2018年九年级中考数学
《解直角三角形实际问题》专项复习试卷及解析
1.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan α=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰
角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
2.如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，
交BA延长线于G，且DF⊥BC．
（1）求证：BA=BC；
（2）若AG=2，cos B=0.6，求DE的长．
3.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查.如图，一测量船在A 岛测得B岛在北偏西30°方向,C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛,在B岛测得C 岛在北偏东45°,求B，C两岛及A，C两岛的距离.(结果保留到整数,≈1.41,≈2.45)
4.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）
5.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C
点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为多少？
6.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶
端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
7.如图，已知在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AC边的中点,BC=14,AD=12,sinB=0.8.
（1）求线段CD的长；（2）求tan∠EDC的值.
8.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障
碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
9.如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为
60°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度为i=1:，
AB=10米，AE=15米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
10.某型号飞机的机翼形状如图,AB∥CD,∠DAE=37º,∠CBE=45º，CD=1.3m,AB、CD之间的距离为5.1m.求AD、AB的长．（参考数据：，，）
11.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°, tan B=3
4
，AC=18，求BC、AB的长.
C
B A
12.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠
A=45°，AC=，试求CD的长.
13.如图,在△ABC中，AB=AC,以AC边为直径作⊙O交BC边于点D,过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE=1.5,且sin∠CFD=0.6,求⊙O的半径与线段AE的长.
14.如图是我市投入使用的“大鼻子”校车，其安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级
数学活动小组设计了如下检测公路上行驶汽车速度的实验，先在笔直的车道l旁边选取一点A，再在l上确定点B，使AB⊥l，测得AB的长为30米，又在l上选取点C，D，使∠CAB=30°，∠DAB=60°，如图所示．
（1）求CD的长；（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
（2）已知本路段对校车的限速为40千米/时，若测得某校车从点C到点D用时3秒，则这辆校车是否超速？并说明理由．
参考答案
1.解：∵在直角三角形ABC中，=tan α=，∴BC=
∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50即：BD=2AB
∵BD﹣BC=CD=200∴2AB﹣AB=200解得：AB=300米，答：小山岗的高度为300米．
2.（1）证明：连结OD，如图，∵DF为切线，∴OD⊥DF，
∵DF⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ODA=∠C，
而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠C，∴BA=BC；
（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，
∵OD∥BC，∴∠B=∠DOG，∴cos∠DOG=cos B=0.6，
在Rt△ODG中，∵cos∠DOG=，即=，∴r=3，
在Rt△ODH中，∵cos∠DOH==，∴OH=，∴AH=3﹣=，
在Rt△ADH中，AD==，
∵∠DEC=∠C，∴DE=DC，而OA=OB，OD∥BC，∴AD=CD，∴DE=AD=．
3.解：由题意知∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=100海里，过B点作BD⊥AC
于点D，
∵∠BAC=45°，∴△BAD为等腰直角三角形，∴BD=AD=50，∠ABD=45°，
∴∠CBD=180°-30°-45°-45°=60°，∴∠C=30°，
∴在Rt△BCD中，BC=100≈141(海里)，CD=50，
∴AC=AD＋CD=50＋50≈193(海里)
4.解：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，
∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．
答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．
5.GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=10米，DF=AF•tan30º=10×=10米，CD=A B-D F=30-10=20米。答：略
6.
7.略
8.解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，
在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．
在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），
∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为
52.7m．
9.解：（1）∵tan∠BAH=i=，∴∠BAH=300，又∵AB=10，∴AH=5（米），BH=5（米）
（2）过B作BF⊥CE于F 在Rt△BFC中，∠CBF=450，BF=15+5，∴CF=15+5∴CE=20+5
在Rt△AED中，∠DAE=600，AE=15，∴DE=15
∴CD=20+5-15=20-10 2.7（米）
答：广告牌CD的高度为2.7米.
10.解：作AH⊥CD于H，作CF⊥AB于F.在Rt△AHD中，∠ADH＝37º，
由，得（m）
由，得
在Rt△BCF中，∠CBF＝45º，所以BF=CF=5.1，因为AB+BF=HD+DC，所以AB=6.8+1.3-5.1=3（m）
11.
