第二章弹性力学基础
弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。
弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。
材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。
弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。
结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。
第一节弹性力学假设
在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。
1. 假设物体是线弹性的
假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。
由材料力学已知：
脆性材料的物体：在应力≤比例极限以前，可作为近似的完全弹性体；
韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。
这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。
2. 假设物体是连续性的
假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，
都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。
3. 假设物体是均匀性、各向同性的
整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。
各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。
对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。
弹性常数？
凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。
4. 假设物体的位移和应变是微小的
假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。
因此
①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。
②在研究物体的应变和位移时，其二次幂或乘积，可略去不计。
按照以上四个基本假设研究物体中的应力、应变和位移问题的弹性力学，称为线性弹性力学。
第二节 外力、应力、应变和位移的符
号和记号
介绍弹性力学中常用的基本概念：外力、应力、应变和位移。
一、 外力
作用在物体上的外力，可分为两类：体积力和表面力。
1. 体积力（简称体力）
体积力分布在物体体积内部的力。
例如重力和惯性力。
注：
① 在物体内部各点的体积力是不相同的；
② 任一点P 处的单位体积内所作用的体积力，沿着直角 坐标轴x,y,z 三个方向的投影X,Y,Z ，称为该物体在P 点的体积力分量。
体积力只与质量成正比，为位置坐标的函数。一般表示为
T
v Q X Y Z ⎡⎤⎣⎦=
规定：体积力分量X,Y,Z 以坐标轴的正方向为正。 量纲：[力]/[长度]3
2. 表面力（简称面力）
作用在物体表面上的外力。
例如：压力容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、
物体与物体之间接触压力及摩擦力等等。
注：
① 物体在其表面各点的表面力是不相同的；
② 在物体表面上任一点P 处的单位表面上的表面力，沿 着直角坐标轴x,y,z 三个方向的投影X ,Y ,Z ，称为该物体在P 点的表面力分量。
通常情况下，表面力是位置坐标的函数。一般用下式来表示
T s Q X Y Z ⎡⎤⎣
⎦= 规定：X ,Y ,Z 以坐标轴的正方向为正（弹性力学的规
定）。 量纲：[力]/[长度]2
二、应力(stress)
弹性体在外力作用下，其内部将要产生应力。
某一点P 处的应力状态：取PA=dx ，PB=dy ，PC=dz 的一个无穷小的正六面体，如图2-1所示。
将一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。即每个面上的应力都可用三个应力分量来表示。
图2-1 直角坐标系下的应力分量
正应力(normal stress)：用σ表示。角标表示正应力的作用面和作用方向。例如σx是作用在垂直x轴的面上，同时沿x轴方向的正应力。
剪应力(shear stress)：用τ表示，加上两个角标。第一个角标表示作用面垂直哪一个坐标轴，第二个角标表示作用方向沿哪一个坐标轴。例如τxy是作用在垂直x轴的面上、而
沿y轴方向的剪应力。
应力分量的符号规定
（1）当某一截面的外法线与坐标轴正方向相同，称为正面 （如上面、右面和前面）。正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。
（2）当某一截面的外法线与坐标轴负方向相同，称为负面（如下面、左面和后面）。负面上的应力分量以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。
注意：
（1）图中所示的应力分量全部为正（黑色为正面应力，红色为负面应力）；
（2）对于正应力，其符号规定与材料力学中的规定相同（拉应力为正，压应力为负）；
（3）对于剪应力，其符号规定与材料力学中的规定不完全相同；
（4）六个剪应力存在互等关系，即：
,,xy yx yz zy zx xz ττττττ===
（5）可以证明：如果x σ，y σ，z σ，xy τ，yz τ，zx τ这六个量在P 点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。
一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而
是坐标x 、y 、z 的函数。
六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：
{}x y T z x y z xy yz zx xy yz zx σσσσσσσττττττ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
（6）应力分量的量纲：[力]/[长度]2
。
三、应变 (strain)
物体受外力作用之后，要发生形状的改变
长度的改变----正应变
角度的改变----剪应变
1. 正应变
线段的单位长度的伸缩，用ε来表示。 例如x ε---x 方向的线段PA 的正应变
规定：以伸长为正，缩短为负。
2. 剪应变
各线段之间的直角改变量，以弧度来表示。符号为γ。例 如yz γ---y 与z 两方向(即PB 与PC)的线段之间的直角改变。 规定：以直角变小为正，变大时为负。
注：
物体内任一点的应变有六个分量：
,,,,,x y z xy yz zx εεεγγγ
一般说来，弹性体内各点的应变都不相同，。因此，描述弹性体内应变的上述六个应变分量并不是常量，而是坐标x 、y 、z 的函数。
六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：
{}x y T z x y z xy yz zx xy yz zx εεεεεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
是无量纲的物理量。
四、位移 (displacement)
---- 位置的移动。
物体内任意一点的位移用它在x,y,z 三个坐标轴上的投影u 、v 、w 表示---位移分量。
