线性代数常见题型思路-
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《线性代数》常见计算题型及常用思路 仅供参考！！！！ 计算题
题型1．解线性方程组（必须掌握） 最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为1,,tiixx），然后对自由未知量赋予任意值，即设11,,tiitxkxk，这儿1,,tkk为任意常数。把赋予自由未知量的值带入方程组，解除方程组的解（是关于1,,tkk的一些表达式）
方法（1）的变形：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为1,,tiixx）。设1,,ttF是tF的一组基（常取自然基）。然后令1(,,),1,2,tiijxxjt，分别解得方程组的解：1,,tXX（这是
一个基础解系）。则可知方程组的解为11ttXkXkX，这儿1,,tkk为任意常数。（一般解）
Cramer法则。注意：Cramer法则只对系数矩阵可逆的情形适用。
题型2．将()VF用1,,()mVF线性表示（或求坐标） 常用思路：待定系数法。设1,,mxx使得11mmxx。然后根据题设条件得到关于1,,mxx的一个方程组。解方程组。 方法二：利用课本定理4.10（如果已知在某一组基下的矩阵）
题型3．判断1,,()mVF的线性相关性 常用思路：待定系数法。设1,,mxx使得110mmxx。然后根据题设条件得到关于1,,mxx的一个方程组。解方程组。如果方程组只有零解，则1,,()mVF线性相关。反之，线性无关。
题型4．求1,,()mVF的极大无关组及秩 常用思路：待定系数法。设1,,mxx使得110mmxx。然后根据题设条件得到关于1,,mxx的一个方程组。用高斯消元法化简方程组，得到自用未知量。不是自用未知量的ix所对应的i放到一起，就构成了原向量组的一个极大无关组。 题型4′．求基与维数 常用方法：找到一组有限生成元，转化为题型4。
题型5. 将1,,nmF扩充为nF一组基 常用思路：首先确定出1,,nmF的一个极大无关组，设为1,,ntF。然后设1,,nxx，构建线性方程组
111(,,)0(,,)0n
nt
xxxx
（假设1,,nmF是列向量） 然后解除上面方程组的一个基础解系，设为1,,nntXXF （想想为什么一定有nt个）。则11,,,,,ntntXXF 就是一组基（想想为什么线性无关）
题型6．Schmidt正交化过程
题型7. 两组基的过渡矩阵（转化为题型2） 题型8. 线性映射（变换）的矩阵 方法一：利用定义，转化为题型2。 方法二：利用课本定理7.4（如果已知在一组基下的矩阵及过渡矩 阵） 题型9. 求矩阵的秩（可考虑放弃） 方法一：基于初等变换不改变矩阵得知，利用初等变换把原矩阵 化为一个容易看出秩的矩阵（一般为阶梯形）。
方法二：利用分块矩阵。主要基于以下几个公式：
方法三：利用秩的一些性质，主要是：
()()(()min{(),()()(0()TmnrABrArrABrArArArAABrA
方法四：利用()rAA的行/列秩，转化为题型4或利用向量组 的秩的一些性质 方法五：利用()rAA的行列式秩 方法六：利用线性方程组解的结构，主要基于： dim()()mnNAnrA
题型10. 求可逆矩阵的逆矩阵 方法一：基于A可逆AXb的唯一解为1XAb，利用线
max{(),()}(,)()()()()()()()()()()nrArBABrArBArArBrBEnrBrBArArBrrArBrCCB
性方程组求解。 方法二：基于可逆矩阵可写成初等矩阵的乘积，利用初等变换求 解，主要是两个公式：
前者只能用行变换，后者只能用列变换。
方法三：利用分块矩阵求解。主要基于两个公式：（假设已知可逆）
11111111*ttAAAAAACBB
注意：主对角线上的子块必为可逆方阵。 方法四：利用伴随矩阵（一定要细心！） 题型11. 求行列式（小心符号！） 方法一：利用初等变换或课本5.1节的简单性质化为三角阵或其他容易求解的行列式。
方法二：利用公式||||||ABAB（注意必为同型方阵）方法三：利用按行/列展开公式，一般得到递推公式。方法四：前面三者结合。（最为常用）
几个必须知道的结论： （1）三角形行列式=对角线元素乘积
11(,)(,)AEEAAEEA
（2）0||||AABCB （3）范德蒙行列式 题型12. 求特征值与特征向量及矩阵对角化（必须掌握） 方法：利用特征多项式求特征值，利用求线性方程组的基础解求特征向量。最后注意：在写出P以及原矩阵的相似标准形时要注意特征向量与特征值是相互对应的。
题型13. 实对称矩阵的对角化 方法：和题型12一致，但是要加入Schmidt正交化过程及单位要注意的是：千万不要把所有的特征向量放在一起Schmidt正交化，一定要分别对每个特征值所对应的特征向量分别正交化，也就是说：如果有m个不同特征值，要进行m次Schmidt正交化过程！
题型14. 求二次型/矩阵相合标准形与相合规范形（必须掌握） 方法一：配方法。 方法二：初等变化法。（参考课本例题，此两种方法和中学所用的 一致） 方法三：利用题型12或13，基于正交矩阵的逆矩阵和转置一样。 《线性代数》常见证明题型及常用思路
题型1．关于1,,m线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110mm，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1,,m必全为零，则1,,m线性无关；如果能得到不全为零的1,,m使得等式成立，则1,,m线性相关。 （2）1,,m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。 （3）如果1,,nmF，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 （4）如果我们有两个线性无关组，11,,,mW12,,,tW且12,WW是同一个线性空间的
两个子空间，要证11,,,,,mt线性无关。这种情况下，有些时候我们设
111111110,,mmttmmtt
。
根据题设条件往往能得到0，进而由11,,,mW12,,tW的线性无关得到系数全为零。
题型2. 关于欧氏空间常用结论 （1）内积的定义 （2）单位正交基的定义 （3）设1{,,}nB是单位正交基， 11(,,),(,,)BnBnuxxvyy。则11(,)nnuvxyxy5
题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩 （2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩 （4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()();()min{(),()};()()();max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()TTTTmnrABrArBrABrArBrArArAAArArBrABrrArBBArrArBBArArBrrArBrCCBABrArBn
（5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）
例：证明：()()()mnrArBnrAB。
证：()()()0nnnEEnrABrrABAABEBrrArBA 上面第二个等号是用A左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得；第三个等号是用B又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。 （6）利用齐次线性方程组解的结构（dim()()mnNAnrA），此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。
（7）利用向量组的秩与维数 主要是两个结论：（i）矩阵的秩=列秩=行秩 （ii）dimkerdimImdimker()r的定义域 的维数 （8）利用行列式秩 （9）利用相抵标准形 题型4. 关于可逆矩阵常用结论 （1）结论：A可逆AXb有唯一解||0A。 （2）结论：,()nABMF可逆AB可逆。 （3）结论：A可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。 （4）结论：A可逆当且仅当0不是它的特征值。 题型5. 关于矩阵对角化的常用结论 （1）结论： A相似于1..BCstACBC。 （2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。 （3）特征值与特征向量的定义
