(完整版)初三上专题四点共圆

探究四点共圆阜阳开发区一初王丽 2017/5/1一、内容和内容解析本节内容是探究四点共圆的条件。

四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。

圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。

在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。

同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。

二、学情分析学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。

通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。

另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点。

三、教学目标：（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。

四、教学重难点：重点：四点共圆条件的探究。

难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。

五、教学过程：I、创设情境、引入新课同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。

问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。

2021中考（通用版）数学复习训练几何专题---四点共圆问题一．选择题1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（）A．4B．3C．2D．2．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△P AM ∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．13．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．64．如图，在四边形AOBC中，若∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则下列结论正确的有（）（1）A、O、B、C四点共圆（2）AC＝BC（3）cos∠1＝（4）S四边形AOBC＝A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP ＝b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．56．如图，一副直角三角板满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC，AB＝DF，∠EFD＝30°，将三角板DEF的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D 旋转，并使边DE与边AC交于点M，边DF与边BC于点N．当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：①点C，M，D，N四点共圆；②连接CD，若AD＝DB，则△ADM∽△CDN；③若AD＝DB，则DN•CM＝BN•DM；④若AD＝DB，则CM+CN＝AD；⑤若DB＝2AD，AB＝6，则2≤S△DMN≤4．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．57．如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PE ⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（）A．3﹣3B．C．4﹣6D．28．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN二．填空题9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD 的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求AD•AF的值．10．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝a﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的序号为．11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝72°，则∠CAD的度数为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA延长线上，点E在BC边上，∠CAE＝2∠ACD，∠BAE＝60°，若AD＝3，△ABE的面积为10，则CD的长为．13．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC⊥AB于C，P为圆O上任意一点，直线P A与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有．①O，M，B，P四点共圆；②A，M，B，N四点共圆；③A，O，P，N四点共圆．14．如图，线段AB、CD相交于E，AE＝AC，DE＝DB，点M、F、G分别为线段AD、CE、EB的中点，如果∠MAE＝25°，∠AMF＝40°，那么∠MFG的度数为．15．如图，点O为等边△ABC内一点，OA＝2，OC＝，连接BO并延长交AC于点D，且∠DOC＝30°，过点B作BF⊥BD交CO延长线于点F，连接AF，过点D作DE ⊥AF于点E，则DE＝．16．如图，AB∥CD，∠CBE＝∠CAD＝90°．AC＝AD＝6，DE＝4，则BD长为．17．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD交于点O，E为DC上一点，∠DAE ＝30°，过D作DF⊥AE于F点，连接OF．则线段OF的长度为．三．解答题18．如图，A、B、C、D四点共圆，且∠ACB＝∠ACD＝60°．求证：△ABD是等边三角形．19．