规定：以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。
量纲： [长度]
第三节弹性力学中的两种平面问题任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系。严格来说，任何一个实际的弹性力学都是三维空间问题。但是，如果所研究的弹性体具有某种特殊的几何形状，并且承受是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。这样的处理，分析和计算的工作量减少，而计算结果仍满足工程上对精度的要求。
一、平面应力问题（plane stress）
1. 特点
（1）几何形状上---等厚度的平面薄板（其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板）；
（2）受力状态上---只在板边上受有平行于板面、并且不沿厚度变化的表面力和体积力。
例：深梁（短而高）
2. 应力
设薄板的厚度为t 。以薄板的中面为xy 面，垂直于中面的任意直线为z 轴。
图 2.2
因为在Z=2
t
±处的两个外表面上不受任何载荷。所以，在
Z=2
t
±处有: 0z yz zx σττ===。
另外，由于z 方向的尺寸很小，外力又不沿厚度变化，则可以认为在整个薄版的所有各点都有
0z yz zx σττ===
又由剪应力互等关系，有
0zy xz ττ==
而其余的三个应力分量,,x y xy σστ---平行于xy 面，都是x,y 的函数，与z 无关。
3．应变与位移
与三个应力分量,,x y xy σστ对应的独立应变分量
,,x y xy εεγ
独立的位移分量
u ，v
它们也都是x,y 的函数，与z 无关。
注：另外，薄板在z 方向可以任意变形，故沿z 方向的应变分量z ε和位移w 并不为零。即 0z σ= ，而 0z ε≠
二、平面应变问题（plane strain）
1. 特点
（1）几何形状上---是一个近似等截面的长柱体，其长度比横截面的尺寸大的很多；
（2）受力状态上---只受有平行于横截面、且沿纵向长度均匀分布的面力和体力。
例：重力水坝、隧道和挡土墙
2.变形情况
设长柱体的任一横截面为xy面，任意纵线（沿长度方向）为z轴。
图2.3
则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z 方向变化，而只是x和y函数。此外，在这一情况下，由于任一横截面都可以作为是对称面，所有各点都只会有x和y 方向的移动，而不会有z方向的位移，即w=0，由此得
0z ε=
又因各薄板的两侧面仍为平面，故与z 方向有关的两个剪应变
0yz zx γγ== 由对称条件得 0y z z x
ττ
==
根据剪应力互等的关系，有 0zy xz ττ==
独立的应变分量 ,,x y xy εεγ----平行于xy 面， 独立的应力分量 ,,x y xy σστ， 独立的位移分量 u ，v 。 它们都是x,y 的函数，与z 无关。 注：
（1）长由于Z 方向上的变形被阻止了。所以，0z ε=，而0z σ≠。
（2）许多工程问题，例如隧道、挡土墙等，并不完全符合无限长柱形体的条件。但实践证明，对于离开两端较远之处，按平面问题进行分析，其结果可满足工程上的精度要求。
第四节平面问题的平衡方程
—应力与体积力之间的关系在弹性力学里进行分析问题，要从三个方面来考虑：静力学、几何学和物理学。首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来确定平衡微分方程。
一、平衡方程 --- 应力与体积力之间的平衡关系
从薄板（或长柱体）取出一个微小的单元体，它在x和y方向的的尺寸分别为
dx 和dy
在Z方向上的尺寸为t（厚度）。
图 2.4
应力分量是位置坐标x,y 的函数，故作用在左右、上下两对面上的应力不同。 左面 ： ,
x
xy στ
右面 ：,xy x
x xy dx
dx x
x τσστ∂∂++∂∂
下面 ： ,y yx στ 上面 ：,
y yx y yx dy dy y
y
στστ∂∂+
+
∂∂
因为六面体是微小的，所以各面上的所受的应力可以认为是均与分布的，作用在各对应面的中心。
单元体所受的体积力，也是均与分布的，作用在它的体积中心。
列方程：
以x 坐标轴为投影轴，列出投影的平衡方程∑F x =0，得
yx x x x yx yx dx tdy tdy dy tdx x y tdx Xtdxdy τσσσττ∂⎛⎫∂⎛
⎫+-++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭-+=
化简以后，两边除以tdxdy ，得
0yx
x X x y
τσ∂∂++=∂∂ 同理，由∑F y =0，得
()0
y xy y y xy xy dy tdx tdx dx tdy y x tdy Ytdxdy στσσττ∂∂⎛
⎫+-++ ⎪∂∂⎝⎭
-+= 整理得：
0xy y Y x
y
τσ∂∂+
+=∂∂
即平面问题的平衡微分方程为：
00yx
x xy y
X x y
Y x y
τστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂
上式表示应力分量与体力之间的关系，称为平面问题的平衡微分方程。上式中，未知量,,x y xy yx σσττ= ，是超静定的问题，还必须考虑几何条件和物理条件。 注:
（1）由∑Mo=0，得
()22
()0
22
xy
xy xy yx yx yx dx dx
dx dy t dy t x dy dy
dy dx t dx t y ττττττ∂+⋅⋅+⋅⋅⋅
∂∂-+⋅⋅-⋅⋅⋅=∂
整理得：
1122xy yx
xy yx dx dy x y
ττττ∂∂+=+∂∂
略去无穷小量，得
xy yx ττ=
即为剪应力互等关系。
（2）对于平面应变问题，在图示的单元上，还有作用于前后两个面的正应力z σ，但由于它们自成平衡，完全不影响上面平衡方程的建立，所以上面的平衡方程对于两种平面问题都适用。
（3）对于三维问题，其平衡方程为
000yx x zx
xy y zy
yz xz z
X x y z Y x y z Z x y z
τσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂
第五节 平面问题的几何方程
—应变与位移之间的关系
现在从平面问题的几何学方面，导出应变分量与位移之间的关系，即平面问题的几何方程。 一、 位移
经过弹性体内任意一点P ，沿x 和y 轴的方向取两个微小长度的线段：PA=dx ，PB=dy 。
v dx x
∂+∂v u u dy
y
∂+∂
图 2.5
第二章 弹性力学基本理论及变分原理 弹性力学是固体力学的一个分支。它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化） 作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。 §2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理 在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。 §2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式 弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量 11 121314151622 23 24252633 34353644 454655 5666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫ ⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪ ⎩⎭⎣ ⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为 []T u u v u v w w ⎧⎫ ⎪⎪ ==⎨⎬⎪⎪⎩⎭ (2.1.2) 弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为
