《常微分方程》题库及答案
一．求解下列方程
1．求方程0sin cos =+x y dx
dy
x
之通解; 2．求方程
x
x y ax dy cos 1
tan =
+之通解； 3．解初值问题2
(1)20(0)1dy x xy dx y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩
； 4．求方程()ln
dy x y
x
y x y dx x
+-=+ 之通解； 5．求方程 y
x xy y dx dy 32
1++= 的通解； 6. 求方程 0)3()3(2
3
2
3
=-+-dy y x y dx xy x 的通解； 7．求由以
x
x
x x cos ,
sin 为基本解组的线性齐次方程； 8．求方程 2
)(2
2x dx dy x
dx dy y +-=的通解及奇解； 9．求方程
⎰
+=+x
x y x dt dt
t dy 0
2
)(2))((
1 的通解； 10. 求方程 0)sin ()2sin (2
2=-++dy y x
y dx x y x 的通解； 11．求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程； 12．求方程 2
2
22)(12dx
dy y y dx y d += 的通解. 13.求方程
y y dx
dy
ln =之通解。 14.求方程xy dx
dy
y x 2)
(22=+之通解。 15.求方程0)(22
2
=-+dy y x xydx 之通解。 16. 求方程
y x e dx
dy
-=之通解。 17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e y
y 之通解。
18. 求方程x x y y sec tan '
=+之通解。
二．
1．解初值问题⎪⎩
⎪⎨⎧-==y x e ax
dy
y 20
)1(
2.求如下微分方程组之通解：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=z x dt
dz z y x dt
dy
z y x dt dx
2. 3.求出初值问题的逐次近似解2
1,0y y y ：2(0)0dy
x y dx
y =+=⎧⎪⎨⎪⎩
. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(2
2
y x +=ϕυ的积分因子的充要条件。
5.用李雅普诺夫函数法讨论方程平衡点（0．0）之稳定性：
⎪⎩
⎪⎨⎧+-=---=xy x y dt dx
y x y x dt dy 32. 6.用一次近似法讨论方程平衡点（0．0）的稳定性：⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-+=y x y x dt
dx y x y y x dt
dy cos 32)(22
.
7.求方程的通解：2252310cos 2x dy dy
y x x x e dx dx
--=+（特解不必求出，仅给出特解形式，要说明理由）。
8.求方程组之通解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-+=+-=y x 2dt
dz z y x dt
dy
z y x dt dx
.
9.求充分值问题的逐次近似解⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
)0(:)(),(2
21y y x dx dy
x y x y .
10.求列如下方程组的奇点类型：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=y x dt
dy x
y dt dx
432 .
11.分别用一次近似法和李雅普诺夫函数法讨论如下方程组平衡点（0.0）的稳定性:
⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-+--=))(())((222
2y x y x y x dt
dy
y x y x y x dt
dx 12.已知初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=,
0)0(22y y
x dx dy 其中.2,1:≤≤y x D
1)．求近似解21,y y ； 2)．给出真解与第二次近似解的误差估计.
13.求如下方程组的通解：⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+=.z y dt
dz z y x dt dy
z y dt dx
14.设)(x f 在[)+∞,0上连续且有界，求证：方程
)(x f y dx
dy
=+的所有解均在[)+∞,0上有界. 15.已知方程 0)1(22=+--y dx dy x
dx y d x 有特解x
e y =. 求方程 x e x y dx
dy x dx y d x 222)1()1(-=+-- 之通解.
16．已知方程 02)1(22=+--y dx
dy
x
dx y d x x α 有一线性函数的特解，试确定α的值，并求出通解.
17.求方程
x xy dx
dy
42=+之通解。 18.求二阶微分方程的通解：已知方程0)1('
'
'=+--y xy y x 的一个解x y =1,试求其通解. 19.求微分方程组的近似解:利用逐次逼近法求方程22x y dx
dy
-=适合初值条件1)0(=y 的近似解。 20. 求方程
5xy y dx
dy
=-之通解。 21. 已知方程01
1)ln 1(2'''=-+
-y x
y x y x 的一个解x y ln 1=,试求其通解. 22.求下列微分方程组的通解:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=4y 3x t
y
y
2x t x
d d d d
