2015年哈三中二模_理数(扫描版)

江西省南昌市2015届高三数学第二次模拟考试试题（扫描版）理2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．214．13π 15．1316． 2212x y -=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=---4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<， (11)分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是．………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分 （Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分 所以随机变量ξ的分布列是：……………………10分随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113． (12)分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D -,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则00n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分而二面角D —GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为5-． (12)分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB最小，因为||2OD ==，所以2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =， 又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =， (6)分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k =--，圆心O到直线m 的距离为：d=，所以||PQ ==8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN = 所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈， 综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x -+=+-=(0)x >，记2()221g x x a x =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈，所以函数()f x在区间(,)22a a +上单调递减，在区间)+∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(1a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln ()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a a ma m a =+-++，则(1)0h =， 1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a ->，当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=， (3)分,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F AC AF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE AD AD FC AE BC ∴=-，解得8AE =。

2015年黑龙江省哈尔滨三中高考物理二模试卷一、选择题1．（4分）两物体做平抛运动的初速度之比为2：1，若它们的抛出点离地面高度相等，则它们水平射程的之比为（）A．2：1 B．1：C．1：4 D．4：12．（4分）如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω．若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是（）A．dv02=L2g B．ωL=π（1+2n）v0，（n=0，1，2，3…）C．v0=ωD．dω2=gπ2（1+2n）2，（n=0，1，2，3…）3．（4分）如图，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一固定粗糙的斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端时，F1、F2、F3做功的功率大小关系是（）A．P1=P2=P3 B．P1＞P2=P3C．P2＞P1＞P3D．P1＞P2＞P34．（4分）如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数μ=0.2，杆的竖直部分光滑．两部分各套有质量均为1kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连．初始A、B均处于静止状态，已知：OA=3m，OB=4m，若A 球在水平拉力的作用下向右缓慢地移动1m（取g=10m/s2），那么该过程中拉力F 做功为（）A．14J B．10J C．6J D．4J5．（4分）如图所示，物体A、B的质量都为m．现用手托着物体A使弹簧处于原长，细绳刚好竖直伸直，A与地面的距离为h，物体B静止在地面上．放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，设物体A落地后不反弹．则下列说法中正确的是：（）A．A落地时，弹簧的弹性势能等于mgh+mv2B．弹簧的劲度系数为C．与地面即将接触时A的加速度大小为g，方向竖直向上D．物体A落地后B能上升到的最大高度为h6．（4分）如图所示，水平传送带两端点A、B间的距离为L，传送带开始时处于静止状态．把一个小物体放到右端的A点，某人用恒定的水平力F使小物体以速度v1匀速滑到左端的B点，拉力F所做的功为W1、功率为P1，这一过程物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q1．随后让传送带以v2的速度匀速运动，此人仍然用相同的水平力恒定F拉物体，使它以相对传送带为v1的速度匀速从A 滑行到B，这一过程中，拉力F所做的功为W2、功率为P2，物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q2．下列关系中正确的是（）A．W1=W2，P1＜P2，Q1=Q2B．W1=W2，P1＜P2，Q1＞Q2C．W1＞W2，P1=P2，Q1＞Q2D．