x y T z x y z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭ (2.1.3) 对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程 0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0yz zx z z f x y z ττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。 平衡方程的矩阵形式为 0A f σ+= （在V 内） (2.1.4) 其中A 是微分算子 00 00 0000 0x y z A y x z z y x ⎡⎤ ∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥ ⎢⎥∂ ∂∂ =⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥ ∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣ ⎦ 体积力向量T x y z f f f f ⎡⎤=⎣⎦ 2 几何方程——位移~应变关系 在小变形情况下，几何关系为 x u x ε∂=∂ y v y ε∂=∂ z w z ε∂=∂ xy yx u v y x γγ∂∂= +=∂∂ yz zy v w z y γγ∂∂=+=∂∂ zx xz u w z x γγ∂∂=+=∂∂ (2.1.5)
一、基本物理量 应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为： ??? ? ??????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量 的方向。应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。 3、应变 弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：l l l l ll ??-?=→?'lim 0ε。即正应变表示单位长度线段的伸长 或缩短。 弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。 应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分 量，得：??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。 关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。 4、外力 体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}T z y x V V f f f V =??=→?F f 0lim 。 表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}T z y x S S s s s S =??=→?F s 0lim 。 二、基本方程 1、平衡方程
弹性力学简明教程 第一章绪论 1.弹性力学：又称为弹性理论，是固体力学的一个分支，其中研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2. 作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，称做面力；另一种是分布在物体体积内的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，称为体力。 3.内力：物体本身不同部分之间相互作用的力。 4.弹性力学的基本假定：1假定物体处处连续；2假定物体是完全弹性的；3假定物体是均匀的；4假定物体是各向同性的；5假定位移和形变很小。（满足前四个为理想弹性体）第二章平面问题的基本理论 一、弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为 。 二、弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。 三、平面应力问题：（1）等厚度的薄板；（2）体力作用于体内，平行于板的中面， 沿板厚不变；（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。 四、平面应变问题：（1）很长的常截面柱体；（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。 五、挡土墙和很长的管道、隧洞问题，是很接近于平面应变问题。 六、平衡微分方程： 七、边界条件－－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。（分为位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件） 八、圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将著的改变，但远处所受的影响可以不计。 九、静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同； 十、圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 十一、圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。 十二、当体力呈常量（如重力、平衡移动时内慢性力）时，如果两个弹性体具有相同的边界形状并受到同样分布的外力，就不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是平面应力还是平面应变，应力分量ðx、ðy、τxy的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量ðz，以及形变和位移，却不一定相同）。 第三章平面问题的直角坐标解答 一、逆解法：先设定各种形式、满足相容方程的应力函数Φ；并求出应力分量；然后在根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。 二、半逆解法：就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式。并从而推出应力函数的形式。然后代入相容方程求出应力函数的具体表达式，再由应力函数求得应力分量，并考察完这些应力分量能佛满足全部应力边界条件。如果所有的条件都能满足，自然得出 ()z y x f, , ()z y x f, ,
第二章 弹性力学平面问题有限单元法 §2-1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构 造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????