12.解：∠2=∠1=∠A=45°，∠3=60°，BC=AC=，作BH⊥FC于点H，则BH=CH=BC=12，
Rt△BDH中，DH=BH÷tan∠3=12÷=4，∴ CD=C H-D H=12-4
13.解：
（1）证明：如图2所示，连结，
∵，∴.
∵，∴.∴，∴∥.
∵，∴.∴是⊙的切线.
（2）在和中，∵，∴ .
设，则.∴，.
∵，∴.∴，解得=，
∴⊙的半径长为，=.
九年级中考数学《解直角三角形实际问题》专项复习试卷及解析14.
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2018年九年级数学中考专题复习--解直角三角形实际问题 培优练习卷 1.如图,在△ABC中,∠C=60°,AC=2,BC=3.求tanB的值． 2.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的 俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数） （参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93） 3.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B=cos ∠DAC． (1)求证；AC=BD；(2)若sin C=，BC=12，求AD的长．
4.如图，长方形广告牌加载楼房顶部，已知CD=2m，经测量得到∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH的长.(参考数据：tan37°≈0.75，,1.732，结果精确到0.1m) 5.某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度，他们选取了地面上一点E，测得DE的长度为 8.65米，并以建筑物CD的顶端点C为观测点，测得点A的仰角为45°，点B的俯角为37°，点E的俯角为30°． （1）求建筑物CD的高度； （2）求建筑物AB的高度． （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.6，tan37°≈0.75）
6.如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗 户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光． （1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号） （2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算） 7.如图,天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米,小军和小明同时分别从A处和 B处向山顶C匀速行走.已知山的西端的坡角是45°,东端的坡角是30°,小军的行走速度为 米/秒.若小明与小军同时到达山顶C处,则小明的行走速度是多少？
中考指导：解直角三角形的实际应用是中考数学必考的内容之一，解直角三角形的实际应用是将实际生活中的问题转化为数学模型，通过构建直角三角形，利用勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的边角关系来解决问题。解直角三角形的应用可解决的问题有： 1.测量物体的高度； 2.测量河的宽度； 3.解决航海航空问题； 4.解决坡度问题； 5.解决实际生活中其它问题. 解直角三角形的实际应用题在中考数学试题中所占的分值大约在8-10分. 典型例题解析 【例1】（河南省商丘市柘城县2018年中考数学一模）如图，山顶建有一座铁塔，塔高BC=80米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C点的仰角为60°．已测得小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米．求山的高度AB（精确到1米）．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732） 【答案】山高AB约为129米．
点睛：本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 【例2】（四川省青神县2017届九年级教学质量监测）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向东南方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？ 【答案】即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了 106 102+ 3 海里． 试题解析： 过B作BD⊥AC，
∵∠BAC=75°﹣30°=45°， ∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°， 由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里）， 在△ABC中, ∠BAC=45°，∠ABC=75°，可得∠C=60° ∴在Rt△CBD中， ∴tan∠BCD =，即tan60°=，即CD= 则AC=AD+DC=10+ 答：即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了10+海里．#网 【例3】（广东省梅州市梅江区实验中学2017届九年级下学期第一次月考）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（结果都保留根号） （1）求点P到海岸线l的距离； （2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点
2018年九年级中考数学 《解直角三角形实际问题》专项复习试卷及解析 1.如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan α=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰 角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）． 2.如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F， 交BA延长线于G，且DF⊥BC． （1）求证：BA=BC； （2）若AG=2，cos B=0.6，求DE的长． 3.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查.如图，一测量船在A 岛测得B岛在北偏西30°方向,C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B岛,在B岛测得C 岛在北偏东45°,求B，C两岛及A，C两岛的距离.(结果保留到整数,≈1.41,≈2.45)
4.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF； （2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米） 5.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为多少？ 6.如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶 端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）
解直角三角形实际问题专题复习 1.为测山高，在点A处测得山顶D的仰角为30°，从点A向山的方向前进140米到达点B，在B处测得山 顶D的仰角为60°（如图①）. （1）在所给的图②中尺规作图：过点D作DC⊥AB，交AB的延长线于点C（保留作图痕迹）； （2）山高DC是多少（结果保留根号形式）？ 2.如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度.如果这时气球的高度CD为90米.且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离. 3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向.求该船航行的速度.