W1＞W2，P1=P2，Q1=Q27．（4分）如图所示，A、B两物体的质量比m A：m B=3：2，它们原来静止在平板车C上，A、B间有一根被压缩了的弹簧，A、B与平板车上表面间动摩擦因数相同，地面光滑．当弹簧突然释放后，则有（）A．A、B系统动量守恒B．A、B、C系统动量守恒C．小车向左运动D．小车向右运动8．（4分）如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，杆两端固定且足够长，物块A由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A运动的速度大小为v A，小球B 运动的速度大小为v B，轻绳与杆的夹角为θ．则（）A．v A=v B cosθB．v B=v A cosθC．小球B减小的重力势能等于物块A增加的机械能D．当物块A上升到与滑轮等高时，它的机械能最大9．（4分）如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）．下列说法中正确的是（）A．a、b的线速度大小之比是：1B．a、b的周期之比是1：2C．a、b的角速度大小之比是3：4D．a、b的向心加速度大小之比是9：410．（4分）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．则最小自转周期T的下列表达式中正确的是（）A．T=2πB．T=2π C．T= D．T=11．（4分）如图所示，质量为M的半圆形轨道槽放置在水平地面上，槽内壁光滑．质量为m的小物体从槽的左侧顶端由静止开始下滑到右侧最高点的过程中，轨道槽始终静止，则该过程中（）A．轨道槽对地面的最大压力为（M+2m）gB．轨道槽对地面的最小压力为MgC．轨道槽对地面的最大压力为（M+3m）gD．轨道槽对地面的摩擦力方向先向右后向左12．（4分）光电计时器的实验简易示意图如下，当有不透光物体从光电门间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间，光滑水平导轨MN上放两相同小物块A、B，右端N处与水平传送带理想连接，今将宽度为d=3.6×10﹣3m的黑色磁带贴在物块B上，且高出物块，并使高出物块部分在通过光电门时挡光．传送带水平部分长度L=8m，沿逆时针方向以恒定速度v=6m/s匀速传动．物块B与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，质量m A=2kg，m B=1kg．开始时在A、B间压缩一轻弹簧P（且与A、B不拴接），锁定其处于静止状态，现解除锁定，弹开A、B，迅速移去轻弹簧，物块B第一次通过光电门，计时器显示读数为t=9.0×10﹣4s．取g=10m/s2，则（）A．物块A、B被弹簧弹开的速度v A=v B=4m/sB．弹簧储存的弹性势能为12JC．故物块B沿传送带向右滑动的最远距离为3mD．物块B在传送带上滑动的全过程中因摩擦产生的热量Q=48J三、实验题13．（8分）在《验证机械能守恒定律》的实验中：（1）下列实验操作顺序正确合理的一项是；（填序号）A．先将固定在重物上的纸带穿过打点计时器，再将打点计时器固定在铁架台上B．先用手提着纸带，使重物静止在打点计时器下方，再接通电源C．先放开纸带让重物下落，再接通打点计时时器的电源D．先取下固定在重物上的打好点的纸带，再切断打点计器的电源（2）质量m=1kg的重锤自由下落，在纸带上打出了一系列的点，如图所示，相邻记数点时间间隔为0.02s，长度单位是cm，g取9.8m/s2．（保留3位有效数字）：①打点计时器打下记数点B时，物体的速度V B=m/s．②从点O到打下记数点B的过程中，物体重力势能的减小量△E P=J，动能的增加量△E K=J．14．（8分）探究力对原来静止的物体做的功与物体获得速度的关系的实验装置如图1所示．（1）下列说法正确的是：A．通过改变橡皮筋的条数改变拉力做功的数值B．通过改变橡皮筋的长度改变拉力做功的数值C．通过打点计时器打下的纸带来测定小车加速过程中获得的最大速度D．通过打点计时器打下的纸带来测定小车加速过程中获得的平均速度（2）通过实验获得较科学的数据作出的W﹣v图象，应为图2中的哪一个：．四、计算题15．（10分）2012年6月18日神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地343km 的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．若神舟九号飞船绕地球运动视为在赤道平面内的匀速圆周运动，离地高度h=300km．已知地球半径R=6.4×103km，地面重力加速度g=9.8m/s2．（结果保留2位有效数字，先写出表达式再求出数值）求：①神舟九号飞船运动的周期T；②若地球的自转周期为T0=8.6×104s，则神舟九号飞船连续两次经过赤道上某一建筑物的时间间隔△t．16．（11分）如图所示光滑水平面上静止一质量为M，长为L的木块，质量为m 的子弹以水平向右的初速度v0射入木块并以水平向右的速度射出．求：①木块的末速度v大小；②子弹受到的冲量；③若子弹在穿过木块过程中受到的阻力恒定，求阻力f的大小．17．（15分）如图所示质量为m=1kg的滑块（可视为质点）由斜面上P点以初动能E K0=20J沿斜面向上运动，当其向上经过Q点时动能E KQ=8J，机械能的变化量=﹣3J，斜面与水平夹角α=37°．PA间距离l0=0.625m，当滑块向下经过A点△E机并通过光滑小圆弧后滑上质量M=0.25kg的木板（经过小圆弧时无机械能损失），滑上木板瞬间触发一感应开关使木板与斜面底端解除锁定（当滑块滑过感应开关时，木板与斜面不再连接），木板长L=2.5m，木板与滑块间动摩擦因数µ1=0.20，木板与地面的动摩擦因数µ2=0.10．滑块带动木板在地面上向右运动，当木板与右侧等高光滑平台相碰时再次触发感应开关使木板与平台锁定．滑块沿平台向右滑上光滑的半径R=0.1m的光滑圆轨道（滑块在木板上滑行时，未从木板上滑下）．求：①物块与斜面间摩擦力大小；②木块经过A点时的速度大小v1；③为保证滑块通过圆轨道最高点，AB间距离d应满足什么条件？2015年黑龙江省哈尔滨三中高考物理二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）两物体做平抛运动的初速度之比为2：1，若它们的抛出点离地面高度相等，则它们水平射程的之比为（）A．2：1 B．1：C．1：4 D．4：1【解答】解：由于物体抛出点离地面高度相等，根据h=gt2可知，运动的时间相同，初速度之比为2：1，根据x=V0t 可知水平射程与初速度成正比，两物体做平抛运动的初速度之比为2：1，所以它们水平射程的之比为2：1．所以A正确．故选：A2．（4分）如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω．若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是（）A．dv02=L2g B．ωL=π（1+2n）v0，（n=0，1，2，3…）C．v0=ωD．