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高二人教版数学选修教案空间向量与运算复习小结

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课题：空间向量与运算复习小结 课时：10 课型： 一、复习目标 1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量； 2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离. 二．知识梳理 1．求角： （1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角； （2）直线和平面所成的角： ①找出射影，求线线角；

②求出平面的法向量nr，直线的方向向量ar，设线面角为θ,则

|cos,|||||||nasinnana

rrrr

rr.

（3）二面角： ①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）； ②求两个法向量的夹角（或补角）. 2．求距离

（1）点M到面的距离||cosdMNuuuur （如图）就是斜线段MN在法向量nr方向上的正投影. 由||||cos||nNMnNMndruuuurruuuurr

得距离公式：||||nNMdnruuuurr （2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离； （3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量nr和连接两异面直线上两点的向量NMuuuur

，再代上面距离公式.

三、双基练习

1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是 （ ） ①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z） ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z） ③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z） ④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z） A.3 B.2 C.1 D.0

_ a _ n N

M

H θ

a n θ 2． 直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ ） A．1030 B. 21 C．1530 D．1015

3．已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k= ___ 4． 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是 ， .

◆答案提示： 1. C； 2. A； 3. 57； 4.（2，1，25），dAB=17 四、典例题解析 【例1】 【2015全国二卷19．（本题满分12分）】

如图，长方体1111ABCDABCD中,=16AB，=10BC，18AA，点E，F分别在11AB，

11CD上，114AEDF．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方

形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值．

19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4515． 解析：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图： （Ⅱ）作EMAB，垂足为M，则14AMAE，18EMAA，因为EHGF为正

方形，所以10EHEFBC．于是226MHEHEM，所以10AH．以D为坐标原点，DAuuur的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(10,0,0)A，(10,10,0)H，(10,4,8)E，(0,4,8)F，(10,0,0)FEuuur，(0,6,8)HEuuur．设

D D1 C1 A1 E F A B C B1 (,,)nxyzr是平面EHGF的法向量，则0,0,nFEnHEruuurruuur即100,680,xyz所以可取

(0,4,3)nr．又(10,4,8)AFuuur，故45cos,15nAFnAFnAFruuurruuurruuur．所以直线AF与

平面所成角的正弦值为4515． 考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．

A1

AB

1

B

D1DC1CFE

HGM 【例2】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD-中，侧棱1AAABCD底面,ABAC,1AB=,12,5ACAAADCD====,且点M和N分别

为11CDBD和的中点. （Ⅰ）求证：//MN平面ABCD； （Ⅱ）求二面角11DACB--的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱11AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1

AE

的长. 17．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） 31010； （Ⅲ） 72. 解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)ABCD，

又因为,MN分别为1BC和1DD的中点，得11,,1,(1,2,1)2MN.

（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)nr为平面ABCD的一个法向量，50,,02MNuuuur， 由此可得，0MNnuuuurr，又因为直线MN平面ABCD，所以//MN平面ABCD （Ⅱ）1(1,2,2),(2,0,0)ADACuuuuruuur，设1(,,)nxyzur为平面1ACD的法向量，则 111

00nADnAC



uruuuururuuur，即22020xyzx，不妨设1z，可得1(0,1,1)nur，

设2(,,)nxyzuur为平面1ACB的一个法向量，则21200nABnACuuruuuruuruuur，又1(0,1,2)ABuuur，得 2020yzx



，不妨设1z，可得2(0,2,1)nuur 因此有12121210cos,10nnnnnnuruururuururuur，于是12310sin,10nnuruur， 所以二面角11DACB的正弦值为31010. （Ⅲ）依题意，可设111AEABuuuruuuur，其中[0,1]，则(0,,2)E，从而(1,2,1)NEuuur，又(0,0,1)nr为平面ABCD的一个法向量，由已知得

22211cos,3(1)(2)1NEnNEnNEn



uuurruuurr

uuurr，整理得2430，

又因为[0,1]，解得72， 所以线段1AE的长为72. 考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用. 五、提炼总结以为师 1.求线线角、线面角、二面角的方法： 2．求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：

六、同步练习 1.【2015高考】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.

CBADGE

HFM

E

AB

CD

（1）请将字母,,FGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （2）证明：直线//MN平面BDH （3）求二面角AEGM的余弦值. 18．（1）点F、G、H的位置如图所示. MDC

AB

EF

HG

（2）详见解析.（3）223 解析：（1）点F、G、H的位置如图所示.