如图，在△ABC中，AB＜AC，AD平分∠BAC，BM＝CM，K为AM上一点，且∠BKC ＝180°﹣∠BAC．求证：∠BKD＝∠CKD．20．在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点F．当点D在如图所示的位置时：（1）观察填空：①与△ACD全等的三角形是；②∠AFB的度数为；（2）利用题干中的结论，证明：C，D，F，E四点共圆；（3）直接写出线段FD，FE，FC之间的数量关系．21．如图，已知锐角三角形ABC，过点A作BC的垂线与以BC为直径的⊙O1分别交于点D，E．过点B作CA的垂线与以CA为直径的⊙O2分别交于点F，G．求证：E，F，D，G 四点共圆，并确定圆心的位置．22．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D．过△ABC的外心O作直线OG⊥CD交AC于点E，交CD于点G，过点E作EF∥AB交CD于F．（1）求证：C，E，O，F四点共圆；（2）求证：A，O，F三点共线；（3）求证：EA＝EF．23．如图，△ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，直线EF与直线AI，BI，DI分别相交于点M，N，K．证明：DM•KE＝DN•KF．24．如图所示，在四边形ABCD中，已知BA＝AD＝DC，AC≠BD，AC与BD交于点P，∠ABC+∠BCD＝120°，求证：PB＝PC．（提示：在解答本题时，可能用到以下结论：对角互补的四边形内接于圆，简称四点共圆）25．（本题证明值可直接利用如下结论：若公共边所对的两个张角相等，则相应的四点共圆．例如如图1，由∠ACB＝∠ADB，可得四点A、B、C、D共圆）如图2，圆内接五边形ABCDE 中，AD是外接圆的直径，BE⊥AD，垂足为H，过点H作平行于CE的直线，与直线AC，DC分别交于F，G．证明：（1）点A，B，F，H共圆；（2）四边形BFCG是矩形．26．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，连接OD．（1）求证：OD⊥DE；（2）求证：O、A、E、D四点共圆．（3）△ABC满足什么条件时，经过O、A、E、D的圆与BC相切？并说明理由．27．如图，圆O内接四边形ABCD的对边AD，BC延长线交于点P，对角线AC，BD交于点Q，设△PDB的外接圆交直线PQ与P和另一个点K，求证：（1）OK⊥PQ（2）C，D，O，K四点共圆；（3）三条直线AB，OK，DC交于一点．28．如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，自对角线AC、BD的交点N作NM ⊥AB于点M，线段AC、MD交于点E，BD、MC交于点F，P是线段EF上的任意一点．证明：点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和．29．如图，Rt△ABD，∠BAD＝90°，A、B、C、D四点共圆，且∠BAE＝∠C．（1）确定圆的位置，圆心记为点O（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（2）求证：AE与⊙O相切于点A：（3）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求半径的长．30．阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．31．如图，在△ABC中，过A作BC的垂线，垂足为D，O为AD的中点，以AD为直径的⊙O分别与边AB、AC交于点E、F．试求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）B、C、F、E四点共圆吗？说明理由．32．如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，∠BGD＝∠BAD＝∠C．（1）求证：BD•BC＝BG•BE；（2）如果∠BAC＝90°，求证：AG⊥BE．33．如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过点E、F 分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥AB．34．如图1，在四边形ABCD中，找一点P，使得点P到A、B、C、D的距离之和最小，即P A+PB+PC+PD的值最小，并说明理由．如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，BN是∠ABC的角平分线，且BN⊥CD，点N为垂足，若DN＝CN，若四边形ABCD的面积为，求四边形ABND的面积．若在四边形ABCD中，满足∠A+∠C＝180°，则可以得到A、B、C、D四点共圆．问题解决：如图3所示，在四边形ABCD是一个不规则的便民活动场所，其中AB＝AD ＝CD，BC＝1000米，∠ABC+∠BCD＝120°，根据政府的要求，在活动场所中建立一个标志建筑P，要求满足标志P到便民场所的四个顶点A、B、C、D的距离之和最短，并且标志建筑P到点B与点C的距离相等，若你是该项目的工程师，请问是否存在这样的点P满足政府的要求？若存在，请你用相关几何知识进行说明，并在图中标注点P的位置，并求出此时点P距离BC的距离．若不存在，请说明理由．35．已知，在四边形ABCD中，连接AC、BD．（1）如图1，若AC＝AD，∠BAC＝∠BDC，∠ABD＝∠BDC+60°，求证：AB＝DB．（2）如图2，在（1）的条件下，以AB为斜边作Rt△ABF，∠AFB＝90°，连接FD交AB于点E，当DF⊥AB，AE＝9，∠F AB＝30°时，求CB的值．36．已知△ABC中，∠A＝60°，E、F分别为AB、AC延长线上的点，且BE＝CF＝BC，△ACE的外接圆与EF交于不同于E的点K，设BF与CE交于点T．（1）证明：A、B、T、C四点共圆；（2）证明：点K在∠BAC的角平分线上．37．[发现]如图∠ACB＝∠ADB＝90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）[思考]如图②，如果∠ACB＝∠ADB＝a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D 还在经过A，B，C三点的圆上吗？