§8.1简单几何体的结构、三视图和直观图 最新考纲 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2. 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱 等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立 体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3. 会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观 图，了解空间图形的不同表示形式.1. 简单几何体的结构特征(1) 旋转体① 圆柱可以由矩疋绕其一边所在直线旋转得到.② 圆锥可以市直角三角形绕其直兔边所在直线旋转得到.③ 圆台可以由直角梯形绕直亚所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得 到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.④ 球可以由半圆或圆绕軽所在直线旋转得到.(2) 多面体① 棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形.② 棱锥的底而是任意多边形，侧而是有一个公共顶点的三角形.③ 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.2. 直观图画直观图常用斜二测画法,英规则是：(1) 在已知图形屮建立直角坐标系X®画直观图时，它们分别对应*轴和才轴，两轴交 于点0 ,使ZH O Q =45。
，它们确定的平面表示水平平面；⑵已知图形中平行于对由或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于口I 和£1垫的线段;(3) 已知图形屮平行于/轴的线段，在直观图屮保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度 为原来的基础知识自主学习 回扣s&txn 识训塚塞础题目一考情考向分析简单儿何体的结构特征、三视 图、直观图在高考屮儿乎年年 考查•主要考查根据几何体的 三视图求其体积与表面积.对 简单几何体的结构特征、三视 图、直观图的考查，以选择题 和填空题为主.3.三视图(1)主、俯视图长对止;主、左视图高平齐;俯、左视图宽相等,前后对应.(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线面虚线.(3)同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.(4)清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置. 【知识拓展】1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形.(3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形.(4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形.2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”'坐标轴的夹角改变“三变” ｛与诸由平行的线段的长度变为原来的一半、图形改变'平行性不改变“三不变” ｛与X, 7轴平行的线段的长度不改变、相对位置不改变r基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“ J ”或“ X ”)(1)有两个面平行，其余各而都是平行四边形的儿何体是棱柱.(X )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的儿何体是棱锥.(X )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.(X )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.(X )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(X )(6)菱形的直观图仍是菱形.(X )题组二教材改编2.由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图屮仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形.上述结论正确的个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3答案B解析逐一考查所给的说法：①相等的线段平行时在直观图中仍然相等，原说法错误；②正方形在直观图中是平行四边形，不是矩形，原说法错误；③等腰三角形在直观图屮不是等腰三角形，原说法错误；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形，原说法正确.综上可得，结论正确的个数是1.故选B.3.________________________________________ 在如图所示的儿何体中，是棱柱的为.（填写所有正确的序号）答案③⑤题组三易错自纠4.某简单几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱答案A解析由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形.5.（2018 •珠海质检）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）图1 图2答案B解析 左视图中能够看到线段九Z,应画为实线，而看不到〃0,应画为虚线.由于与6C 不平行，投影为相交线，故选B.6. 正三角形弭防的边长为臼，建立如图所示的直角坐标系xOy,则它的直观图的面积是解析画出坐标系* 0' ”，作出/XOAB 的直观图0’ A 1 ff （如图），“为O A r 的屮点.题型分类深度剖析K 题典题深度剖析■点难点多维探完题型一简单几何体的结构特征一自主演练 1. 给出下列命题：① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱2—定相等.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案A解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线 为旋转轴吋，其余两边旋转形成的血所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的儿何体；③答案16*A B C D易知〃 B' =^DB{D 为滋的屮点）,错误，棱台的上、下底面相似II是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.2.__________________________ 下列命题中正确的为・（填序号）①存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；②如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；③圆台的任意两条母线所在直线必相交.答案①③解析①如图屮的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直于底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故①正确；②如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形，故②错误;③根据圆台的定义和性质可知，命题③止确.所以答案为①③.思维升华（1）关于简单儿何体的结构待征辨析关键是紧扣各种简单儿何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可.（2）圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截血上，解题吋要注意用好轴截血中各元素的关系.（3）既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题吋，要注意“还台为锥” 的解题策略.题型二简单几何体的三视图命题点1己知几何体，识别三视图典例（2017 -贵州七校联考）如图所示，四面体初少的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体力砲的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A.①②⑥C.④⑤⑥ 答案B 解析 主视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线, 因此主视图是①，左视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到 右上是虚线，因此左视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是 实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.命题点2已知三视图，判断几何体的形状 典例（2017 •全国I ）某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若 干个是梯形，这些梯形的而积Z和为（）5 X X 3 ⑤B.①②③ D.③④⑤ 5A. 10B. 12C. 14D. 16 答案B解析 观察三视图可知，该多面体是rh 直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是 直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三 角形，高为2,如图所示.