MDC

AB

EF

HG

（2）连结BD，设O为BD的中点. OMDC

AB

EF

HGN

因为M、N分别是BC、GH的中点，所以//OMCD，且12OMCD， //NHCD，且12NHCD，所以//,OMNHOMNH，所以MNHO是平行四边形，

从而//MNOH，又MN平面BDH，OH平面BDH，所以//MN平面BDH. （3）连结AC，过M作MPAC于P. OMDC

AB

EF

HG

PKN

在正方形ABCDEFGH中，//ACEG，所以MPEG. 过P作PKEG于K，连结KM，所以EG平面PKM， 从而KMEG.所以PKM是二面角AEGM的平面角.

设2AD，则1,2CMPK，在RtCMPV中，2sin452PMCMo.

在RtKMPV中，22322KMPKPM.所以cosPKPKMKM223. 即二面角AEGM的余弦值为223. 2.【2015山东】如图，在三棱台DEFABC中，2,,ABDEGH分别为,ACBC的中点.

（Ⅰ）求证：//BD平面FGH； （Ⅱ）若CF平面ABC，,ABBCCFDE ，45BACo ,求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小. 17．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）60o

分析：（Ⅰ）思路一：连接,DGCD，设CDGFOI，连接OH，先证明//OHBD，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD平面HDF；思路二：先证明平面 //FGH平

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高中数学人教A版选修2-1 空间向量与立体几何 章末小结与测评 课件

高中数学人教A版选修2-1 空间向量与立体几何 章末小结与测评 课件


[ 典 例 1] 中
已 知 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 ，
则 x＝________，y＝________．
解：
1 从而有 x＝1，y＝4. 答案：1 1 4
[ 典例Байду номын сангаас2]
如图所示，已知空间四边形
ABCD，连接 AC，BD，E，F，G 分别是 BC， CD，DB 的中点，请化简(1) AB ＋ BC ＋ CD ； (2) AB ＋ GD ＋ EC ，并标出化简结果的向量．
解：(1) (2)∵E， F， G 分别为 BC， CD， DB 的中点．
[对点训练] 1．已知 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6， a1＋a2＋a3 a·b＝30，则 ＝________． b1＋b2＋b3
解析：因为 a· b＝|a||b|· cos〈a，b〉 ，且|a|＝5，|b|＝6，a· b ＝30，所以 cos〈a，b〉＝1，即 a 与 b 同向共线，故可 设 a＝kb(k>0)，即 a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3，又|a|＝5，
证明：如图所示，以 A 为坐标原点，AB， AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建 立空间直角坐标系 Axyz.
设 PA＝AD＝a，AB＝b.则， (1)P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0，)，C(b，a， 0)，B(b，0，0)． ∵M，N 分别为 AB，PC 的中点，
b b a a ∴M2，0，0，N2，2，2.
又∵MN⊄平面 PAD，∴MN∥平面 PAD.
b (2)由(1)可知，P(0，0，a)，C(b，a，0)，M2，0，0，
D(0，a，0)．
数学 3.2.3用空间向量求空间角教学设计 新人教A版选修2 1 教案

数学 3.2.3用空间向量求空间角教学设计 新人教A版选修2 1 教案

立体几何中的向量方法——空间“角”问题（后附学案）一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。

用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。

二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。

三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。

认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。

能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。

情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.教学重点：1）向量法求空间角的方法和公式；2）空间角与向量夹角的区别和联系。

教学难点：1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关 键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.四、教学方法：启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价 五、教学手段：借助多媒体辅助教学 六、教学过程：教师教学活动学生参与活动设计意图 教师提出问题：1、异面直线所成的角、线面角、二面角的X 围分别是什么？2、两向量夹角的X 围是什么？3、向量的有关知识（1）两向量数量积的定义 （2）两向量夹角公式（3）什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？（4）如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？ 提问学生，学生一一作出回答。

数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)

数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

高二数学(新人教A版选修2-1)第三章知识点总结《3.1.1 空间向量及其线性运算》(学生版) Word版无答案

高二数学(新人教A版选修2-1)第三章知识点总结《3.1.1 空间向量及其线性运算》(学生版) Word版无答案

空间向量及其线性运算
．空间向量的概念及表示
()与平面向量一样，我们把空间中具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模．
()与平面向量一样，空间向量也用表示．起点是，终点是的向量也可以记作.其模记作.
()的向量叫做零向量，记为；模为的向量叫做单位向量．
()的向量称为相等向量．与向量
的向量称为的相反向量，记为.
．空间向量的线性运算
空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样．
()加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立．
()实数λ与向量的乘积λ是一个向量，λ时，λ与方向相同，λ时，λ与方向相反，λ时，λ＝，其方向是任意的，λ＝.
设λ、μ是实数，则有
①分配律：λ(＋)＝
②结合律：λ(μ)＝.。