第3章常微分方程2

常微分方程第二章内容小结1.一阶变量可分离方程：)()(y h x g dx dy= ；)(xydx dyϕ= ；2.一阶线性方程：)()(x q y x p dx dy += ；R)n , 0,1(n )()(∈≠+=ny x q y x p dxdy通解：dx e x q e ce x y dxx p dx x p dxx p ⎰⎰⎰+⎰=-)()()()()( 3.一阶恰当方程：)yM (0),(),(xN dy y x N dx y x M ∂∂=∂∂=+积分因子：))(yM)((0),(),(xN dy y x N dx y x M ∂∂=∂∂=+μμμμ单变量积分因子：)(1x NN Mdxd XYϕμμ≡-=；)(1y MM Ndyd YXϕμμ≡-=恰当方程解法：分项组合法（又称凑微分法）或者用偏积分法：)(),(),(y dx y x M y x U ϕ+=⎰yy)dxM(x,y)N(x, )(∂∂=⎰一dyy d ϕ4.一阶隐方程：),( , ),( )(y y f x y x f y '='=II 型解法：0),( , 0),( )(='='∏y y F y x F∏型解法：常微分方程第二章练习1、 解方程)cos()cos('y x y x y +--=，2π==x y....2、 已知⎰=1)()(x n dt tx ϕϕ (0≠x )，求)(x ϕ.3、 求以0222=-+cx y x 为通解的微分方程。

4、设)('x g y y =+，其中⎩⎨⎧>≤≤=1102)(x x x g ，求方程在),0[+∞上满足00==x y的解.5、已知曲线)(x y y =，)1(,1>==x x x x 及x 轴所围图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积为)]1()([31)(2y x y x x v -=π，且92)2(=y ，求曲线方程.6、)(1x y 、)(2x y 、)(3x y 是)()('x Q y x P y =+三个不同的特解，证明：1213y y y y --为常数7、求解下列方程 （1）20,1xx y y ey='-==； （2）213yy y =+'； （3）02=+-'yxy y（4）xy xy xy 2d d =+； （5）02)(2=-+xydy dx y x ；（6）0)()(3223=+++dy y y x dx xy x ； （7）0)1(2222=+++dy y y x xydx3容器设计1. 探照灯灯罩镜壁形状设计2 桥墩设计问题要设计一个形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h ，上底面直径为2a ，要求桥墩在任意水平截面上所受桥及上部桥墩的平均压强为常数p ，设水泥的比重为r ，求5 盐水稀释问题容器内有100升盐水，含盐50克，现以3升/分钟的速度注入浓度为2克/升的盐水。

1.4习题答案1. (1) 12150, (2)2.52.2(1) 0,200P P = =, (2) 0200P <<, (3) 200P >.3.(1) 0,50,200P P P = = =, (2) 50200P <<, (3) 050,200P P << >.4.解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt <时, ()y t 将减少. 由3220dyy y y dt=--知,(1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变. (2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加. (3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少. 5. 7071.6.解: (1) 设 ()N t 为在时刻t 的放射性同位素质量. 则模型为dNkN dt=-, 0k >为比例系数, 方程的解为 ()ktN t ce-=, 由0t = 时, (0)50N =, 得(0)50N c ==,于是()50kt N t e -=, 又因为 2t = 时, (2)50(110%)45N =⨯-=, 得 24550k e -=,110ln 0.05329k =≈, 因此 0.053()50t N t e -=.(2) 当 4t = 时, 0.0534(4)5040.5N e-⨯==(3) 质量减半时 ()25N t =, 得10.053ln 2t -=, 13t ≈. 7. (1)ln 20.000125730≈, (2) ln 20.866438≈, (3) 一样. 8.(1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 1689. 解: (1)(1)10dS Sk S dt N =--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--.(3) (1)dS Sk S l S dt N=--, 其中 l 是捕获量与总量平方根的比例系数. 10.(1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0. 11.2()23y t t =+. 12.()ln ,0g t t t t =- >.13.(1) 22,t y ce c = 为任意常数.