dω2=gπ2（1+2n）2，（n=0，1，2，3…）【解答】解：BC、飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A点正好在最低点被击中，设时间为t，飞镖飞行时间t和圆盘转动的周期满足：t=nT+（n=0，1，2、），由T=和L=v0t得：ωL=π（2n+1）v0故B正确，C错误；AD、平抛的竖直位移为d，则d=gt2，联立有：dω2=gπ2（2n+1）2，2d=gL2故A错误，D错误故选：B3．（4分）如图，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一固定粗糙的斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端时，F1、F2、F3做功的功率大小关系是（）A．P1=P2=P3 B．P1＞P2=P3C．P2＞P1＞P3D．P1＞P2＞P3【解答】解：物体的加速度相同，说明物体受到的合力相同，物体在运动过程中，受到拉力F，重力mg，摩擦力f，摩擦力f=μF N，根据图象可知，f2＞f1＞f3，根据牛顿第二定律，有：F1﹣mgsinα﹣μmgcosα=ma，故F1=mgsinα+μmgcosα+ma，F2cosα﹣mgsinα﹣μ（mgcosα+F2sinα）=ma，故F2=，F3cosα﹣mgsinα﹣μ（mgcosα﹣F3sinα）=ma，故F3=，所以F2cosα＞F1＞F3cosα，由于斜面的长度相同，物体的加速度相同，所以物体到达顶端的时候，物体的速度的大小也是相同的；根据P=Fvcosα可知，P2＞P1＞P3，故选：C．4．（4分）如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数μ=0.2，杆的竖直部分光滑．两部分各套有质量均为1kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连．初始A、B均处于静止状态，已知：OA=3m，OB=4m，若A 球在水平拉力的作用下向右缓慢地移动1m（取g=10m/s2），那么该过程中拉力F 做功为（）A．14J B．10J C．6J D．4J【解答】解：对AB整体受力分析，受拉力F、重力G、支持力N、向左的摩擦力f和向左的弹力N1，如图根据共点力平衡条件，有竖直方向：N=G1+G2水平方向：F=f+N1其中：f=μN解得N=（m1+m2）g=20Nf=μN=0.2×20N=4N对整体在整个运动过程中运用动能定理列式，得到W F﹣fs﹣m2g•h=0根据几何关系，可知求B上升距离h=1m故W F=fs+m2g•h=4×1+1×10×1=14J故选：A．5．（4分）如图所示，物体A、B的质量都为m．现用手托着物体A使弹簧处于原长，细绳刚好竖直伸直，A与地面的距离为h，物体B静止在地面上．放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，设物体A落地后不反弹．则下列说法中正确的是：（）A．A落地时，弹簧的弹性势能等于mgh+mv2B．弹簧的劲度系数为C．与地面即将接触时A的加速度大小为g，方向竖直向上D．物体A落地后B能上升到的最大高度为h【解答】解：A、A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有：mgh=+E p，则弹簧的弹性势能：E p=mgh﹣．故A错误；B、由题可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力，即F=mg，弹簧伸长的长度为x=h，由F=kx得，k=，故B正确；C、根据牛顿第二定律对A有：F﹣mg=ma，得a=0，故C错误；D、物体A落地后B能上升到的最大高度小于h．故D错误．故选：B6．（4分）如图所示，水平传送带两端点A、B间的距离为L，传送带开始时处于静止状态．把一个小物体放到右端的A点，某人用恒定的水平力F使小物体以速度v1匀速滑到左端的B点，拉力F所做的功为W1、功率为P1，这一过程物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q1．随后让传送带以v2的速度匀速运动，此人仍然用相同的水平力恒定F拉物体，使它以相对传送带为v1的速度匀速从A 滑行到B，这一过程中，拉力F所做的功为W2、功率为P2，物体和传送带之间因摩擦而产生的热量为Q2．下列关系中正确的是（）A．W1=W2，P1＜P2，Q1=Q2B．W1=W2，P1＜P2，Q1＞Q2C．W1＞W2，P1=P2，Q1＞Q2D．W1＞W2，P1=P2，Q1=Q2【解答】解：设AB的长度为L，拉力大小为F，滑动摩擦力大小为f．当传送带不运动时，拉力做功W1=FL，物体从A运动到B的时间t1=，因摩擦而产生的热量Q1=fL．当传送带运动时，拉力做功W2=FL，物体从A运动到B的时间t2=＜t1，因摩擦而产生的热量Q2=fv1t2．拉力做功功率P1=，P2=比较可知W1=W2，P1＜P2．又v1t2＜v1t1，v1t1=L 得Q1＞Q2．故选B．7．（4分）如图所示，A、B两物体的质量比m A：m B=3：2，它们原来静止在平板车C上，A、B间有一根被压缩了的弹簧，A、B与平板车上表面间动摩擦因数相同，地面光滑．当弹簧突然释放后，则有（）A．A、B系统动量守恒B．A、B、C系统动量守恒C．小车向左运动D．小车向右运动【解答】解：A、B，由题意，地面光滑，所以A、B和弹簧、小车组成的系统受合外力为零，所以系统的动量守恒．在弹簧释放的过程中，由于m A：m B=3：2，A、B所受的摩擦力大小不等，所以A、B组成的系统合外力不为零，动量不守恒．故A错误．B正确；C、D由于A、B两木块的质量之比为m1：m2=3：2，由摩擦力公式f=μN=μmg知，A对小车向左的滑动摩擦力大于B对小车向右的滑动摩擦力，在A、B相对小车停止运动之前，小车的合力所受的合外力向左，会向左运动，故C正确，D错误．故选：BC．8．（4分）如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，杆两端固定且足够长，物块A由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A运动的速度大小为v A，小球B运动的速度大小为v B，轻绳与杆的夹角为θ．则（）A．v A=v B cosθB．v B=v A cosθC．小球B减小的重力势能等于物块A增加的机械能D．当物块A上升到与滑轮等高时，它的机械能最大【解答】解：A、B、将物块A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子的方向，在沿绳子方向的分速度等于B的速度．在沿绳子方向的分速度为v A cosθ，所以v B=v A cosθ．故A错误，B正确．C、滑块A、B组成的系统由静止开始运动，小球B减小的重力势能等于物块A 增加的机械能与B增加的动能之和．故C错误；D、滑块A、B组成的系统由静止开始运动，开始的时候B的速度逐渐增大，但是由于v B=v A cosθ，当物块A上升到与滑轮等高时，θ=90°时，则B的速度为0，所以此时A的机械能最大．故D正确．故选：BD．9．