因此该多面体各个面屮有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的 上底长为2,下底长为4,高为2,故这两个梯形的血积之和为2x|x(2 + 4)X2 = 12.故选B.命题点3已知三视图中的两个视图，判断第三个视图典例(2018届辽宁凌源二中联考)如图是一个简单儿何体的主视图和俯视图，则它的左视图为()签案B解析由主视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合主视图的宽 及俯视图的直径可知其左视图为B,故选B.思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1) 由儿何体的直观图求三视图.注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的 部分用虚线表示.(2) 由儿何体的三视图还原儿何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，MX俯视图 B结合空间想象将三视图还原为实物图.(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状.当然作为选择题，也可将选项逐 项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.跟踪训练（1）（2017 •全国1【）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何 体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A. 90兀 B. 63 nB. 42 JTD. 36 Ji 答案B解析 方法一（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所 得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱从点〃处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部 分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的£所以该几何体的体积y= n X32X4+ n X32X6X | =63 n .故选 B.方法二（估值法）由题意知，尹冏柱〈卩几何体〈孑圆拄，又卩岡柱=兀X 3“X 10=90兀，・：45兀〈$几何 ^<90 n .观察选项可知只有63兀符合.故选（2）—个几何体的三视图中，主视图和左视图如图所示，则俯视图不可以为（）主视图 左視图 主视答案c解析A 中，该几何体是直三棱柱，・・・A 有可能； B 中，该几何体是直四棱柱，・・・B 有可能； C 中，由题干中主视图的中间为虚线知，C 不可能； D 中，该儿何体是直四棱柱，・・・D 有可能. 题型三简单几何体的直观图一师生共研典例（2018 •福州调研）已知等腰梯形肋C"上底CD=\,腰伪=£,下底AB=3,以下底所在直线为/轴，则由斜二测画法画出的直观图川B' C D'的面积为 ___________________ • 答案芈解析 如图所示，作出等腰梯形昇彩的直观图.因为 OE=p （H = l,所以/ E' =|, E f F=¥，则直观图彳ff C 〃的面积C4 2 -思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与/轴或y 轴平行的线段在直观图屮与H 轴或/轴平行，原图中不与坐标轴 平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出 在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.跟踪训练如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和 上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A. 2+^2C. 4 + 2迈 答案DD. 8+4迈B. 1+^2解析由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，•••这个平而图形的而积为4X（2+；+2萌=8+诽,故选°,课时作业基础保分练1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱答案D解析球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等.当三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同、大小均相等.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.2.如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）俯视图A.圆锥C.三棱柱答案C3.“牟合方盖”（如图1）是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程屮构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图屮四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（）△主视图B.三棱锥D.三棱台图I 图2A. a, bB. a, cC. c, bD. b 、d 答案A解析 当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一 个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.4. （2018 •成都质检）如图，在长方体ABCD —ABGD\中，点戶是棱仞上一点，则三棱锥戶答案D解析 在长方体ABCD —A\B\GIV\',从左侧看三棱锥P —AAA, 4,昇的射影分别是 〃，1）；力〃的射影为且为实线，/久的射影为/妙，且为虚线.故选D.5. 如图所示，在正方体ABCD-A^GIX 中，E,尸分别是加i, G 〃的中点，G 是正方形BCC0 的中心，则四边形外67诃在该正方体的各个面上的投影不可能是（）B.正方形C. 等腰三角形答案B解析四边形月倔在该正方体的底面上的投影为三角形，可能为A ； 四边形力砲在该正方体的前血上的投影为四边形，可能为C；>GA.三角形 C.四边形 DbBAB四边形zkT 疋在该正方体的底面上的投影为等腰三角形，可能为D ； 四边形力淞在该正方体的左侧面上的投影为三角形，可能为A.故选B.6. （2017 •广州模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某儿何体的主视Q图（等腰直角三角形）和左视图，且该儿何体的体积为亍 则该儿何体的俯视图可以是（）\ Z Z / // /■\/ ♦Z Z /✓答案c解析 该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥》血〃如图所示，该几何体的俯视图为C.7. （2017 •东北师大附中、吉林市一中等五校联考）如图所示,在三棱锥D-ABC 4 已知的面积为（）A.&•若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图D.^2AC=BC=CD=2,①丄平面 ABC,上ACB=90°AB. 2 BCDC.£答案D 解析由几何体的结构特征和主视图、俯视图，得该几何体的左视图是一个直角三角形，其中一直角边为①，其长度为2,另一直角边为底面腮的边上的中线，其长度为Ji 则其左视图的面积S=#X2X 边=返 &如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球a, a,这两个球外切，且球"与正方体共顶点A的三个面相切，球Q与正方体共顶点〃的三个面相切，则两球在正方体的面AA^GC 上的正投彫是（答案B 解析由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切.由于两球球心连线個与ACGA,不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.9.（2017 •福建龙岩联考）一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图O f A' B' C如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平而四边形刃化的面积为 .答案2、问解析因为直观图的面积是原图形面积的半倍，且直观图的面积为1,所以原图形的而积为2（110.（2017 •南昌一模）如图，在正四棱柱ABCD-ABGD冲，点戶是平面ABCA内一点，则三棱锥—救的主视图与左视图的面积之比为 ________________________ .答案1 ：1 解析根据题意，三棱锥/—位刀的主视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；左视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥―册的主视图与左视图的面积之比为1:1.11. ______________________________________________________________________ 如图，点。