我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在圆O外，要么在圆O内，以下该同学的想法说明了点D不在圆O外．（如图③，过A，B，C三点作圆，圆心为O，假设点D在圆O外，设AD交圆O于点E，连接BE，则∠AEB＝∠ACB，又由∠AEB是△BDE的一个外角，得∠AEB＞∠ADB，因此∠ACB＞∠ADB，就与条件∠ACB＝∠ADB矛盾，所以点D不在圆O外）请结合图④证明点D也不在⊙O内．[结论]综上可得结论：如图②，如果∠ACB＝∠ADB＝a（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：点A、B、C、D四点共圆．[应用]利用上述结论解决问题：如图⑤，已知△ABC中，∠C＝90°，将△ACB绕点A顺时针旋转一个角度得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F，（1）求证：点B、C、A、F四点共圆；（2）求证：BF＝EF．38．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠P AC＝90°，AB＝2，求PD的长．39．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，CE平分△ABC的外角∠ACM，点在BC上，连接AD、DE，如果∠ADE＝60°，求证：AD＝DE．（2）如果△ABC为任意三角形，且∠ACB＝60°，其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理由．40．如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，点D在AC的垂直平分线上，射线BD与BC所夹锐角为30°，连接AD．（1）求证：AB＝AD；（2）如图2，AD交BC于点E，将∠CBD沿BD翻折交CD的延长线于点F，直接写出DF与DE的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，延长AB，CD交于点H，若∠H＝30°，HB＝b，△ABE 的面积为a，求AB的长（用含a，b的式子表示）．参考答案一．选择题1．解：如图，连接DE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4，∵D是BC中点，∴CD＝BC＝2，∵∠CAD＝∠CBE，∴点A，点B，点D，点E四点共圆，∴∠ABD＝∠DEC＝90°，∴∠C＝∠EDC＝45°，∴DE＝CE＝CD＝，∴AE＝AC﹣CE＝3，解法二、∵∠CAD＝∠CBE，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBE，∴，∴＝，∴BE＝，解直角三角形可求：AE＝2+＝3，解法三、作BF垂直于AC交于F，∴AF＝BF＝CF＝2，∵∠CAD＝∠CBE，∴点A，点B，点D，点E四点共圆，∴∠BDA＝∠BEA，∴tan∠BDA＝tan∠BEA＝＝＝2，∵BF＝2，∴EF＝，AE＝3．故选：B．2．解：∵AP⊥BN，∴∠P AM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠P AM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△P AM∽△PBC，故①正确；∵△P AM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，故③正确；∵AP⊥BN，∴∠APN＝∠APB＝90°，∴∠P AN+∠ANB＝90°，∵∠ANB+∠ABN＝90°，∴∠P AN＝∠ABN，∵∠APN＝∠BP A＝90°，∴△P AN∽△PBA，∴，∵△P AM∽△PBC，∴，∴，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故④正确；故选：A．3．解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．4．解：∵∠3+∠4＝180°，∴A、O、B、C四点共圆，（1）正确；作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，如图所示：则∠CDA＝∠CEB＝90°，∵∠1＝∠2，∴CD＝CE，∵∠3+∠4＝180°，∠3+∠CAD＝180°，∴∠CAD＝∠4，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴AD＝BE，AC＝BC，（2）正确；∵cos∠1＝＝，cos∠2＝＝，∴cos∠1+cos∠2＝+＝＝，∵∠1＝∠2，∴cos∠1＝cos∠2，∴2cos∠1＝，∴cos∠1＝，（3）正确；∵CD＝CE，sin∠1＝，∴CD＝c×sin∠1，∴S四边形AOBC＝S△OAC+S△BOC＝a×CD+b×CE＝（a+b）CD＝（a+b）×c×sin∠1＝，（4）正确；正确的结论有4个，故选：D．5．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠DAM＝90°，∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，∴∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，∴∠DAM＝∠AND，故①正确；②∵四边形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△EMF，∴，∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM＝b，∴EF＝b，CM＝a﹣b，ME＝（a﹣b）+b＝a，∴，∴CP＝b﹣；故②正确；③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴GN＝ME，∵AB＝a，ME＝a，∴AB＝ME＝NG，在△ABM与△NGF中，，∴△ABM≌△NGF；故③正确；④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴AM＝AN，∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴NF＝MF，∵△ABM≌△NGF，∴AM＝NF，∴四边形AMFN是矩形，∵∠BAM＝∠NAD，∴∠BAM+DAM＝∠NAD+∠DAN＝90°，∴∠NAM＝90°，∴四边形AMFN是正方形，∵在Rt△ABM中，a2+b2＝AM2，∴S四边形AMFN＝AM2＝a2+b2；故④正确；⑤∵四边形AMFN是正方形，∴∠AMP＝90°，∵∠ADP＝90°，∴∠AMP+∠ADP＝180°，∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．