式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程: 1 23i i i u x y ααα =++ 123 j j j u x y ααα=++ (a) 1 23m m m u x y ααα =++ 和 54 6i i i v x y ααα =++ 546 j j j v x y ααα=++ (b) 54 6m m m v x y ααα =++ 利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、 3α : 11A A α= 22 A A α = 33 A A α = 式中行列式: 1 i i i j j j m m m u x y A u x y u x y = 2111i i j j m m u y A u y u y = 3111i i j j m m x u A x u x u = 2111i i j j m m A x y A x y x y == A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出: 11()2m m i i j j a u a u a u A α =++ 21()2m m i i j j bu b u b u A α=++ （C ） 31()2m m i i j j c u c u c u A α= ++
弹性力学网络课程 第一章绪论 内容介绍 知识点 弹性力学的特点 弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务 弹性力学的研究方法 内容介绍： 一. 内容介绍 本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。 弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。 偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 本章介绍弹性力学分析的基本假设。弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。 课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点 1.课程的研究对象； 2.基本分析方法和特点； 3.弹性力学的基本假设； 4.课程的学习意义； 5.弹性力学的发展。 特点： 弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。 弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。 材料的应力和应变关系通常称为本构关系，它表达的是材料在外力作用下抵抗变形的物理性能，因此又称为物理关系或者物理方程。本构关系满足完全弹性假设的材料模型包括线性弹性体和非线性弹性体。 线性弹性体是指载荷作用在一定范围内，应力和应变关系可以近似为线性关系的材料，外力卸载后，线性弹性体的变形可以完全恢复。线性弹性材料的本构关系就是物理学的胡克定理。在应力小于弹性极限条件下，低碳钢等金属材料是典型的线弹性材料。 另外，一些有色金属和高分子材料等，材料在载荷作用下的应力应变关系不是线性的，但是卸载后物体的变形可以完全恢复，这种材料性质可以简化为非线性弹性本构关系。 如果从研究内容和基本任务来看，弹性力学与材料力学是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有比较大的差别。弹性力学和材料力学
第二章应力状态分析 一、内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二、重点 1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2、平衡微分方程与切应力互等定理； 3、面力边界条件； 4、应力分量的转轴公式； 5、应力状态特征方程和应力不变量； 知识点： 体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力 分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质； 截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量； 切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态 特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。 应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。 体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 学习要点： 1、体力； 2、面力。 1、体力 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示 设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
弹性力学简明教程全程导学及习题全解第三版课程设计 引言 弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变和变形后恢复原状的学科。它在材 料力学、结构力学、工程力学等领域均有重要应用。本文旨在通过提供弹性力学简明教程的全程导学及习题全解来帮助学生学习和掌握弹性力学的基础知识。 教材介绍 本文所提供的教材为《弹性力学简明教程》（第三版），作者为盛卫民教授。 该教材涵盖了弹性力学的基础理论、方法和应用，并通过大量的例题和习题帮助读者掌握理论知识。 课程设计 第一章弹性力学基础 第一章主要介绍弹性力学的基本概念和基础公式，包括应力、应变、弹性模量、泊松比等。学生需掌握应力、应变概念的定义和计算方法，理解弹性模量、泊松比的物理意义和计算方法。讲解应弹性材料的线弹性和非线弹性。 第二章弹性力学理论 第二章主要介绍静力学平衡方程和应变能原理，帮助学生理解弹性力学的理论 基础和计算方法。讲解各种计算方法和弹性力学理论在结构工程中的应用。 第三章弹性力学的基本问题 第三章主要介绍弹性体在不同约束条件下的应力、应变和位移的计算，并通过 典型例题帮助学生掌握弹性力学的基本方法和技巧。讲解各种问题的纵横波、功率分解方法以及三维应力状态下的问题解决。