（4分）如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）．下列说法中正确的是（）A．a、b的线速度大小之比是：1B．a、b的周期之比是1：2C．a、b的角速度大小之比是3：4D．a、b的向心加速度大小之比是9：4【解答】解：根据万有引力提供向心力得==mω2r=m=maA、v=，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）．所以轨道半径是2：3，所以a、b的线速度大小之比是，故A错误B、周期T=2π，所以a、b的周期之比是2：3．故B错误C、ω=，a、b的角速度大小之比是3：2，即3：4，故C正确D、a=，所以a、b的向心加速度大小之比是9：4，故D正确故选CD．10．（4分）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．则最小自转周期T的下列表达式中正确的是（）A．T=2πB．T=2π C．T= D．T=【解答】解：由F=m可得周期越小，物体需要的向心力越大，物体对星球表面的压力最小，当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即=m解得T=2π；故A正确；因M=ρπR3，代入上式可得：T=，故D也正确；故选AD．11．（4分）如图所示，质量为M的半圆形轨道槽放置在水平地面上，槽内壁光滑．质量为m的小物体从槽的左侧顶端由静止开始下滑到右侧最高点的过程中，轨道槽始终静止，则该过程中（）A．轨道槽对地面的最大压力为（M+2m）gB．轨道槽对地面的最小压力为MgC．轨道槽对地面的最大压力为（M+3m）gD．轨道槽对地面的摩擦力方向先向右后向左【解答】解：A、当物体运动到最低点时，由机械能守恒可知，mv2=mgR；由向心力公式可得m=F﹣mg；解得：F=3mg；故轨首槽对地面的压力为3mg+Mg；此时压力最大，故C正确A 错误；B、当m在最高点时，物体只受重力对半圆轨道没有压力，故此时轨道槽对地面的压力最小为Mg，故B正确；D、m在轨道左侧时，对槽的弹力有水平向左的分量，故此时地面对槽有向右的摩擦力；当物体到达右侧时，弹力向右，故摩擦力向左，由牛顿第三定律可知，D错误；故选：BC．12．（4分）光电计时器的实验简易示意图如下，当有不透光物体从光电门间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间，光滑水平导轨MN上放两相同小物块A、B，右端N处与水平传送带理想连接，今将宽度为d=3.6×10﹣3m的黑色磁带贴在物块B上，且高出物块，并使高出物块部分在通过光电门时挡光．传送带水平部分长度L=8m，沿逆时针方向以恒定速度v=6m/s匀速传动．物块B与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，质量m A=2kg，m B=1kg．开始时在A、B间压缩一轻弹簧P（且与A、B不拴接），锁定其处于静止状态，现解除锁定，弹开A、B，迅速移去轻弹簧，物块B第一次通过光电门，计时器显示读数为t=9.0×10﹣4s．取g=10m/s2，则（）A．物块A、B被弹簧弹开的速度v A=v B=4m/sB．弹簧储存的弹性势能为12JC．故物块B沿传送带向右滑动的最远距离为3mD．物块B在传送带上滑动的全过程中因摩擦产生的热量Q=48J【解答】解：A、物块A、B被弹簧弹开后的速度为：v B==4m/s，弹簧弹开过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：m A v A﹣m B v B=0，代入数据解得：v A=2m/s，故A错误；B、故弹簧储存的弹性势能E P=m A v A2+m B v B2，代入数据解得：E P=12J，故B正确；C、物块B在传送带上的加速度为a，由牛顿第二定律得：μm B g=m B a，代入数据解得：a=2m/s2，故物块B沿传送带向右滑动的最远距离：s m==4m＜L=8m，故C错误；D、由C可知，物块向左滑行的最大距离小于传送带长度，物体速度变为零后反向加速运动，物块在传送带上运动的总时间为：t′==4s，传送带的位移：s传=vt′=6×4=24m，整个过程中物块在传送带上的位移为零，物块与传送带的相对位移：s=s=24m，故因摩擦产生的热量：Q=μm B gs=0.2×1×10×24=48J，故D 传正确；故选：BD三、实验题13．（8分）在《验证机械能守恒定律》的实验中：（1）下列实验操作顺序正确合理的一项是B；（填序号）A．先将固定在重物上的纸带穿过打点计时器，再将打点计时器固定在铁架台上B．先用手提着纸带，使重物静止在打点计时器下方，再接通电源C．先放开纸带让重物下落，再接通打点计时时器的电源D．先取下固定在重物上的打好点的纸带，再切断打点计器的电源（2）质量m=1kg的重锤自由下落，在纸带上打出了一系列的点，如图所示，相邻记数点时间间隔为0.02s，长度单位是cm，g取9.8m/s2．（保留3位有效数字）：①打点计时器打下记数点B时，物体的速度V B=0.973m/s．②从点O到打下记数点B的过程中，物体重力势能的减小量△E P=0.476J，动能的增加量△E K=0.473J．【解答】解：（1）A、应先将打点计时器固定在铁架台上，再将纸带穿过打点计时器，最后将纸带固定在重物上．故A错误．B、先用手提着纸带，使重物静止在打点计时器下方，再接通电源，然后释放重物．故B正确．C、如果先放开纸带让重物下落，再接通打点计时时器的电源，由于重物运动较快，不利于数据的采集和处理，会对实验产生较大的误差．故C错误．D、实验结束应立即切断电源以防仪器的损坏，然后再取下固定在重物上的打好点的纸带．故D错误．故选B．（2）①v B===0.973m/s②重力势能减小量△E p=mgh=1×9.8×0.0486m J=0.476 J．利用匀变速直线运动的推论得：E kB=mv B2=0.473 J故答案为：（1）B（2）0.973m/s，0.476J，0.473 J14．（8分）探究力对原来静止的物体做的功与物体获得速度的关系的实验装置如图1所示．（1）下列说法正确的是：ACA．通过改变橡皮筋的条数改变拉力做功的数值B．通过改变橡皮筋的长度改变拉力做功的数值C．通过打点计时器打下的纸带来测定小车加速过程中获得的最大速度D．通过打点计时器打下的纸带来测定小车加速过程中获得的平均速度（2）通过实验获得较科学的数据作出的W﹣v图象，应为图2中的哪一个：B．【解答】解：（1）A、实验时使用相同的橡皮筋，每次使橡皮筋的伸长量相等，则橡皮筋恢复原长时对小车做功相同，以每根橡皮筋做的功W为功的单位，通过改变橡皮筋的条数可以改变拉力对小车做功的多少，故A正确，B错误；C、橡皮筋恢复原长前，橡皮筋的拉力对小车做功，小车做加速运动，橡皮筋恢复原长时做功完毕，小车受到达到最大值，实验需要测出橡皮筋对小车做功完毕时小车的速度，即需要测出橡皮筋恢复原长时的速度，即：需要通过打点计时器打下的纸带来测定小车加速过程中获得的最大速度，故C正确，D错误；故选AC．（2）由动能定理可知：W=mv2，W与v是二次函数关系，由图示图象可知，B 正确，ACD错误，故选B．故答案为：（1）AC；（2）B．