第1节空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.知识梳理1.简单多面体的结构特征平行且相等全等(1)棱柱的侧棱都，上、下底面是且平行的多边形；公共顶点(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形；平行(3)棱台可由于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.2.旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线任一直角边 圆锥直角三角形 圆台 直角梯形 所在的直线垂直于底边的腰 所在的直线球 半圆直径所在的直线3.三视图正前(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从正左正上几何体的方、方、方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法高平齐①基本要求：长对正，，宽相等.②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.4.直观图斜二测空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是：(1)原图形中x45°（或135°）轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴、垂直y′轴所在平面. 平行于(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别坐标轴.平不变行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线一半段长度在直观图中变为原来的.[常用结论与微点提醒]1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥、圆台、圆柱的正视图和侧视图分别均为全等的等腰三角形、等腰梯形、矩形.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3)用斜二测画法画水平放置的∠ A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( )解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.(4)正方体和球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆.答案(1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修2P10T1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )A.棱台B.四棱柱D.六棱柱C.五棱柱解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.答案 C3.(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图. 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.答案 B4.(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π解析法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体 1 的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的2，所以该几何体的体 1 2 积 V ＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.1 2 法二 (估值法)由题意知， V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有 63π符合.答案 B5.正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________.解析画出坐标系 x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图).D ′为 O ′A ′的中点.易知 D ′B ′＝ D B (D 为 O A 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝ × S △OAB ＝ × a ＝166a 2. 1 2 1 2 2 2 2 3 2 4 46 答案 a 216考点一空间几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3(2)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等(2)由圆台的定义可知于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确.答案(1)A (2)B规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【训练1】给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.答案②③④考点二空间几何体的三视图(多维探究)命题角度1由空间几何体的直观图判断三视图【例2－1】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.答案 B命题角度2由三视图判断几何体【例2－2】(1)(2014·全国Ⅰ卷)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥C.四棱锥B.三棱柱D.四棱柱(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3 2B.2 3C.2 2D.2解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.(2)由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D－BCC1B1，最长棱为DB1，且D B1＝D C2＋BC2＋BB21＝4＋4＋4答案(1)B (2)B＝2 3.规律方法 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练2】(1)(2018·惠州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为( )A.1B.2C.3D.4(2)(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm )是( )3A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3解析 (1)设点 P 在平面 A 1ADD 1的射影为 P ′，在平面C 1CDD 1的射影为 P ″，如图所 示.∴三棱锥 P －BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD ，因此所积 S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD ＝12×1×2＋ ×1×2＝2.1 2(2)由三视图可知，该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底径 12 1 2为1，高为3，三棱锥的底面积为×2×1＝1，高3.故原几何体体积为：V＝×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案(1)B (2)A考点三空间几何体的直观图【例3】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD ＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.解析 如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .在 R t △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 又四边形 A E CD 为矩形，AD ＝EC ＝1.∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′. 在梯形 A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝ 22＋1，A ′B ′＝ 2.∴这块菜地的面积 S ＝ (A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×1＋1＋ 22×2＝2＋ 22.12 答案 2＋ 22规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两标轴成 45°或 135°)和“二测”(平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 轴和 z 轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量二是 已知直观图求原图形中的相关量. 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系： S 直观图＝ 42S 原图形.【训练 3】已知等腰梯形 ABCD ，上底 CD ＝1，腰 AD ＝CB ＝ 2，下底 A 3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画法画出的直观图 A ′B ′C ′D ′的面积为____解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图.因为 O E ＝（ 2）2－1＝1，所以 O ′E ′＝21，E ′F ＝ 42.1＋3 2 2 则直观图 A ′B ′C ′D ′的面积 S ′＝ ×＝. 2 4 2 2 2 答案。