故选：D．6．解：①正确．理由如下：如图1中，∵∠ACB＝90°，∠EDF＝90°，∴∠MCN+∠MDN＝180°，∴点C，M，D，N四点共圆．②正确．理由如下：如图2中，连接CD．∵AC＝BC．AD＝DB．∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN．故②正确．③正确．理由如下：如图3中∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，CD⊥AB，∠A＝∠ACD＝∠DCN＝45°，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN，∴AM＝CN，DM＝DN，∵AC＝BC，∴CM＝BN，∴DN•CM＝BN•DM④正确．理由如下：如图4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴DH＝DG，∵∠DHC＝∠HCG＝∠CGD＝90°，∴四边形CHDG是矩形，∵DH＝DG，∴四边形CHDG是正方形，∴∠HDG＝∠MDN＝90°，CH＝CG，∴∠MDH＝∠GDN，在△DHM和△DGN中，，∴△DHM≌△DGN，∴MH＝NG∴CM+CN＝CH+MH+CG﹣NG＝2CH，∵AD＝CD＝CH，∴CM+CN＝AD．⑤正确．理由如下：如图5中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．∵AB＝6，BD＝2AD，∴AD＝2，BD＝4，∴AH＝DH＝，DG＝GB＝2，∵∠DHC＝∠HCG＝∠CGD＝90°，∴四边形CHDG是矩形，∴∠HDG＝∠MDN，∴∠MDH＝∠NDG，∵∠DHM＝∠DGN＝90°，∴△DHM∽△DGN，∴＝＝，设DM＝x，则DG＝2x，∴S△DMN＝•2x•x＝x2，当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝DH＝，△DMN的面积最小值为2，当DM⊥AB时，DM的值最大，此时DM＝AD＝2，△DMN的面积的最大值为4，∴2≤S△DMN≤4．故选：D．7．解：解法一：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，如图1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，∴∠AEP＝∠ADP＝90°，∴∠AEP+∠ADP＝180°，∴A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，在Rt△PDC中，∠C＝45°，∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD＝45°，∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠P AD＝45°，∴∠PED＝∠P AD＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AED＝∠C＝45°，∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，∴，设AD＝2x，则PD＝DC＝2x，AP＝2x，如图2，取AP的中点O，连接EO，则AO＝OE＝OP＝x，∵∠EAP＝∠BAC﹣∠P AD＝60°﹣45°＝15°，∴∠EOP＝2∠EAO＝30°，过E作EM⊥AP于M，则EM＝x，cos30°＝，∴OM＝x•＝x，∴AM＝x+x＝x，由勾股定理得：AE＝，＝，＝（+1）x，∴＝，∴ED＝．则线段DE的最小值为；解法二：如图3，取AP的中点F，连接EF、DF，有EF＝DF＝AP，∠EFD＝120°，∴△EFD为顶角为120°的等腰三角形，∴当AP⊥BC时，线段DE的值最小，如图4，作AB的中垂线，交AP于一点O，交AB于G，连接OB，设OA＝OB＝2x，∵∠BOP＝2∠BAO＝30°，∴BP＝x，OP＝x，∴AP＝PC＝（2+）x，∵BC＝6﹣2，∴x+2x+x＝6﹣2，x＝4﹣2，∴AP＝（2+）x＝（2+）（4﹣2）＝2，∴EF＝FD＝1，如图5，过F作FH⊥ED于H，∴EH＝DH，∵∠FED＝30°，∴FH＝，∴EH＝DH＝，∴DE＝；故选：B．8．解：如图，在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF∴∠NFD＝∠NDF，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ADC+∠B＝180°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∴∠AMN+∠ADN＝180°，∴A，D，N，M四点共圆，∴∠MND+∠MAD＝180°，∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠END+2∠DFN＝∠END+2∠DAE＝180°，∴∠DFN＝∠DAE，∴A，F，E，D四点共圆，∴∠DEN＝∠DAF，∠AFM＝∠ADE，∴∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND＝∠EDN＝∠ADE＝∠AFM，∴MA＝MF，∴MN＝MF+NF＝MA+ND．故选：D．二．填空题9．解：如图，连接AE，CF，DE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴∠BED＝∠BCF，∠AED＝∠ACD＝∠ACB，∴∠ABD＝∠AED，∴点A，E，B，D四点共圆，∴∠BED＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BCF，∴点A，B，F，C四点共圆，∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABD，∴△AFB∽△ABD，∴，∴AD•AF＝AB2＝（）2＝5，故答案为：5．10．