第四章弹性力学的复合材料 第四章主要讲解弹性力学的各种复合材料的计算问题。强调了复合材料弹性力学的复杂性和未来发展的方向，介绍复合材料力学的基础理论和应用。 第五章弹性力学的可视化技术 第五章主要讲解弹性力学的计算方法与可视化技术的结合和应用。讲解有限元分析和相关软件的使用以及可视化技术与弹性力学的结合。 习题全解 本教材提供了大量的习题，每章后面都附有习题及解答。这些习题既包括基础知识的应用，也包括理论问题的探讨和应用实例的分析。通过做这些习题，学生可以进一步巩固弹性力学的基础知识，掌握解决实际问题的方法。 总结 弹性力学是一门重要的力学学科。本文介绍了一本适合初学者学习的《弹性力学简明教程》第三版，并通过全程导学及习题全解的方式帮助学生掌握弹性力学的基本理论和方法。本教材的重点在于旨在帮助学生发现弹性力学的应用和魅力，同时也能为大家提供一些思路和方法，使学生在解决工程问题时更加得心应手。
第一章 1、弹性力学的任务是什么 弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。 2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？ (1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。 (2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同， 因此，物体各部分的物理性质是相同的。这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材不是各向同性的。 (3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 (4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。在研究物体受力后的平衡状态时， 可以不考虑物体尺寸的改变。在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此， 在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。 (5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有 关。若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。 3、举例说明各向同性的物体和各向异性的物体。 钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材是各异性的。 4、弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么区别？ P3 弹性力学具体的研究对象主要为梁、校、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受 力体。 在材料力学课程中，基本上只研究所谓杆状构件，也就是长度远大干高度和觅度的构 件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内 容。
弹性力学(徐芝纶)第二章习题答案徐芝纶的弹性力学是一本经典的力学教材，对于弹性力学的基本理论和应用进行了详细的阐述。下面是第二章习题的答案： 1.弹性体的应变能是什么？ 答：弹性体的应变能是指在受力作用下，弹性体发生形变时，由于形变所引起的能量变化。弹性体的应变能可以用弹性体的体积弹性势能和表面弹性势能之和来表示。 2.弹性体的变形有哪几种形式？ 答：弹性体的变形可以分为三种形式：拉伸变形、剪切变形和体积变形。拉伸变形是指弹性体在受到拉力作用时，发生的长度增加或减少的变形。剪切变形是指弹性体在受到剪切力作用时，发生平行于剪切力方向的形变。体积变形是指弹性体在受到外力作用时，发生体积的变化。 3.什么是应力？ 答：应力是指单位面积上的力的大小，表示为力对单位面积的分布情况。应力可以分为法向应力和切向应力两种。法向应力是指垂直于应力面的力对单位面积的分布情况，切向应力是指与应力面平行的力对单位面积的分布情况。 4.什么是应变？ 答：应变是指单位长度上的形变大小，表示为长度变化量与原始长度之比。应变可以分为线性应变和切变应变两种。线性应变是指弹性体在受力作用下，发生长度变化的形变，切变应变是指弹性体在受力作用下，发生形状变化的形变。 5.弹性体的应力-应变关系是什么？ 答：弹性体的应力-应变关系是指弹性体在受力作用下，应力和应变之间的函数关系。一般情况下，弹性体的应力-应变关系可以用胡克定律来描述，即应力和应变成正比。胡克定律可以表示为应力等于弹性模量乘以应变。 6.什么是杨氏模量？
答：杨氏模量是描述弹性体材料抵抗拉伸变形的能力的物理量，用于衡量弹性体在单位应变下所受到的单位应力。杨氏模量可以表示为应力对应变的比值，即杨氏模量等于应力除以应变。 7.什么是剪切模量？ 答：剪切模量是描述弹性体材料抵抗剪切变形的能力的物理量，用于衡量弹性体在单位切变应力下所受到的单位切变应变。剪切模量可以表示为切应力对切应变的比值，即剪切模量等于切应力除以切应变。 8.什么是泊松比？ 答：泊松比是描述弹性体材料在拉伸变形时，横向收缩程度的物理量，用于衡量弹性体在单位纵向应力下所受到的单位横向应变。泊松比可以表示为横向应变与纵向应变的比值，即泊松比等于横向应变除以纵向应变。 9.弹性体的体积弹性模量和剪切模量之间有什么关系？ 答：弹性体的体积弹性模量和剪切模量之间有一个简单的关系，即体积弹性模量等于剪切模量的三倍。这个关系可以用数学公式表示为K=3G，其中K为体积弹性模量，G为剪切模量。 10.弹性体的体积弹性模量和杨氏模量之间有什么关系？ 答：弹性体的体积弹性模量和杨氏模量之间有一个简单的关系，即体积弹性模量等于杨氏模量的三倍。这个关系可以用数学公式表示为K=3E，其中K为体积弹性模量，E为杨氏模量。