4.某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的 南偏西60 1.414， 1.732） 5.如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪 DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米） 【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】 6.高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15° 方向距离125米的C点处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶.试问:消防车是否需要改道行驶?说明理由. 。取1.732)
解直角三角形 应用题 专项练习 一、计算题 1、如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路，已知点周围200米范围内为原始森林保护区，在上的点处测得在的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达处，测得在点的北偏西60°方向上． （1）是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：） （2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？ 2、小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格 宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75） 3、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米． 试求旗杆BC的高度．
4、又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”． 下面是两位同学的一段对话： 甲：我站在此处看塔顶仰角为 乙：我站在此处看塔顶仰角为 甲：我们的身高都是1.5m 乙：我们相距20m 请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）． 5、如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°． （1）求B，D之间的距离； （2）求C，D之间的距离． 6、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）
中考数学复习专题练习解直角三角形 一、选择题： 1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（） A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA= 3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( ) A．2 B． C． D． 4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( ) A. B. C. D. 5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（） A． B． C． D． 6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（） A. B．2 C．1 D．2 7、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( ) A. B. C. D. 8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）
A.10m B.m C.15m D．m 9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( ) A.4米 B.6米 C.12米 D.24米 10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( ) A. B.－1 C．2－ D. 11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( ) A. B. C. D. 12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（） A． B． C． D． 二、填空题: 13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________． 14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．
中考数学一轮复习《解直角三角形及其实际应用》练习题（含 答案） (建议答题时间：45分钟) 1. (2017天津)cos60°的值等于() A. 3 B. 1 C. 2 2 D. 1 2 2. (2017聊城)在Rt△ABC中，cosA＝1 2，那么sinA的值是() A. 2 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 1 2 3. (2017兰州)如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于() A. 5 13 B. 12 13 C. 5 12 D. 13 12第3题图第4题图 4. (2017河北)如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域．甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能 ．．是() A. 北偏东55° B. 北偏西55° C. 北偏东35° D. 北偏西35° 5. (2017宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D，下列四个选项中，错误 ．．的是() A. sinα＝cosα B. tan C＝2 C. sinβ＝cosβ D. tanα＝1 第5题图第6题图
6. (2017益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα 7. (2017百色)如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是()米/秒 A. 20(3＋1) B. 20(3－1) C. 200 D. 300 第7题图第8题图 8. (2017深圳)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是() A. 20 3 m B. 30 m C. 30 3 m D. 40 m 9. (2017重庆育才三模)小强到某水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处(点A与大树及其影子在同一平面内)，此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，己知斜坡AB的坡度i＝3∶1，若大坝的高为12 3 米，则大树CD的高约为()米(结果精确到1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47） 2．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB ＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动． （1）当∠CDE＝60°时， ①求点C到直线DE的距离；（计算结果保留根号） ②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）； （2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2．sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
3．美丽的徒骇河穿城而过，成为市民休闲娱乐的风景带．某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量徒骇河某段河的宽CD．如图所示，小组成员选取的点A，B是桥上的两点，点A，E，C在河岸的同一直线上，且AB⊥AC．若，AE间的距离80米，在B点处测得BD与平行于AC的直线间的夹角为30°，在点E处测得ED与直线AC之间的夹角为60°，求这段河的宽度CD．（结果保留根号） 4．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD 平行且相距1.2m，即DH＝1.2m． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离． （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
中考数学复习《解直角三角形的实际应用》真题练习（含答案） （2017湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离； ②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ． 【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米． ②设BC ⊥HQ 于C ． 在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ = tan 30BC =1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米， ∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米． 答：这架无人机的长度AB 为5米．.
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． （2017内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角0 30=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角0 60=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7. 求（1）单摆的长度（7.13≈）； （2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）. 【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm （2）从点A 摆动到点B 经过的路径长为29.295cm
则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=1 2 x， 在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ= 3 2 x， 由PQ=OQ﹣OP 3 ﹣ 1 2 x=7， 解得：x3（cm），. 答：单摆的长度约为18.9cm； （2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°， 则从点A摆动到点B 907+73 π⨯（） ≈29.295， 答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm． 考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹. （2017湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体
2022年中考数学一轮复习专题61 解直角三角形及其应用（附答案） 一、单选题 1.（2021·泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1： 2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：√3≈1.732）（） A. 136.6米 B. 86.7米 C. 186.7米 D. 86.6米 2.（2021九下·庆云月考）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为（）米 A. 4√3 B. 6√5 C. 12√5 D. 24 3.（2021·成华模拟）如图，D为Rt △ABC的AC边上一点，∠DBC＝∠A，AC＝4，cosA＝4 5 ，则BD＝（） A. 15 4B. 12 5 C. 9 4 D. 4 4.（2021·章丘模拟）保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD=20米，沿坡度i=0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A.18.3米 B.19.3米 C.20米 D.21.2米 5.（2021·湖北模拟）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD 长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（） A. 6米 B. 6√2米 C. 4米 D. 4√2米 6.（2021·曾都模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为30m，则这栋楼的高度为（） A. 40√2m B. 30√2m C. 40√3m D. 30√3m 二、填空题 7.（2021·武汉）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是n mile（√3≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）.