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠DAM＝90°，∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，∴∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，∴∠DAM＝∠AND，故①正确；②∵四边形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△MFE，∴＝，∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM＝b，∴EF＝b，CM＝a﹣b，ME＝（a﹣b）+b＝a，∴＝，∴CP＝b﹣；故②错误；③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴GN＝ME，∵AB＝a，ME＝a，∴AB＝ME＝NG，在△ABM与△NGF中，，∴△ABM≌△NGF（SAS）；故③正确；④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴AM＝AN，∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴NF＝MF，∵△ABM≌△NGF，∴AM＝NF，∴四边形AMFN是矩形，∵∠BAM＝∠NAD，∴∠BAM+DAM＝∠NAD+∠DAN＝90°，∴∠NAM＝90°，∴四边形AMFN是正方形，在Rt△ABM中，a2+b2＝AM2，∴S四边形AMFN＝AM2＝a2+b2；故④正确；⑤∵四边形AMFN是正方形，∴∠AMP＝90°，∵∠ADP＝90°，∴∠AMP+∠ADP＝180°，∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．故答案为：①③④⑤．11．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠ABD＝∠ACD＝72°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝18°，故答案为：18°．12．解：如图，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAC＝2∠ACB，∵∠CAE＝2∠ACD，∴∠CAD+∠CAE＝2∠ACB+2∠ACD＝2（∠ACB+∠ACD），∴∠DAE＝2∠BCD，∵∠BAE＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠BAE＝120°，∴∠BCD＝60°，∴∠DAE+∠DCB＝180°，∴点A，E，C，D四点共圆，连接DE，∴∠ADE＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ABC，过点E作EF⊥AB于E，∴BF＝DF，设AF＝x，则BF＝DF＝AF+AD＝x+3，∴AB＝2x+3，在Rt△AFE中，∠BAE＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AE＝2x，EF＝x，∵△ABE的面积为10，∴S△ABE＝AB•EF＝（2x+3）•x＝10，∴x＝﹣4（舍）或x＝，∴AE＝5，BF＝，AB＝2x+3＝8，EF＝，BD＝2BF＝11，根据勾股定理得，BE＝＝7，∵∠DCB＝60°＝∠BAE，∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCD，∴，∴，∴CD＝，故答案为．13．解：如图，∵OC⊥AB于C，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，NA＝NB，∵∠BPM＝∠AOB，∴∠BPM＝∠BOC，∴O、M、B、P四点共圆，∴①正确．∵四边形AMBN为凹四边形．∴A、M、B、N不共圆，∴②错误．∵NA＝NB，∴∠NAB＝∠NBA，∵∠NAB+∠NBA+∠ANP＝180°，∴∠ANP+2∠NBA＝180°∵∠AOP＝2∠NBA，∴∠AOP+∠ANP＝180°，∴A、O、P、N四点共圆，∴③正确．故答案为：①③14．解：如图，连接AF，DG，∵AE＝AC，DE＝DB，点F，点G是CE，BE的中点，∴AF⊥CE，DG⊥BE，∴∠AFD＝∠AGD＝90°，∴点A，点F，点G，点D四点共圆，∴∠DFG＝∠GAD＝25°，∵∠AFD＝90°，点M是AD中点，∴AM＝FM＝DM，∴∠DFM＝∠FDM，且∠AMF＝∠FDM+∠DFM＝40°，∴∠DFM＝20°，∴∠MFG＝∠MFD+∠DFG＝45°，故答案为45°．15．解：过点C作CM⊥CF交BD延长线于点M，连接AM，∵∠DOC＝30°，∴∠BMC＝∠BAC＝∠BFC＝60°，∴A、F、B、C、M五点共圆，∴∠AMB＝∠ACB＝60°，∵OC＝、∠COD＝30°，∴OM＝＝2＝OA，∴△AOM是等边三角形，∴∠AOM＝60°，∵∠AOM＝60°＝∠OMC，∴MC∥AO，∴＝＝＝，∴OD＝OM＝，DM＝OM＝，∵A、F、B、M四点共圆，∴∠F AM＝180°﹣∠FBM＝90°，∴∠EAG＝∠F AM﹣∠OAM＝30°，∴∠OGD＝∠AGE＝60°，∴△ODG是等边三角形，∴AG＝OA﹣OG＝OM﹣OD＝DM＝，∴EG＝AG＝，∴DE＝DG+EG＝OD+EG＝，故答案为：．16．解：如图，在Rt△ACD中，AC＝AD＝6，∴CD＝6，∠ACD＝∠ADC＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，连接CE，在Rt△ACE中，AC＝6，AE＝AD﹣DE＝2．∴CE＝＝2，取CE的中点O，连接OB，∵∠CBE＝∠CAE＝90°，∴点A，B，C，E在以点O为圆心，CE为直径的圆上，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，OB＝OC＝CE＝∵OB＝OC，∴BC＝OB＝2，过点E作EH⊥CD，∵∠ADC＝45°，∴△DEH是等腰直角三角形，∵DE＝4，∴EH＝DH＝DE＝2，过点A作AM⊥CD，∴EH∥AM，∴＝，∴AM＝EH＝3，过点B作BG⊥CD，∴四边形ABGH是矩形，∴BG＝AM＝3，在Rt△BCG中，BC＝2，BG＝3，∴CG＝＝，∴DG＝CD﹣CG＝6﹣＝5，在Rt△BDG中，BG＝3，DG＝5，∴BD＝＝2．故答案为：2．17．