第二章 弹性力学的基本原理 §2.1 应力分析 2.1.1应力与应力张量 应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0 存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。 考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有 j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=3 1j j ij e σ。这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。由此得到 九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量： ⎪ ⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。 2.1.2 柯西(Cauchy)方程 记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α ),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。 设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为 ⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即 j n j n T e T )()(= (2.4) 另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。 考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为 ()031 3)3(2)2(1)1()(=⋅⋅+⋅+⋅+⋅-⋅h S S S S S n f T T T T (2.5) 其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ⋅3 1 为此微元的体积。当
1 / 1 第一章 绪论 弹性力学基本假设： 1、连续性假设 指组成物体的介质充满了物体所占的空间，物体中不存在任何间隙。 2、均匀性假设 物体内的每一点都具有相同的力学性质 3、各向同性假设。 指物体内一点的各个方向上的力学性质相同。 4、完全弹性假设 指物体在载荷作用下发生变形，当这些荷载拆除以后物体能完全恢复到原来的形状和大小，而没有任何残余变形。 5、小变形假设 假定物体内各点在载荷作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1。 6、无初应力假设 假定物体的初始状态为自然状态，即载荷作用以前物体内没有应力。 第二章 弹性力学的基本方程 平衡微分方程： 000yx x zx x xy y zy y yz xz z z F x y z F x y z F x y z τσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂ 边界条件： ()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 斜面应力公式（Cauchy 公式）： x x xy zx y xy y zy z xz yz z T l m n T l m n T l m n στττστττσ=++=++=++ 斜截面上的全应力： T υ 斜截面上的正应力： x y z T l T m T n υσ=++ 斜截面上的总剪应力： 2 2 2T υυυτσ=- 几何方程： ;;;x yz y xy z xy u w v x y z v u w y z x w v u z x y εγεγεγ∂∂∂= =+∂∂∂∂∂∂==+ ∂∂∂∂∂∂==+ ∂∂∂ 物理方程： ()()()2(1)1 ;2(1)1;2(1)1 ;x x y z xy xy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E v v E E v v E E εσσσγτ εσσσγτεσσσγτ ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦+=-+=+=-+=+=-+=体积应变：x y z θ εεε=++ x =()y z σσσΘ++ 12E v θ-= Θ 第三章 平面问题的直角坐标解法 平衡方程： 00yx x x xy y y F x y F x y τστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂ 几何方程： ;;x y xy u v u v x y y x εεγ∂∂∂∂= ==+∂∂∂∂ 边界条件： ;x yx x xy y y l m T l m T σττσ+=+=位移边界条件：;x x y y u u u u == 平面应变： 22 222y xy x xy y x ετε∂∂∂+=∂∂∂ 平面应力： 2222 20;0;0z z z xy x y εεε∂∂∂===∂∂∂ 平面问题应力解： 22222x x y y xy F x y F y x x y ϕ σϕ σϕ τ∂=-∂∂=-∂∂=- ∂∂ 相容方程： 4444224 20y x x y ϕϕϕ ∂∂∂++=∂∂∂∂ 第四章 平面问题的极坐标解法 平衡微分方程： 10210r r r r r r F r r r F r r r θθ θθθ θτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂ 几何方程： 1;1r r r r r u u u r r r u u u r r r θ θθθ θ εεθ γθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂ 物理方程： ()()r 11 ;2(1) r r r r v v E E v E θθθθθεσσεσσγτ= -=-+= 相容方程： 222 22211()0r r r r ϕθ ∂∂∂++=∂∂∂ 第五章 应力张量 =0x xy xz yx y yz zx zy z σστττσστττσσ ---