2023年中考数学一轮专题练习 ——解直角三角形的实际应 用（解答题部分） 一、解答题（本大题共16小题） 1. （湖北省恩施州2022年）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A 处测得古亭B 位于北偏东60°，他们向南走50m 到达D 点，测得古亭B 位于北偏东45°， 求古亭与古柳之间的距离AB 1.41≈ 1.73≈，结果精确到1m ）． 2. （湖南省湘潭市2022年）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618DH AH ≈）：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20cm AB AC ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数 1.732≈） 3. （湖南省怀化市2022年）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说 明． ，≈1.41）
4. （湖南省邵阳市2022年）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60︒方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏 东45︒方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行 是否安全？并说明理由．（提示： ≈） 1.414 ≈， 1.732 5. （湖南省郴州市2022年）如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD=，背水坡BC i=．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员 的坡度为11:1 i=A与原起点B之间的距离．（参 准备把背水坡的坡度改为 2 ≈．结果精确到0.1m） ≈ 1.73 1.41 6. （天津市2022年）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42︒，测得塔底B的仰角为35︒．已知通讯 塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据： ，． ︒≈︒≈ tan350.70tan420.90
2023年春九年级数学中考复习《解直角三角形的应用—实际问题应用类型解答题》 专题训练（附答案） 一．选择题 1．图1是济南动物园的一个大型娱乐设施﹣﹣摩天轮，它是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱，乘客坐在摩天轮慢慢的往上转，可以从高处俯瞰泉城景色．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，AB是摩天轮垂直地面的直径，小嘉从摩天轮最低处B下来先沿水平方向向右行走20m到达C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝0.75，坡长为10m的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40m到达点E（A、B、C、D、E均在同一平面内），在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，则AB的高度约为（）米．（参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） A．24.6B．22.7C．27.5D．28.8 2．5G时代，万物互联．互联网、大数据人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC的平台CD上，已知山坡BC的坡度为1：2.4．身高1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°，向前步行6米到达B处，再沿斜坡BC步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是50°，若A、B、C、D、M、N在同一平面内，且A、B和C、D、N分别在同一水平线上，则发射塔MN的高度约为（） （结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20） A．17.3米B．18.9米C．65.0米D．66.6米
2023年春九年级数学中考复习《解直角三角形的应用综合解答题》专题训练（附答案）1．如图1，浮式起重机是海上打捞、救援的重要设备，某数学研究小组需要计算如图2所示浮式起重机悬索AC的长，他们测量了如下数据，∠A＝30°，∠ABC＝105°，AB＝60m，请你帮助他们求出悬索AC的长（结果保留根号）． 2．台灯是人们学习工作中常用的一种电器，图2是放置在水平桌面上的台灯（图1）的平面示意图（底座高度忽略不计）已知灯臂BC＝42cm，BA＝39cm，它们的夹角∠ABC＝90°，灯臂BC与水平桌面的夹角∠BCD＝72°，由光源A射出的光线沿灯罩形成的光线AE，AF与水平桌面所形成的夹角∠AEF，∠AFE分别为72°和45°，求该台灯照亮桌面EF的长度．（结果精确到0.1cm参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 3．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所夹的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E，DE＝15cm，AD＝14cm． （1）求半径OA的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36） （2）求扇形BOC的面积（π取3.14，结果精确到1cm）
4．如图1，是小明荡秋千的侧面示意图，秋千链长AB＝5m（秋千踏板视作一个点），静止时秋千位于铅垂线BC上，此时秋千踏板A到地面的距离为0.5m． （1）当摆角为37°时，求秋千踏板A与地面的距离AH； （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） （2）如图2，当秋千踏板摆动到点D时，点D到BC的距离DE＝4m；当他从D处摆动到D'处时，恰好D'B⊥DB，求点D'到BC的距离． 5．如图是小莉在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成37°角，线段AA1表示小红身高1.5米．当她从点A跑动4米到达点B处时，风筝线与水平线构成60°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF为8米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D （保留一位小数）． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 6．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景．