解：作OG⊥DF于G，连接OG，如图所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∠AOD＝90°．∵DF⊥AE，即∠AFD＝90°，∴∠AOD＝∠AFD．∴A、O、F、D四点共圆．∴∠OFG＝∠DAO＝45°．∵OG⊥DF，即∠OGF＝90°，∴∠FOG＝45°＝∠OFG．∴OG＝FG．∵∠AFD＝90°，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DF＝1．设GF＝GO＝x，则有DG＝DF+FG＝1+x，OF＝＝x．在Rt△AOD中，OD＝AD•sin∠DAO＝2×＝．在Rt△OGD中，∵∠OGD＝90°，∴OG2+DG2＝OD2．∴x2+（1+x）2＝（）2．解得：x1＝﹣+，x2＝﹣﹣（舍去）．所以OF＝x＝﹣．故答案为：﹣．三．解答题18．证明：∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形．19．证明：如图，延长AM至G，使GM＝AM，∵BK＝CK，∴四边形ABGC是平行四边形，∴BG＝AC，CG＝AB，∠BGC＝∠BAC，∵∠BKC＝180°﹣∠BAC，∴∠BKC+∠BGC＝180°，∴点C，G，B，K四点共圆，∴∠CBK＝∠CGK，∵∠BMK＝∠CMK，∴△BMK∽△GMC，∴＝，同理：，∴＝1，过点D作DQ⊥AC于Q，作DP⊥AB于P，则DQ＝DP，∴，∵，∴＝，过点D作DH⊥BK于H，在Rt△DHK中，DH＝DK•sin∠BKD，∴S△BKD＝BK•DH＝BK•DK•sin∠BKD，同理：S△CKD＝CK•DK•sin∠CKD，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝＝1，∴∠BKD＝∠CKD．20．（1）解：①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝60°，由旋转知，CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），故答案为：△BCE；②由①知，△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC+∠FDC＝180°，∴∠BEC+∠FDC＝180°，∴C，D，F，E四点共圆，∴∠AFE+∠DCE＝180°，∵∠AFB+∠AFE＝180°，∴∠AFB＝∠DCE＝60°，故答案为：60°；（2）证明：由（1）②中，已证；（3）由（1）①知，△DCE是等边三角形，∴CE＝DE，由（1）②知，∠DFE＝180°﹣∠DCE＝120°，由（2）知，点C，D，F，E四点共圆，∴∠CFE＝∠CDE＝60°，在FC上取一点G，使FG＝FE，∴△EFG是等边三角形，∴EG＝FE，∠EGF＝60°，∴∠CGE＝120°＝∠DFE，∵点C，D，F，E四点共圆，∴∠ECG＝∠EDF，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，∴FC＝FG+CG＝FE+FD，故答案为：FC＝FE+FD．21．证明：如图，连接CD，CE，CF，CG，AE与BC的交点记作A'，BG与AC的交点记作B'，两圆的另一个交点记作C'∵BC是⊙O1的直径，BC⊥DE，∴BC是DE的中垂线，∴CD＝CE，∵AC是⊙O2的直径，AC⊥FG，∴AC是FG的中垂线，∵CF＝CG，连接BE，AG，∴∠BEC＝∠AGC＝90°，∴CE2＝CB•CA'，CG2＝CA•CB'（射影定理）．∵∠BA'A＝∠BB'A＝90°，∴A，B，A'，B'四点共圆，∴CB•CA'＝CA•CB，∴CE＝CG，∴CE＝CD＝CG＝CF，即E，F，D，G四点共圆，且圆心为C．22．证明：（1）如图1，连接OA，OC，∵AB＝AC，点O为△ABC的外心，∴AO平分∠BAC，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝∠BAC＝（180°﹣2∠B）＝90°﹣∠B，∵OG⊥CD，CD平分∠ACB，∴∠OEC＝90°﹣∠ECD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣∠B∴∠COE＝180°﹣∠OEC﹣∠OCA＝180°﹣（90°﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝∠B，∵EF∥AB，CD平分∠ACB，∴∠CFE＝∠CDA＝∠ABC+∠DCB＝∠B，∴∠COE＝∠CFE，∴点C，E，O，F四点共圆，（2）如图2，连接OF，∵O为△ABC的外心，∴∠AOC＝2∠B，由（1）知，点C，E，O，F四点共圆，∵EF∥AB，∴∠FOC＝∠FEC＝∠BAC，∴∠AOC+∠FOC＝2∠B+∠BAC＝180°，∴点A，O，F三点共线，（3）由（1）知，点C，E，O，F四点共圆，∴∠OFE＝∠OCE＝∠OAC，∴EA＝EF．23．证明：连接IE，如图所示：∵△ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，∴ID⊥AB，IE⊥BC，∴∠IDB＝∠IEB＝90°，∴∠IDB+∠IEB＝180°，∴I，D，B，E四点共圆．又∵∠AID＝90°﹣∠IAD，∠MED＝∠FDA＝90°﹣∠IAD，∴∠AID＝∠MED，∴I，D，E，M四点共圆．∴I，D，B，E，M五点共圆，∠IMB＝∠IEB＝90°，即AM⊥BM．同理，I，D，A，N，F五点共圆，且BN⊥AN．设直线AN，BM交于点G，则点I为△GAB的垂心．又ID⊥AB，∴G，I，D共线．∵G，N，D，B四点共圆，∴∠ADN＝∠G．同理∠BDM＝∠G．∴DK平分∠MDN，∴①．又由I，D，E，M；I，D，N，F分别共圆，∴KM•KE＝KI•KD＝KF•KN，∴②．由①，②得：，∴DM•KE＝DN•KF．24．解：延长BA、CD交于点E，如图1．∵∠ABC+∠BCD＝120°，∴∠E＝180°﹣120°＝60°，∴∠EAD+∠EDA＝180°﹣60°＝120°．∵BA＝AD＝DC，∴∠1＝∠5，∠4＝∠6，∴∠EAD＝∠1+∠5＝2∠5，∠EDA＝∠4+∠6＝2∠6，∴∠EAD+∠EDA＝2∠5+2∠6＝120°，∴∠5+∠6＝60°，∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，∴∠E+∠APD＝180°，∴E、A、P、D四点共圆．连接EP，如图2．