- 7 - 第二章 弹性力学的基本方程和一般定理习题 2-1 已知矩形截面杆件自由端受力P 的作用而发生横向弯曲，如图所示，梁的 高度为h ，力P 的分布规律为)4 (2 22 y h J P p -- =，不计体力，按材料力学方法求得应力分量为 式中J 为截面惯性矩，试检查该应力分量是否满足平衡方程和边界条件。 解：1）将应力分量代入平衡微分方程 （1） （2） （3） 考虑体力分量均为零，则由（1）式得 左边===+- 0J Py J Py 右边 题2-1图
- 8 - 将应力分量代入平衡微分微分方程的（2）、（3），显然平衡微分方程满足。 2）应力边界条件 n m l T zx yx x x ττσ++= （4） n m l T zy y xy y τστ++= （5） n m l T z yz xz z σττ++= （6） 这里必须注意：应力边界条件必须满足所有的边界，而不是仅仅求出待定常数。下面考虑上边界 i ）上边界 0,1,0===n m l ，0,0,0===z y x T T T 将上式代入（4）、（5）、（6）式，得 0)(2==h y yx τ 0)(2==h y y σ 0) (2 ==h y yz τ 上式就是简化后的边界条件。必须强调的是：在考察边界条件时，需将已知的边界坐标值代入表达式。将应力分量代入上面三式，显然三式成立。 ii ）下边界 0,1,0=-==n m l ，0,0,0===z y x T T T 将上式代入（4）、（5）、（6）式，得 0)(2=- =h y yx τ 0)(2 =- =h y y σ 0) (2 =- =h y yz τ 将应力分量代入上面三式，显然三式成立。
弹性力学基础教学设计 一、课程概述 弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力下发生的变形和应力分布规律。本课程是一门理论和实践相结合的学科，主要内容包括：物体的应变和应力，弹性模量、剪切模量、泊松比、拉压试验、剪切试验等。旨在使学生掌握弹性力学的基本理论和实验方法，为更深入继续学习奠定良好的基础。 二、教学目的 本课程旨在培养学生的以下能力： 1.掌握弹性力学的基本理论和实验方法； 2.学会分析和计算物体的应变和应力； 3.熟悉弹性模量、剪切模量、泊松比等概念，并能应用到具体问题中； 4.学会进行拉压试验和剪切试验，并熟悉实验操作和数据处理。 三、教学内容 第一章弹性力学基本理论 1.1 弹性体和非弹性体 1.2 线性弹性理论 1.3 应变和应力 1.4 向量分析 第二章弹性模量及其测定 2.1 弹性体的应力分布和变形 2.2 弹性模量的概念和计算 2.3 弹性模量的测定方法及实验 第三章剪切模量及其测定 3.1 剪切模量的概念和计算 3.2 剪切模量的应用 3.3 剪切模量的测定方法及实验
第四章泊松比及其测定 4.1 泊松比的概念和计算 4.2 泊松比的应用 4.3 泊松比的测定方法及实验 第五章实验部分 5.1 拉压试验实验设计和操作 5.2 剪切试验实验设计和操作 5.3 实验数据处 理和结果分析 四、教学方法 本课程采用理论讲解与实验操作相结合的教学方法，以激发学生的学习兴趣和 探究精神为重点，以问题为导向，注重培养学生的理论分析和实验操作能力。同时，教师将提供多种教学资料和参考书目，以帮助学生加深对弹性力学理论的理解，提高独立思考和解决问题的能力。 五、评分标准 1.考试成绩占总成绩的70% 2.实验报告和操作能力占总成绩的30% 3.作业、小组讨论和课堂表现等也将作为最终评价的参考依据。 六、参考书目 1.薛其坤，赵析生，金正范. 实验力学 . 北京: 高等教育出版社， 2011: 217-233 2.王世奇，郑红波. 弹性力学 . 北京: 高等教育出版社，2010: 69-85 3.赖健平. 试验力学基础 . 北京: 高等教育出版社，2012: 117-132 七、结语 本课程是一门非常重要且实用的理论课程，通过这门课程的学习，同学们可以 全面掌握弹性力学的基本理论和实验方法，为日后学习和研究奠定良好的基础。我
结构力学第二版课后习题答案 结构力学第二版课后习题答案 结构力学是一门研究物体受力情况和力学性质的学科，它在工程领域中有着广 泛的应用。结构力学的学习不仅需要理论的掌握，还需要通过实际的习题来加 深对知识的理解和运用。本文将为大家提供《结构力学》第二版课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地学习和应用结构力学知识。 第一章弹性力学基础 1.1 弹性力学的基本概念 1. 弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变时，恢复到原来形态的力学学科。 2. 牛顿第二定律：物体所受合外力等于物体质量乘以加速度。 3. 弹性体：在外力作用下，物体发生形变，当外力消失后，物体能够完全恢复 到原来的形态。 4. 弹性力学的基本假设：线弹性假设、小变形假设、平面假设。 1.2 应力和应变 1. 应力：单位面积上的力，即单位面积上的力的大小。 2. 应变：物体在外力作用下发生的形变程度。 3. 线弹性假设下的应力-应变关系：胡克定律，即应力与应变成正比。 4. 应力张量：描述物体内部各点上的应力状态，是一个二阶张量。 1.3 弹性体的本构关系 1. 本构关系：描述物体应力和应变之间的关系。 2. 弹性体的本构关系：胡克定律。 3. 弹性模量：描述物体对应力的敏感程度。
4. 剪切模量：描述物体对剪切应力的敏感程度。 第二章弹性力学的基本方程 2.1 平衡方程与应力平衡方程 1. 平衡方程：描述物体在力的作用下的平衡状态。 2. 应力平衡方程：描述物体在外力作用下的应力分布情况。 2.2 应变平衡方程 1. 应变平衡方程：描述物体在外力作用下的应变分布情况。 2.3 弹性力学基本方程 1. 弹性力学基本方程：包括平衡方程、应力平衡方程和应变平衡方程。第三章弹性体的力学性质 3.1 弹性体的应力分析 1. 弹性体的平面应力问题：在一个平面上受力的弹性体。 2. 弹性体的平面应变问题：在一个平面上发生应变的弹性体。 3.2 弹性体的弯曲 1. 弹性体的弯曲：在外力作用下，物体发生弯曲变形。 2. 弯曲方程：描述弯曲变形的关系。 3.3 弹性体的扭转 1. 弹性体的扭转：在外力作用下，物体发生扭转变形。 2. 扭转方程：描述扭转变形的关系。 第四章弹性体的稳定性 4.1 弹性体的稳定性 1. 稳定性：描述物体在外力作用下的平衡状态。