(2) 21,2ty ce c =-为任意常数. (3) ln(),y t c c =+ 为任意常数. (4) 22arctan ,y t c c = + 为任意常数.(5) ,1ttce y c ce =-为任意常数, 此外1y =-也是解. (6) 31231,t t y cec -=- 为任意常数.(7) 2ln ||,2t y y e c c +=+ 为任意常数, 此外0y =也是解. (8) 2221,1ct y c t =- +为任意常数. (9) sin(ln ),y t t c c =-+ 为任意常数, 此外22y t =也是解. (10) ln 1,ycy c t+= 为任意常数. 14.(1) 21(111)2t y e =-. (2) 0y =.(3) 2216ln |1|y t =--.(4) 2tan()24t y π=+.15.解: 设0()()tF t f s ds =⎰, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dFFFdF dt dt= =, 得 2()2,()2F t t c F t t c =+ =±+, 又(0)0F =, 得0c =. 从而 ()2F t t =±,进而 1()()2f t F t t'==±. 16.解: 首先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-,化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义00202002()()()lim()()()1()()lim()(1())lim(1()())()1()lim lim1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = +变形为2(0)1()dyy dt y t '=+, 积分得 arctan ()(0)y t y t c ' = +, 由(0)0y =, 知 0c =, 所以满足条件的函数为 ()tan (0))y t y t '= ( 17.(0)y ty e'=.18.(1) 21,3tty ce ec -=- 为任意常数.(2) 23,tt y cee c --=+ 为任意常数.(3) 21(cos 2sin 2),4ty ce t t c =-+ 为任意常数. (4) 2612cos 2sin 2555t y e t t =-+.(5) 31523cos 2sin 2131313t y e t t -=-+.(6) 2235t ty e te =+. (7) (1)ty t e =+. 19.(1) sin sin 1,tx cet c -=+- 为任意常数.(2) 122,xy cx e x c =+ 为任意常数. (3) 241(1)(1),2y c t t c =+++ 为任意常数. (4) 3,4c t x c t =+ 为任意常数.20.直接代入方程验证即可. 21.3,1,1a b c = = =.22.(1) 2421111,6224tt x cee t t c -=++++ 为任意常数. (2) 432133341sin cos ,416321281717ty ce t t t t t c -=+-+-+- 为任意常数.(3) 334132cos 2sin 2,61313tt t y ce e e t t c --=+-++ 为任意常数.(4) cos 2sin 2,t ty ce te t t c --=+-+ 为任意常数. 23.(1) 361,3y ct t c =+ 为任意常数.(2) 2(4),t y c t e c -=+ 为任意常数. (3) 22(1),ty ct t t e c =+- 为任意常数. (4) cos cos cos 4,t t t y ce e e dt c --=+ ⎰为任意常数.(5) 11(4cos ),tty c e t dt e c -=+ ⎰为任意常数, 此外1y =也是解.(6) 3333(),dt dt t t y c tedt ec ---⎰⎰=+ ⎰为任意常数.注: 上面的不定积分在这里代表某一个原函数.24.在3y =附近的所有解是递减的, 对(0)3y <的解, 当t →+∞不可能趋于+∞. 25.(1) 取()(2)(2)f t t t t =-+,如图1-22: (2) 取()(2)(3)(2)f y y y y =--+, 如图1-23.图1-22 图1-2327.(,1)0f t =, 在1y =的直线上, 斜率场的斜率标记为水平的; 我们并不能得到关于初始条件(0)0y ≠的特解的有用信息.28.(1) 设 t 时刻湖中盐酸含量Q 为千克, 则60,4000(0)0,dQQ dt Q ⎧=- ⎪⎨⎪=⎩可释得4000()240000(1)t Q t e-=-.(2) 213139.(3) 最终趋向于240000千克.29.(1) 100060,400000020(0)0,dQQ dt t Q ⎧=-⎪+⎨⎪=⎩可解得5150140000001()(400000020)17(400000020)17Q t t t =-+++. (2) 218010.30.设C 处电压为()v t , 则有,(0)dv vv E dt RC=- =, 因此 ()tRC v t Ee -=.31.(1) 12345,8,12.5,19.25y y y y = = = =.