四、计算题15．（10分）2012年6月18日神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地343km 的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．若神舟九号飞船绕地球运动视为在赤道平面内的匀速圆周运动，离地高度h=300km．已知地球半径R=6.4×103km，地面重力加速度g=9.8m/s2．（结果保留2位有效数字，先写出表达式再求出数值）求：①神舟九号飞船运动的周期T；②若地球的自转周期为T0=8.6×104s，则神舟九号飞船连续两次经过赤道上某一建筑物的时间间隔△t．【解答】解：①在地面上的物体受到的重力等于万有引力飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力由以上二式解得代入数据得T=s=5.4×103S②设该卫星相邻两次经过地球赤道上某点的上空所需的时间为t=1解得代入数据得=5.8×103s答：①神舟九号飞船运动的周期T为5.4×103S；②若地球的自转周期为T0=8.6×104s，则神舟九号飞船连续两次经过赤道上某一建筑物的时间间隔为5.8×103s．16．（11分）如图所示光滑水平面上静止一质量为M，长为L的木块，质量为m 的子弹以水平向右的初速度v0射入木块并以水平向右的速度射出．求：①木块的末速度v大小；②子弹受到的冲量；③若子弹在穿过木块过程中受到的阻力恒定，求阻力f的大小．【解答】解：①子弹穿木块过程系统动量守恒，乙子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：，解得：；②对子弹，由动量定理得：，解得：，冲量大小为mv0，方向向左；③由能量守恒定律得：，解得：f=（5﹣）；答：①木块的末速度v大小；②子弹受到的冲量大小为mv0，方向向左；③若子弹在穿过木块过程中受到的阻力恒定，阻力f的大小为（5﹣）．17．（15分）如图所示质量为m=1kg的滑块（可视为质点）由斜面上P点以初动能E K0=20J沿斜面向上运动，当其向上经过Q点时动能E KQ=8J，机械能的变化量=﹣3J，斜面与水平夹角α=37°．PA间距离l0=0.625m，当滑块向下经过A点△E机并通过光滑小圆弧后滑上质量M=0.25kg的木板（经过小圆弧时无机械能损失），滑上木板瞬间触发一感应开关使木板与斜面底端解除锁定（当滑块滑过感应开关时，木板与斜面不再连接），木板长L=2.5m，木板与滑块间动摩擦因数µ1=0.20，木板与地面的动摩擦因数µ2=0.10．滑块带动木板在地面上向右运动，当木板与右侧等高光滑平台相碰时再次触发感应开关使木板与平台锁定．滑块沿平台向右滑上光滑的半径R=0.1m的光滑圆轨道（滑块在木板上滑行时，未从木板上滑下）．求：①物块与斜面间摩擦力大小；②木块经过A点时的速度大小v1；③为保证滑块通过圆轨道最高点，AB间距离d应满足什么条件？【解答】解：（1）由P到Q过程中，由动能定理可知：﹣（mgsinα+f）s1=E KQ﹣E K0﹣fs1=△E机联立解得：f===2N；（2）P到最高点，由动能定理可知：﹣（mgsinα+f）s1=0﹣E K0代入数据解得：S1=2.5m；滑块从最高点到A过程，mgsinα﹣f（s l+l0）=解得：v1=5m/s；（3）若滑块在木板上滑行时木板没碰到平台，则：对m有：μ1mg=ma1；代入数据解得：a1=2m/s2；对M有：μ1mg﹣μ2（m+M）g=Ma2；代入数据解得：a2=3m/s2；M、m达到共同速度的时间为t1，则有：v2=v1﹣at1=a2t2。

丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则AB =(A){0x x <或1}x ≥ (B) {12}x x <<(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >【答案】D【解析】 {}2{20}|02B x x x x x =-<=<<，所以AB ={0}x x >，故选D【考点】 集合运算 【难度】 12．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数等价于0a =且0b ≠，所以“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的必要不充分条件，故选B 【考点】 充条件与必要条件 【难度】 23．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A)223(B)283(C)323(D)343【答案】C【解析】如图，联立方程241y x y x x =+⎧⎨=-+⎩解得(1,3)A -，(3,7)B 所以梯形ABCD 的面积为(37)4202+⨯= 阴影部分面积为32323111128(1)()|323x x dx x x x ---+=-+=⎰ 所以封闭图形面积为28322033-=，故选C【考点】 定积分 【难度】 34．函数1,0,()2cos 1,20x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π (D) 12π-【答案】A【解析】 当0x ≥时，由()0f x =得10x -=，所以1x =；当20x π-≤<时，由()0f x =得2cos 10x -=，所以1cos 2x =，所以53x π=-或3x π=-所以，所有零点之和为511233πππ--=-，故选A 【考点】 分段函数；方程与零点 【难度】 25．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)29 (C) 3 (D) 23【答案】C【解析】三棱锥的左视图如图所示，其中底边长为2，高为3，所以面积为12332⨯⨯= ，故选C【考点】 三视图与直观图 【难度】 36．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1=a ，2=b ，如果AB =+a b ，3AC =-a b ，D 是BC 的中点，那么AD =(A)3 (B) 23(C) 3 (D) 6【答案】A【解析】11()(3)22AD AB AC =+=++-=-a b a b a b所以222()21212cos 433AD π=-=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=a b a b a a b b ，故选A【考点】 平面向量线性运算；平面向量数量积 【难度】 37．