总复习 第一章 绪 论 形状 范围 基本假设 材料力学的附加假设： 第二章 弹性力学问题的建立 一点应力状态过体内同一点的各个微分面上的应力情况用过一点M 的三个坐标面平行的微分面上的应力关系矢量表示一点的应力状态，x F ，y F ，z F 或： 第一下标为方位，第二下标为方向；方向的规定 2-2与坐标轴倾向的微分面上的应力 2-3平衡微分方程、警力边界条件 小变形条件下： 0=+∂∂i j ji X x σ （0,=+i j ji X σ） 剪应力互等定理：ij ji ττ= 静力边界条件：;v x yx zx v xy y zy i ji j v xz yz z X l m n Y l m n X n Z l m n στττστσττσ=++=++==++ 静力可能的平衡：应力分量在物体内部满足平衡方程，在边界上满足静力边界条件。 真正的平衡：满足上述平衡条件的同时，还应当满足变形协调条件。 2-4 几何方程 正应变：三条相互垂直棱边的伸缩及棱边间所夹直角的变化（伸长为正） 剪应变：棱边间所夹直角的改变量（减小为正，增大为负） 应变张量：1 12 21 122112 2 x yx zx ij xy y zy xy yz z εγγεγεγγγε⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2-5 应变协调方程 3个位移分量(,,)u v w 表示六个应变分量(,,,,,)x y z xy xz yz εεεγγγ，显然6个应变分量是相关联的。若已知6个应变分量求3个位移分量，会出现矛盾方程。 补充的协调方程： 几何意义：变形前后的协调。对单元体来说，当单元变形不满足协调方程，则单元出现裂缝。 2-6 广义虎克定律
一、基本物理量 应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为： ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。 3、应变 弹性体内某一点的正应变（线应变）：设 为弹性体内任意点，过 点某一微元线段变形前的长度为 ，变形后的长度为 ，定义 点 方向的正应变为： 。即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。 弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设 和 为过
点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。 应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得： ；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。 关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。 4、外力 体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。设 为包含 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为 ，则定义 点的体积力为： 。 表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。设 为包含 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为 ，则定义
点的表面力为： 。 二、基本方程 1、平衡方程 应用牛顿第二定律，建立力学平衡方程，表达应力与位移之间的关系。 设 为弹性体内任意点，由 点沿三坐标轴的正向分别取长度为 、 和 的三条棱边，由此构成一个微长方体。微长方体共六个面，每个面上有一个正应力和两个剪应力。 按前节应力定义，过 点的 平面（平面的法线方向与 轴平行，即平面与 坐标面平行。）上的应力分量为： 、 和
第二章弹性力学基础 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。 弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。 材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。 结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。
第一节弹性力学假设 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。 1. 假设物体是线弹性的 假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。 由材料力学已知： 脆性材料的物体：在应力≤比例极限以前，可作为近似的完全弹性体； 韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。 这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，
都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。 3. 假设物体是均匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。 对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。 弹性常数？ 凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。 4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。 因此 ①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。