(2) 123450.39,0.1004,0.3776,0.9891, 1.5934y y y y y = = =- =-=-, 6789102.0456, 2.3287, 2.5241, 2.6899, 2.8428y y y y y = =- =- =-=-.(3) 123454,1y y y y y = = ===-.(4) 123451.5, 3.375, 2.5547, 3.3462, 2.5939y y y y y = = = ==,6789103.3236, 2.6240,3.3017, 2.6528, 3.2869y y y y y = = = ==32.(1) ()2y t <, (2) 1()3y t <<, (3) 2()4t y t y -<<+, (4) 22()y t t -<<.33. 解: 由方程的右端项为 ()(2)(5)f y y y y =--仅为 y 的函数在全平面上连续可微,从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由()(2)(5)f y y y y =--知方程有()0,()2,()5y t y t y t = = =三个平衡解.(1) 初始条件为 (0)6y =, 初值位于()5y t =的上方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解1()y t 一定大于 5, 且 1111(2)(5)0dy y y y dt=-->, 知这个解递增, 并且随着1()y t 的递增,1dy dt也递增并且越来越大, 知在t 增加时, 1()y t 在有限时间内爆破,趋向于 +∞. 当 t 减少时, 1()y t 递减, 并且随着1()y t 的递减趋于5,1dy dt也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知 t →-∞, 1()5y t →.(2) 初始条件为 (0)5y =, 而平衡解()5y t =满足这一初始条件, 由唯一性, 满足这个初始条件的解就是平衡解()5y t =.(3) 初始条件为 (0)1y =, 初值位于()0,()2y t y t = =这两个平衡解的中间, 由唯一性, 满足这个初始条件的解3()y t 一定满足 30()2y t <<, 且 由3333(2)(5)0dy y y y dt=-->, 知这个解递增, 并且随着3()y t 的递增, 3dy dt 也递增但随着3y 趋向于2, 1dy dt趋向于0, 增长越来越缓慢, 知t →+∞, 3()2y t →. 同样, t →-∞, 3()0y t →.(4) 初始条件为 (0)1y =-, 初值位于()0y t =的下方, 由唯一性, 满足这个初始条件的解4()y t 一定小于0, 且4444(2)(5)0dy y y y dt=--<, 与前面类似讨论知, 在t 增加时, 4()y t 在有限时间内爆破, 趋向于-∞. 当t →-∞时,4()0y t →.34. 证明: 由于()f y 连续可微, 知方程()dyf y dt=满足存在唯一性定理的条件. 因为1()y t 是方程的一个解, 1()y t 必可微, 又因为在0t t = 处取得极值, 则由极值的必要条件知10()0y t '=, 从而 01010()(())|0t t dy f y f y t dt ====, 知20()y t y =是方程的一个平衡解, 并且这个解满足初始条件200()y t y =, 而1()y t 这个解满足同样的初始条件, 由解的唯一性, 知 120()()y t y t y ≡=.35.2(),0,t c t cy t c ⎧-≥=⎨<⎩, 其中0c ≥为任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞.36解: 由 23(,)3f t y y =, 知它在全平面内连续, 又由于13(,)2f t y y y-∂=∂, 在除去0y =的区域内连续, 从而在除去0y =的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件,知方程满足初始条件00()0y t y =≠的解在充分小的邻域内存在并且唯一. 当 0y =时, 函数0y =是方程过 (0,0) 的解.当0y ≠时, 方程可变形为 2313y dy dt - =, 积分得 3()y t c =+, c 为任意常数.当0c =时, 得特解 3y t = 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可以表示为3111(),0,t c t c y t c ⎧- <=⎨ ≥⎩,3222(),0,t c t c y t c ⎧- >=⎨ ≤⎩, 31132212(),(),0,t c t c y t c t c c t c ⎧- <⎪=- >⎨⎪≤≤⎩,其中12,c c 是满足10c ≤,20c ≥的任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞, 但本质上在充分小的邻域 (,)εε-内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,即 函数30,y y t = =, 3,00,t t y t εε⎧ -<<=⎨ 0≤<⎩及30,0,t y t t εε -<<⎧=⎨ 0≤<⎩.37. 