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共俯视图正视图3221315吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：产品名称 ABC 天121314产值（单位：万元）4722则每周最高产值是 (A) 30 (B) 40(C) 47.5(D) 52.5【答案】D【解析】 设A ，B 两种产品分别生产x ，y 吨，则C 产品生产15x y --吨依题意应有1115523400x y x y x y --⎧++≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩即315000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩每周产值7342(15)23022z x y x y x y =++--=++作出可行域如图， 目标函数32302z x y =++变形为42(3033y x z =-+-），作直线43y x =-，平移直线，当直线过点(0,15)A 时，z 取得最大值，最大值为max 3153052.52z =⨯+=，故选D【考点】 线性规划 【难度】 38．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是(A) 4 (B) 33(C) 43(D) 8【答案】C【解析】如图：因为||||AF BF =，所以F 为AB 中点，因为AK l ⊥，所以24AK p ==，所以A 点横坐标为3，代入抛物线得23y = 所以114234322A AKF AK y =⨯⨯=⨯⨯=△， 故选C 【考点】 抛物线 【难度】 3第二部分 （非选择题 共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知正实数x ，y 满足3xy =，则2x y +的最小值是 ． 【答案】【解析】2x y +≥=2x y =时等号成立），所以2x y +的最小值是。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合{}21A x x =>，集合{}(2)0B x x x =-<，则AB =A ．{}12x x << B. {}2x x > C ． {}02x x << D ． {1x x ≤，或}2x ≥ 【答案】A【解析】由不等式21x >得1x <-或1x >，即{1A x =<-或}1x >;由不等式(2)0x x -<得02x <<，即{}02B x x =<<，所以{}12A B x x =<<，故选A【考点】 集合运算;一元二次不等式 【难度】 22. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是A ．7B ．10C ．66D ．166【答案】B【解析】初始值：S ＝1，n ＝1第一次循环：4n =，21417S =+= 第二次循环：7n =，217766S =+=第三次循环：10n =，26610166100S =+=>，输出10n =，故选B 【考点】算法与程序框图 【难度】 23. 设i 为虚数单位，m R ∈，“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】“复数(1)+i m m -是纯虚数”等价于(1)0m m -=，所以0m =或1m =;所以“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m”的必要不充分条件，故选B【考点】 充分条件与必要条件 【难度】 24.已知平面上三点,,A B C 满足=6AB ，=8AC ，=10BC ，则++AB BC BC CA CA ABA. 48B. 48C.100D. 100 【答案】D【解析】因为=6AB ，=8AC ，=10BC ，所以AB AC ⊥，以A 为原点，AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立坐标系，则有(6,0)AB =，(0,8)AC =，所以(6,8)BC =- ，(0,8)CA =-， 所以++(6,0)(6,8)(6,8)(0,8)(0,8)(6,0)AB BC BC CA CA AB 36640100故选D【考点】 平面向量运算 【难度】 25.已知函数()2sin()25f x x ππ=+.若对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是 A. 2 B.4 C. π D. 2π 【答案】A【解析】依题意1()f x 是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，所以12x x -的最小值为半个周期2，故选A 【考点】 三角函数的图象与性质 【难度】 26.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A. 12y x =±B. 2y x =±C. y =D.y = 【答案】C【解析】由抛物线方程可知(,)F 10，因为52PF =，所以P 点横坐标为53122-=，所以纵坐标为 因为点P 为交点，且有公共焦点，所以222296141a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以渐近线方程为by x a=±=，故选C 【考点】 双曲线;抛物线 【难度】 37.已知函数e e()2xxf x ，x R ，若对任意π(0,]2，都有(sin )(1)0f m f m 成立，则实数m 的取值范围是A. 0,1B. 0,2C. ,1D. ,1【答案】D【解析】因为ee e e ()()22xx xxf x f x ，所以()f x 为奇函数;又因为1'()(e e )02x x f x ，所以()f x 为增函数，由(sin )(1)0f m f m 得(sin )(1)(1)f m f m f m所以sin 1m m 对于π(0,]2恒成立，即11sinm 恒成立， 因为π(0,]2，所以sin 0,1，所以1110m，故选D 【考点】 函数的性质 【难度】 48. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起的部分的面积最小值为A. 14B. 38 C. 25 D. 12【答案】B【解析】如图，设折痕为ME ，过E 作EF AB⊥于F ，连接'BB 交ME 于N ，根据对称性可知'BB M E ⊥，且1'2BN BB =，所以'AB B NMB ∆∆∽，所以'BN BMAB BB =，即'BNBM BB AB= 设'AB x =，则'BB ，BN 21(1)2BM x =+又因为EF AB ⊥，所以'M EF B BA ∠=∠，而EF AB =，所以'M EF B BA ∆∆≌，所以'MF B A x == 所以21(1)2BF BM MF x x =-=+-，即21(1)2EC x x =+-所以折起部分的面积22211(1)(1)122(1)222x x xBM EC S BC x x +++-+=⨯==-+ 因为01x ≤≤，所以当12x =时min 38S =，故选D 【考点】 函数的应用 【难度】 4ACBB 1(B )D C 1(C )NM F E C'B'D A CB第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 41(1)3x展开式中含3x 项的系数是 . 