1990年普通高等学校招生全国统一考试.文科数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一、选择题（1）已知集合{|}{|}{|}{|}A x xB x xC x xD x x ==是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）.()()()()A A B B C B C D C D A D⊆⊆⊆⊆【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解。

（2）函数1(1)y x x =+-≥的反函数为（ ）. 2()1(0)A yx x =-≥ 2()1(1)B yx x =-≥ 2()1(0)C yx x =+≥ 2()1(1)D yx x =+≥ 【考点】反函数【难度】容易【点评】本题考查反函数的求解方法，注意反函数的定义域即为原函数的值域。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数与初等函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。

（3）若函数()s i n [0,2]3x fx ϕϕ+=∈(π）是偶函数，则ϕ=（ ）.()2A π 2()3B π 3()2C π 5()3D π 【考点】三角函数与偶函数的结合【难度】中等【点评】本题考查三角函数变换，及偶函数的性质。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}{}|101,|||5A x x Z x B x x Z x =∈-≤≤-=∈≤且且，则A B 中的元素个数是A ．11B ．10C ．16D ．15 【答案】C【解析】由题设可得{}{}|101,|55A x x B x x =-≤≤-=-≤≤，所以A B 中有11个元素，即10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5----------．2．在复平面内，把复数3对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是A ．B ．-C 3iD ．3 【答案】B【解析】所求复数为1(3)sin()](3)()332i ππ-+-==-．3，这个长方体对角线的长是A ．B ．C ．6D ．6 【答案】D【解析】设长、宽和高分别为,,a b c ，则ab bc ac =abc =，∴1,a b c ===l ==．4．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 A ．若,αβ是第一象限角，则βαcos cos > B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则βαcos cos > D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ> 【答案】D【解析】用特殊值法：取60,30αβ=︒=︒，A 不正确；取120,150αβ=︒=︒，B 不正确； 取210,240αβ=︒=︒，C 不正确；D 正确．5．函数cos y x x =-的部分图像是【答案】D【解析】函数cos y x x =-是奇函数，A 、C 错误；且当(0,)2x π∈时，0y <．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元 【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为252045+=元，所以选C ．7．若1a b >>，()1lg lg ,lg 22a b P Q a b R +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则 A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q << 【答案】B【解析】方法一：()11lg lg 22a b +>=lg 2a b +⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1lg lg 2a b +，所以B 正确． 方法二：特殊值法：取100,10a b ==，即可得答案．8．已知两条直线12:,:0l y x l ax y =-=，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0,)12π内变动时，a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(3C ．((1,3)3D ． 【答案】C【解析】直线1l 的倾斜角为4π，设2l 的倾斜角为θ，则412412ππππθ-<<+，且4πθ≠，即64ππθ<<或43ππθ<<，所以a 的取值范围是(1,3)．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高2h r π=，2222(2)12(2)2S r r S r πππππ++==全侧．10．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ．y =B ．y =C ．x y 33=D ．x y 33-= 【答案】C【解析】圆的标准方程为22(2)1x y ++=，设直线的方程为0kx y -=，由题设条件可得1=，解得k =，由于切点在第三象限，所以k =，所求切线x y 33=．11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则qp 11+等于 A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y ⊥轴，即将14y a =代入抛物线方程得12x a=±， ∴114a p q+=．12．如图，OA 是圆锥底面中心A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 A ．321B ．21 C ．21 D ．421【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂线AC ，垂足为C ，2cos ,cos cos OA r CA OA r θθθ===，∴2211(cos )3V r h πθ=，原圆锥的体积为2241122cos 33V r h V r h ππθ===，解得cos θ=．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）． 【答案】252【解析】不同的出场安排共有3237252A A =．14．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．【答案】( 【解析】方法一：（向量法）设(,)P x y ，由题设120PF PF ⋅<，即(,)(,)0x c y x c y +⋅-<，2220x c y -+<，又由22194x y +=得22449x y =-，代入2220x c y -+<并化简得 225419x c <-=，解得x <<． 方法二：（圆锥曲线性质）设(,)P x y ，∵3,2a b ==，∴c =133PF x =+，23PF x =-，当12F PF ∠为钝角时，2221212PF PF F F +<，解得x <<．15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,...)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式是n a = ． 【答案】n1【解析】条件化为11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，∵0n a >∴1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a na n +=+，累成得1n a n =．16．如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正 方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都． 填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数cos ,y x x x R +∈．（Ⅰ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（Ⅱ）该函数的图像可由sin ()y x x R =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．（Ⅰ）cos 2(sin coscos sin )66y x x x x ππ=+=+2sin()6x π=+，x R ∈． ——3分y 取得最大值必须且只需2,62x k k Z πππ+=+∈，即2,3x k k Z ππ=+∈．所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭|． ——6分 （Ⅱ）变换的步骤是：（ⅰ）把函数sin y x =的图像向左平移6π，得到函数sin()6y x π=+的图像；—9分（ⅱ）令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin()6y x π=+的图像；经过这样的变换就得到函数cos y x x =+的图像． ——12分18．（本小题满分12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T ． 【解】本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)2n S na n n d =+-． ∵7157,75S S ==，∴ ⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ——6分即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a ——8分解得12,1a d =-=． ∴()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列{nS n }是等差数列，其首项为2-，公差为21，∴ n n T n 49412-=． ——12分19．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且1C CB ∠=1C CD BCD ∠=∠．（Ⅰ）证明：1C C BD ⊥； （Ⅱ）当1CC CD的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结11,AC AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴,AC BD BD CD ⊥=． 又∵1111,BCC DCC C C C C ∠=∠=， ∴11C BC C DC ∆≅∆，∴11C B C D =， ∵ DO OB =，∴ 1C O BD ⊥， ——3分 但1,AC BD ACC O O ⊥=，∴BD ⊥平面1AC ，又1CC ⊂平面1AC ，∴1CC BD ⊥． ——6分 （Ⅱ）当11CDCC =时，能使1AC ⊥平面1C BD ． 证明一：∵11CDCC =，∴1BC CD C C ==， 又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==．∴ 三棱锥1C C BD -是正三棱锥． ——9分 设1AC 与1C O 相交于G ．∵11//AC AC ，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =． 又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线，∴ 点G 是正三角形1C BD 的中心，∴ CG ⊥平面1C BD ．即1AC ⊥平面1C BD ． ——12分 证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵1AC ⊂平面1AC ，∴1BD AC ⊥． ——9分 当11CDCC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同1BD AC ⊥的证法可得11BC AC ⊥， 又1BD BC B =，∴1AC ⊥平面1C BD ． ——12分20．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0>a ．（Ⅰ）解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）证明：当1a ≥时，函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．【解】小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．（Ⅰ）不等式()1f x ≤1ax ≤+，由此得11ax ≤+，即0ax ≥，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2201a x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬-⎩⎭|； 当1a ≥时，所给不等式的解集为{}0x x ≥|． ——6分（Ⅱ）证明：在区间),0[+∞上任取12,x x ，使得12x x <．22121212()()()()f x f x a x x a x x -=-=-12()x x a =-． ——9分1<，且1a≥，a-<，又12x x<，∴12()()0f x f x->，即12()()f x f x>．所以，当1a≥时，函数()f x在区间),0[+∞上是单调递减函数．——12分21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t=；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t=；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为3000200,()2300,200300;t tf tt t-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤． ——4分 （Ⅱ）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =- 即2211175020020022()17102520030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，， ——6分当0200t ≤≤时，配方整理得21()(50)100200h t t =--+， 所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值100；当200300t <≤时，配方整理得21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间[200,300]上的最大值87.5． ——10分综上，由10087.5>可知，()h t 在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时50t =，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分22．（本小题满分14分）已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点．求双曲线离心率e 的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点,C D ，且以,A B 为焦点，由双曲线的对称性知,C D 关于y 轴对称． ——2分 依题意，记(,0),(,),(,0)2cA c C hB c -，其中12c AB =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=， h h y E 198********=+⨯+=． ——5分 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =． 由点,C E 在双曲线上，将点,C E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 2222222211,44964 1.361361c h a b c h a b ⎧⋅-=⎪⎪⎨⎪⋅-⋅=⎪⎩ ——10分 由①式得1412222-⋅=a c bh ，代入②式得922=a c ． 所以，离心率322==a c e ． ——14分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科I卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。