解: (1) 由()3(1)0f y y y =-=得平衡点为 0y = 和 1y =. 因为(0)30f '=-<,所以0y =是汇; 而(0)30f '=>, 所以1y =是源.(2) 由()cos 0f v v v ==得平衡点为 0v =和 2,2v k k ππ=±∈Z . 当1k ≥时,(2)(2)022f k k ππππ'+=-+<, 知22v k ππ=+为汇; 而(2)(2)022f k k ππππ'-=->, 知22v k ππ=-为源. 相反, 当0k <时, (2)(2)022f k k ππππ'+=-+>, 知22v k ππ=+为源; 而(2)2022f k k ππππ'-=-<, 知22v k ππ=-为汇. 同样2v π=和2v π=-都为汇.(3) 2()25f w w w =++总是大于0, 知方程无平衡点. (4) 由()1sin f v v =-+ 得平衡点2,2v k k ππ=+∈Z , 且当2,2v k k ππ≠+∈Z 时, ()0f v <, 知2,2v k k ππ=+∈Z , 都为结点.38.(1) 图1-24, (2) 图1-25, (3) 图1-26, (4) 图1-27.图1-24 图1-25图1-26 图1-27 39.(1) lim ()23,t y t →+∞=- t 减少时, 在有限时间内趋于-∞.(2) lim ()23,lim ()23t t y t y t →+∞→-∞=- =+.(3) 同(1).(4) lim ()23,t y t →-∞=+ t 增加时, 在有限时间内趋于+∞.40.图1-11解: (a) 对应于(7), (b)对应于(2), (c) 对应于 (6), (d) 对应于(3). 例21.41.如图1-28图1-28 42(1) 利用连续函数的介值性定理可证.(2) 利用教材中定理1.7和连续函数的介值性定理. 43.(1)汇, (2) 源, (3) 结点.44. 解: (1) 当 0μ=时, 方程有一个平衡点0y =, 当 0μ>时, 方程没有平衡点, 当0μ<时, 方程有两个平衡点y μ=- 和y μ=--, 知0μ=是方程的分歧值, 这是鞍结点分歧, 相线如图1-12.(2) 由分歧的必要条件,若μ为分歧值则满足21020y y y μμ⎧++=⎨ +=⎩, 得21y μ=-⎧⎨=⎩ 或 21y μ=⎧⎨=-⎩. 当2μ=-或2μ=时, 方程有一个平衡点2y μ=-, 当2μ<- 或 2μ>时, 方程有两个平衡点242y μμ---=和242y μμ-+-=, 当 22μ-<<时, 方程没有平衡点, 知2μ=-和2μ=是方程的分歧值, 在每个分歧值处均为鞍结点分歧. 相线如图1-13.(3) 当 0μ=时, 方程有一个平衡点0y =, 当 0μ≠时, 方程有两个平衡点0y =和y μ=, 知0μ=是方程的分歧值, 这是跨越式分歧, 相线如图1-14.(4) 由分歧的必要条件,若μ为分歧值则满足33030y y y μ2⎧--=⎨ 3-=⎩, 得 21y μ=-⎧⎨=⎩ 或21y μ=⎧⎨=-⎩. 当2μ=-, 方程有两个平衡点2,1y y =- =, 当2μ=时,方程也有两个平衡点1,2y y =- =. 2μ<- 或 2μ>时, 方程有一个平衡点, 当 22μ-<<时, 方程有三个平衡点, 知2μ=-和2μ=是方程的分歧值. 这是复合式分歧. 设2μ>, 方程330y y μ--=的实根为12y >; 2μ<-时, 方程330y y μ--=的实根为22y <-;22μ-<<时, 方程330y y μ--=的实根为345,,y y y , 且345212y y y -<<-<<1< <, 相线如图1-15.图1-12 图1-13图1-14 图1-1545.(1) 1,1μμ= =-是分歧值, 当1μ>或1μ<-时方程无平衡点, 当11μ-≤≤时, 方程有无穷多个平衡点.(2)10,2μμ= =-是分歧值, 当0μ≥或12μ<-时方程无平衡点, 当102μ-<<时,方程有两个平衡点; 当12μ=-时, 方程有一个平衡点.第二章 习题答案1、 (a) (i) 是兔-虎模型; (ii) 是蚊-象模型； (b) (i): )0,0(, )2572,100(-; (ii) )0,0(, )20,548(;(c) 设0)(1=t y , 那么由两个方程组中的第二个方程的表达式可知0|1==t t dt dy，因此从1t t =开始，捕食者y 将一直为零，即捕食此后者不会再生。

常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程⎰⎰=⇒=dx x g dy y h y h x g dx dy )()(1)()( 2、齐次方程（一般含有xy yx 或的项）),(y x f dxdy=，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dxdux ==+例：xyxtg y xy =-'例：344322xy x y y x dx dy --=例：222y x xy dx dy +=例：1)0(,3222=-=y y x xy dx dy 例：22y x y dxdyx -+=3、一阶线性非齐次方程⇒+=)()(x b y x a dxdy常数变易法或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dxx a dxx a例：e y e y dxdyxx ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dyx例：211'xxyy --=例：21222sin 22sin 1x e y x dxdyyx ++=+4、贝努利方程n y x b y x a dxdy)()(+= 令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n --=)1(，代入得：)()1()()1()()(1x b n z x a n dxdz x b y x a dx dy y n n +++=⇒+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例：)1(22y x xy dxdy+= 例：xyy x dx dy -=sin 12例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例：211y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M第一种情况：若xNy M ∂∂=∂∂则⎰⎰+=yy xx d x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ或⎰⎰+=yy xxd x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例：022=+-y x ydxxdy例：0)1()1(=-++dy yx e dx e yx yx例：0112222=+-+-xdx dy y x xdx y x y 例：dx y x dy y x dx y x )()()(22+=++- 例：0)()(5445=-+-dy y x x dx y x y 例：0)22()522(32=++++dy x x dx y y x 第二种情况：若xNy M ∂∂≠∂∂则找积分因子1、只存在与x 有关的积分因子的充要条件是)()(1x xNy M N φ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dxx e x )()(φμ2、只存在与y 有关的积分因子的充要条件是)()(1y yMx N M ψ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dyy e y )()(ψμ例：0)12(4322=-+dy y x dx y x 例：0)(344=-+dy xy dx y x 例：0)52()34(324=+++dy xy x dx y xy＊ 微分方程解法的不确定性与灵活性：xydx dy =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧方程“凑”的思路：全微分贝努力方程一阶线性非齐次方程齐次方程可分离变量方程“分”的思路：6、可降阶的二阶微分方程第一类：)(22x f dxyd =例：1)0(',1)0(,1'')1(2-===+y y y x第二类：),(22dx dy x f dxy d =，令dx dpdx y d p dx dy ==22,则例：xy y xy 'ln '''= 例：01)'('')1(22=+++y y x 例：x e y y =-'''第三类：),(22dx dyy f dx y d =，令dy dp p dxy d p dx dy ==22,则例：1)0(',0)0(,0''2===-y y e y y 例：2)0(',0)0(,0'''===-y y e y y y例：求方程0''2)'(2=+yy y 的在点)1,1(与直线x y =相切的积分曲线 可降阶微分方程解法的灵活性：例：0)'('''3=++y y y ，令dy dpp dxy d p dx dy ==22,则例：0)'(1''2=-+y y ，令dx dydxy d p dx dy ==22,则微分方程的近似解：Picca 序列给定微分方程⎪⎩⎪⎨⎧===00|),(y y y x f dx dyx x ，则有在),(00y x 处的第1次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(001在),(00y x 处的第2次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(102…………在),(00y x 处的第n 次近似：⎰-+=xx n n dx y x f y y 0),(10例：求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==1)1(y x ydx dy ，当2=x 时，y=？精确方法Picca 近似：精度与误差例：求微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)1()ln(sin πy y dxdy的Picca 逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性：⎪⎩⎪⎨⎧==00),(y y y x f dx dyx定理1：设函数),(y x f 在矩形区域},:),{(:00b y y a x x y x R ≤-≤-上连续；且对R 上任意两点),(),,(21y x y x ，满足Lipschitz 条件：2121),(),(y y L y x f y x f -≤-。