【答案】427【解析】二项展开式通项为114411()()33r r rr r r T C x C x --+=-=-令3r =得3x 项的系数是33414()327C -=-【考点】 二项式定理及性质 【难度】 210.已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，且和两条直线0x y +=和120x y +-=都相切，则圆C 的标准方程是 .【答案】()223(3)18x y -+-=【解析】 设圆心(,)C a b ，因为圆心在直线0x y -=上，所以a b =，即(,)C a a因为和两条直线0x y +=和120x y +-==，解得3a =所以半径为r ==所以圆的标准方程为()223(3)18x y -+-=【考点】 直线与圆的位置关系;圆的标准方程 【难度】 211. 如图，已知圆B 的半径为5，AMN 与ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN 过圆心B .若2AM，60CBD ，则AD = .【答案】3 【解析】因为60CBD，所以5CD =，由割线定理AD AC AM AN ⋅=⋅，即(5)21224AD AD ⋅+=⨯=所以25240AD AD +-=，解得3AD = 【考点】 割线定理 【难度】 212.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为______.A正视图侧视图俯视图【答案】239【解析】四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的菱形，高PO 为3，顶点P 在底面的射影O 为菱形中心，过O 作OE BC ⊥于E ，则32OE =，所以斜高392PE =，所以侧面积为1139424239222BC PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=【考点】 几何体的三视图与直观图 【难度】 313.已知点11(,1)A a ，22(,2)A a ，…，(,)n n A a n （N *n ∈）都在函数13log y x =的图象上.则数列{}n a 的通项公式为_________；设O 为坐标原点，点(,0)n n M a （N *n ∈），则11OA M ∆，22OA M ∆，…，n n OA M ∆中，面积的最大值是_________. 【答案】13nna ;16. 【解析】因为点(,)n a n 在函数13log y x =的图象上，所以13log n n a =，即1()3n n a =;设n n OA M ∆的面积111()223n n n S na n ==，则1111()(1)23n n S n ++=+所以111111()(1)()2323n n n n S S n n ++-=+-1112()233n n-=因为N *n ∈所以10n n S S +-<， 所以当1n =时n S 最大，为16【考点】 等比数列;数列综合运用 【难度】 3 14．设集合123(,,)2,0,2,1,2,3iA m m m m i ，集合A 中所有元素的个数为 ;集合A 中满足条件“12325m m m ”的元素个数为 .【答案】27;18【解析】集合A 中所有元素的个数为11133327C C C =个;因为0i m =或2，所以1m ，2m ，3m 三个数字中只有两种情况（1）一个０，两个2，此时123(,,)m m m 有11132212C C C =种（2）两个０，一个2，此时123(,,)m m m 有11326C C =种共有1８种元素 【考点】 排列组合 【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD ，120ADC ，57cos 14CAD. （Ⅰ）求AC 的长; （Ⅱ）求梯形ABCD 的高. 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）在ACD 中，因为57cos 14CAD，所以21sin 14CAD ， 由正弦定理得，sin sin AC CDADC CAD，即32sin 227sin 21CD ADC ACCAD. ……………………………………6分（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得，22422cos120AC AD AD =+-⨯⨯，整理得22240AD AD +-=，解得4AD =(舍负). 过点D 作D E AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高. 因为AB CD ，120ADC ，所以60BAD .在直角ADE 中，sin 6023DEAD .即梯形ABCD 的高为【考点】 解斜三角形【难度】 316．（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从,,A B C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试.选择,,A B C 三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择A 题的答卷中抽出了3份，则应分别从选择,B C 题的答卷中抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，,,A B C 三题答卷得优的份数都是2.从被抽出的,,A B C 三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率;（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：应分别从,B C 题的答卷中抽取5份，2份.（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优. 依题意131()1355P M =⨯⨯=． （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===;11451280(1)()()33243P X C ===;22351280(2)()()33243P X C ===;33251240(3)()()33243P X C ===;44151210(4)()()33243P X C ===;5505121(5)()()33243P X C ===．随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】 古典概率;随机变量的分布列与期望 【难度】 317．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：FA BC ⊥;（Ⅱ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值;（Ⅲ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段,FD AD 上的点（都不与点D 重合）.