.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共51分）1.已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=（）A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）A. 15 B. 25 C. 12 D. 45 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 (x i ,y i )(i =1,2,⋯,20) 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A. y =a +bxB. y =a +bx 2C. y =a +b e xD. y =a +blnx6.已知圆 x 2+y 2−6x =0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数 f(x)=cos (ωx +π6) 在 [−π,π] 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.设 alog 34=2 ，则 4−a = （ ）A. 116 B. 19 C. 18 D. 16 9.执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）A. 17B. 19C. 21D. 23 10.设 {a n } 是等比数列，且 a 1+a 2+a 3=1 ， a 2+a 3+a 4=2 ，则 a 6+a 7+a 8= （ ）A. 12B. 24C. 30D. 32 11.设 F 1,F 2 是双曲线 C:x 2−y 23=1 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且 |OP|=2 ，则 △PF 1F 2 的面积为（ ）A. 72B. 3C. 52D. 212.已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 △ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为 4π ， AB =BC =AC =OO 1 ，则球O 的表面积为（ ） A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文史类）一、选择题：本大题12小题·每小题5分·在每小题给出的四个选项中·只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=﹛x|-3＜x ≤5﹜,N=﹛x|x ＜-5或x ＞5﹜·则M N=(A) ﹛x|x ＜-5或x ＞-3﹜ (B) ﹛x|-5＜x ＜5﹜ (C) ﹛x|-3＜x ＜5﹜ (D) ﹛x|x ＜-3或x ＞5﹜ （2）已知复数12z i =-·那么1z=（A ）55+ （B ）55- （C ）1255i + （D ）1255i -(3)已知{}n a 为等差数列·且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d=（A ）-2 （B ）-12 （C ）12（D ）2 （4）平面向量a 与b 的夹角为060·a=(2,0), | b |=1·则 | a+2b |=（A （B ）（C ）4 （D ）12（5）如果把地球看成一个球体·则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25（6）已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x =1()2x；当x ＜4时()f x =(1)f x +·则2(2log 3)f +=（A ）124 （B ）112 （C ）18 （D ）38(7) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切·圆心在直线x+y=0上·则圆C 的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（8）已知tan 2θ=·则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（A ）43-（B ）54（C ）34-（D ）45（9）ABCD 为长方形·AB=2·BC=1·O 为AB 的中点·在长方形ABCD 内随机取一点·取到的点到O 的距离大于1的概率为（A ）4π（B ）14π-（C ）8π（D ）18π-（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ·2a ·。