∵E、A、P、D四点共圆，∴∠5＝∠8，∠6＝∠7，∴∠1＝∠5＝∠8，∠4＝∠6＝∠7，∴PE＝PB，PE＝PC，∴PB＝PC．25．证明：（1）由HG∥CE，得∠BHF＝∠BEC，又∵＝，∴∠BAF＝∠BEC，∴∠BAF＝∠BHF，∴点A、B、F、H共圆；（2）由（1）的结论，得∠BHA＝∠BF A，∵BE⊥AD，∴BF⊥AC，又∵AD是圆的直径，∴CG⊥AC，由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，∴∠BFG＝∠DAB＝∠BCG，∴B、G、F、H共圆，∴∠BGC＝∠AFB＝90°，∴BG⊥GC，∴四边形BFCG是矩形．26．（1）证明：连接OE，如图1所示：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∵OA＝OB，AE＝EC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC，∴∠AOE＝∠B，∠EOD＝∠ODB，∵OA＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠AOE＝∠EOD，在△AOE和△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠BAC＝90°，∴OD⊥DE；（2）证明：连接OE，取OE的中点为Q，连接QA、QD，如图2所示：由（1）得：∠ODE＝∠BAC＝90°，∴QD＝OE＝QO＝QE，QA＝OE＝QO＝QE，∴QA＝QO＝QD＝QE，∴O、A、E、D在以Q为圆心，OE为直径的圆上，即O、A、E、D四点共圆；（3）解：AB＝AC或∠B＝45°或∠C＝45°时，经过O、A、E、D的圆与BC相切，理由如下：如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC或∠B＝45°或∠C＝45°时，△ABD是等腰直角三角形，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∴∠AOB＝90°＝∠OAE＝∠ODE，∴四边形OAED是矩形，∵OA＝OD，∴四边形OAED是正方形，∴OE与AD互相垂直平分且相等，∵Q为OE的中点，∴QD＝QA＝QO，∴经过O、A、E、D的圆与BC相切．27．证明：如图，连接OD、OC、CK、OB、OA、AK、BK．在⊙O中，弦AC、BD交于点Q，∴AQ•CQ＝BQ•DQ，在⊙O'中，弦BD、PK交于点Q，∴BQ•DQ＝PQ•KQ，∴AQ•CQ＝PQ•KQ，∴A、K、C、P四点共圆，∴∠CAP＝∠CKP，∵∠CAP＝∠CAD＝∠CBD＝∠DBP＝∠DKP，∴∠CKP＝∠DKP，∴∠CKD＝2∠CKP＝2∠CBD＝∠COD，∴C、D、O、K四点共圆，结论（2）得证．∴∠OKD＝∠OCD∵OD＝OC，∴∠OCD+∠COD＝90°，∴∠OKD+∠COD＝∠OKD+∠DKP＝∠OKP＝90°，∴OK⊥PQ，结论（1）得证．∵∠KBQ＝∠KBD＝∠KPD＝∠KP A＝∠KCA＝∠KCQ，∴K、B、C、Q四点共圆，∴∠KQB＝∠KCB＝∠KAP＝∠KAD，∵∠BKQ+∠KQB+∠KBQ＝180°，且∠BKQ＝∠BKP＝∠BDP＝∠DAB+∠DBA ∴∠DAB+∠DBA+∠KQB+∠KBQ＝180°，∵∠DAB+∠DBA+∠ADB＝180°，∴∠KQB+∠KBQ＝∠ADB，∴∠AKB＝∠ADB+∠DAK+∠DBK＝∠ADB+∠KQB+∠QBK＝2∠ADB，∵∠AOB＝2∠ADB，∴∠AOB＝∠AKB，∴A、O、K、B四点共圆，∴AB为⊙O与⊙（ABKO）的公共弦，OK为⊙（ABKO）与⊙（OKCD）的公共弦，CD为⊙O与⊙（OKCD）的公共弦，由蒙日定理可知AB、OK、DC交于点一E．结论（3）得证．28．解：如图，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，∵NM⊥AB，∴∠NCB＝∠NMB＝90°，∴B、C、N、M四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD＝∠MCN，故AC平分∠DCM，同理，BD平分∠CDM，过P作PH⊥MC于点H，PG⊥MD于点G，PT⊥CD于点T；过点P作XY∥MC，交MD 于点X，交AC于点Y；过点Y作YZ∥CD，交MD于点Z，交PT于点R；再作YH1⊥MC于点H1，YT1⊥CD于点T1，由平行线及角平分线的性质得PH＝YH1＝YT1＝RT．为证PT＝PG+PH，只须证PR＝PG，∵PY∥CF，∴＝，∵YZ∥CD，∴＝，∴＝，∴ZP∥DF，由于△XYZ与△MCD的对应边分别平行，∵DF平分∠MDC，∴ZP是∠XZY的平分线，∵PG⊥DM，PR⊥ZY，∴PR＝PG，∴PT＝PR+TR＝PH+PG，即点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和．29．解：（1）如图1所示，点O为所求作的图形；（2）证明：如图2，连接OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAE＝∠C，∴∠ODA＝∠C＝∠BAE，∴∠BAE＝∠OAD，∵∠BAD＝90°，∴∠OAE＝∠OAB+∠BAE＝∠OAB+∠OAD＝∠BAD＝90°，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；（3）由（2）知，OA⊥AE，∵AE∥BC，∴OA⊥BC，垂足记作F，∴BF＝CF＝BC＝×2＝，在Rt△AFC中，AC＝2，∴AF＝＝1设⊙O的半径为r，∴OF＝r﹣AF＝r﹣1，在Rt△OFB中，OB2＝BF2+OF2，即：r2＝（）2+（r﹣1）2，∴r＝4，即：⊙O的半径的长为4．30．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故答案为：55°；（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∵∠F AD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，∴∠F AD＝∠BDE，在△ADF和△DEB中，，∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD＝2；（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：。