若直线FD平面MNH ，求MH 的长.【答案】见解析【解析】 证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF平面ABCD AB =，所以FA ⊥平面ABCD ， 由于BC ⊂平面ABCD ， 所以FA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，ADHCBEFMN ADH CBEN M所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-， 设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ， 因为(1,2,0)BD =-，所以1sin cos ,3BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅n n n . 所以直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值为15． (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系Axyz 中，(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设01DMk k DF， 即DMkDF .,0,DMk k ，则(1,0,)M k k ，1(,1,)2MHkk ，(1,0,1)FD .若FD平面MNH ，则FDMH .即0FD MH .102kk ，解得14k. 则11(,1,)44MH，324MH . 【考点】立体几何综合 【难度】 318．（本小题满分13分）已知点M 为椭圆22:3412C x y +=的右顶点，点,A B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标;（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点？若是，求出定点坐标;若否，说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b 1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-．（Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m =2248(43)0k m .所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++， 化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-． 4m k =代入判别式大于零中，解得1122k. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去． 故直线AB 过定点(4,0)-． 【考点】 圆锥曲线综合 【难度】 419.（本小题满分14分）已知函数2()()e xf x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若在区间1,2上存在不相等的实数,m n ，使()()f m f n 成立，求a 的取值范围;（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-.当(,2)x ∈-∞-时，f '(x)＞0，f (x)单调递增;当(2,0)x ∈-时，f '(x)＜0，f (x)单调递减;当(0,)x ∈+∞时，f '(x)＞0，f (x)单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()x f x x a =-在1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a ，(2)8g a .因为函数()g x 在1,2上为增函数， 当(1)30(2)80g a g a ，即当38a 时，函数()g x 在1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x 时，()0g x <，即()0f x ，()f x 为减函数; 当0(,2)x x 时，()0g x >，即()0f x ，()f x 为增函数，满足在1,2上不为单调函数. 当3a 时，(1)0g ，(2)0g ，所以在1,2上()g x 0成立（因()g x 在1,2上为增函数），所以在1,2上()0f x '>成立，即()f x 在1,2上为增函数，不合题意.同理8a时，可判断()f x 在1,2上为减函数，不合题意. 综上38a. (Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x 有两个不同的零点，即方程220x x a 的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=-此时122x x +=-，12x x a =-.随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()x x f x f x x a x a =-⨯-12222221212=e [()]x x x x a x x a +-++{}122222121212=e [()2]x x x x a x x x x a +-+-+222=e [(42]a a a a --++）2=4e .a --因为1a >-，所以224e 4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．【考点】 导数的综合应用【难度】 420.（本小题满分13分）已知数列n n a a a A ,,,:21 2,n n N 是正整数n ,,3,2,1 的一个全排列.若对每个{}2,3,,∈k n ，都有12--=k k a a 或3，则称n A 为H 数列．（Ⅰ）写出满足55=a 的所有H 数列5A ;（Ⅱ）写出一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 的通项公式;（Ⅲ）在H 数列2015A 中，记5(1,2,,403)k k b a k ==.若数列{}k b 是公差为d 的等差数列，求证：5d =或5-． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5;与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1 =k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1 =k ） （Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =. 由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-． 所以5d =或5-.【考点】 数列综合【难度】 5。