图②是小明锻炼时上半身由EM 位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图．已知AB＝1.30米，AD＝0.24米，α＝18°（1）求CB的长（精确到0.01米）； （2）若测得EN＝0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度（结果保留π） （参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题 一、单选题 1．（2022·北京石景山·一模）如图，△ABC 中，AC =D ，E 分别为CB ，AB 上的点，1CD =，2AD BD ==，若AE EB =，则DE 的长为（ ） A B ．2 C D ．1 2．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2BC AB =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P 、Q 运动时，BPQ 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是（ ） A ． B ． C ．6 D ．12 3．（2022·北京房山·一模）将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB 的长是( ) A B ．C ．4cm D 4．（2022·北京·清华附中一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB 等于（ ）
A．3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 5．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（） A．3 4 B． 3 5 C． 4 5 D． 5 3 6．（2020·北京昌平·二模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK 与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（） A．B． C．D． 7．（2020·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（）
2020年九年级数学中考二轮专项——解直角三角形的实际应用 1. (2019都江堰区一诊)如图是云梯升降车示意图，其点A位置固定，AC可伸缩且可绕点A转动，已知点A距离地面BD的高度AH为3.4米．当AC长度为9米，张角∠HAC为119°时，求云梯升降车最高点C距离地面的高度．(结果保留一位小数，参考数据：sin29°≈0.49，cos29°≈0.88，tan29°≈0.55) 第1题图 2. (2019邛崃二诊)某市开展一项全民健身跑步运动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向上，在C地北偏西45°方向上，C地在A地北偏东75°方向上，且BC＝CD＝10 km，问：沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(结果保留1位小数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.4，3≈1.7) 第2题图 3. 如图，为求出河对岸两棵树A、B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12 m到达点D，测得∠CDB＝90°.取CD的中点E，测得∠AEC＝56°，∠BED＝67°，求河对岸两树间的距离．(结果取整数，参考数据：sin56°≈0.83，tan56°≈1.48，sin67°≈0.92，tan67°≈2.36) 第3题图
4. 如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像AB高度，已知山坡面与水平面的夹角为30°，山高BC为285米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米后到达E点，在点E处测得雕像顶端A 的仰角为60°，求雕像AB的高度． 第4题图 5. (2019锦江区二诊)成都市第十三次党代会提出实施“东进”战略，推动了城市发展格局“千年之变”，成都龙泉山城市森林公园借“东进”之风，聚全市之力，着力打造一个令世界向往的城市绿心．下图为成都市龙泉山城市森林公园三个景点A，B，C的平面示意图，景点C在B的正北方向5千米处，景点A在B的东北方向，在C的北偏东75°方向上． (1)求∠BAC的大小； (2)求景点A，C的距离．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，结果精确到0.1) 第5题图
中考数学真题专项汇编解析—解直角三角形 一．选择题 1．（2022·天津）tan 45︒的值等于（ ） A ．2 B ．1 C D 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C =90°，∠A =45°，如图： ∠∠B =90°-45°=45°， ∠∠ABC 是等腰三角形，AC =BC ， ∠根据正切定义，tan 1BC A AC ∠= =， ∠∠A =45°，∠tan 451︒=，故选 B ． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． 2 ．（2022·四川乐山）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1 tan 2 A ∠=，1tan 3 ABD ∠=，则CD 的长为（ ）
A ．B ．3 C D ．2 【答案】C 【分析】先根据锐角三角函数值求出 AC =5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32 BE AE =，再 由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD CD ． 【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC ∠1 tan 2 BC A AC ∠= =∠2AC BC == 由勾股定理得,5AB == 过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图， ∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，∠ 11 ,,23DE DE AE BE == ∠11,,2 3 DE AE DE BE == ∠112 3 AE BE = ∠32 BE AE = ∠5,AE BE += ∠352 AE AE += ∠2,AE = ∠1DE =, 在 Rt ADE ∆中,222 AD AE DE =+ ∠AD ∠AD CD AC +== ∠CD AC AD =-=故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出