8aa 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令1log4.2ab，则1ba=4.2，令2log4.8ab，则24.8ba， 当1a时，xya在R上是增函数，且4.2<4.8， 所以，b1当时01a，xya在R上是减函数，且4.2<4.8 所以，b1>b2，即aalog4.2>log4.8. 【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 【高清课堂：对数函数 369070 例3】

例3．比较11log,log,log,logababbaba其中01的大小.

【答案】11loglogloglogabbabaab 【解析】由01，得1ab，1ba 1loglog1aaab，1loglog1bbba 11loglogbaab 11loglogbaab，即loglogbaab loglogbaab

11loglogloglogabbabaab 【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小． 举一反三：

【变式1】已知324log0.3log3.4log3.615,5,,5abc则（ ） A．abc B．bac C．acb D．cab 【答案】C

【解析】另2log3.4m，4log3.6n，310log3l，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得mln

又∵5xy为单调递增函数， ∴ acb 故选C. 【高清课堂：对数函数369070 例2】

【变式2】比较323log,log3,log2abc的大小． 【答案】cba 【解析】33233log2log3log31log3log cba 例4．求函数212log(21)yxx的值域和单调区间.