专题：四点共圆一．选择题1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆．②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③2. 如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A. 40°B. 60°C. 70°D. 80°3. 如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A. AB=AEB. AB=BEC. AE=BED. AB=AC4. 如图，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交于点F．则sin∠CAE的值为（）A．B．C．D．5. 如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点．若AB=4ED，则cos∠ABC的值是（）A. B. C. D.6. 如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6-2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（）A. 3-3B.C. 4-6D. 27. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB：BC=2：3，AD=DC，点P在对角线BD上，已知△ABP的面积等于6cm2，则△BCP的面积等于（）cm2．A. 8B. 9C. 10D. 128.四边形ABCD内接于圆，且CD=1，AB=√2，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积是（）A. 3+√33B. √3+2√24C. √3+2√23D. 3+√349. 在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）A. BM+DNB. AM+CNC. BM+CND. AM+DN10. 如图，已知∠A的平分线分别与边BC、△ABC的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、MC交于点P、Q，下列判断错误的是（）A. 无论直线l的位置如何，总有直线PM与△ABD的外接圆相切B. 无论直线l的位置如何，总有∠PAQ＞∠BACC. 直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆D. 直线l选取适当的位置，可使S△APQ＜S△ABC11.如图，一副直角三角板满足∠ACB=∠EDF=90°，AC=BC，AB=DF，∠EFD=30°，将三角板DEF的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D旋转，并使边DE 与边AC交于点M，边DF与边BC于点N．当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：①点C，M，D，N四点共圆；②连接CD，若AD=DB，则△ADM∽△CDN；③若AD=DB，则DN•CM=BN•DM；④若AD=DB，则CM+CN=AD；⑤若DB=2AD，AB=6，则2≤S△DMN≤4．其中正确结论的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5二．填空题12. 如图，已知等腰三角形ABC，∠ACB=120°且AC=BC=4，在平面内任作∠APB=60°，BP最大值为_____．13. 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径.过点D的切线交BA的延长线于点E.若∠ADE＝25°，则∠C＝ ______ .14. 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=______度．15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=______．16. 如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，则OH=______，BM=______．17. 如图，在⊙O内接四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=6，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为11，则△BEF的面积为____．18. 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1 989 ，P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA:PB＝5:14，则PB＝ ______ .19. 已知△ABC为等腰直角三角形,∠C为直角,延长CA至D,以AD为直径作圆,连BD与圆O交于点E,连CE,CE的延长线交圆O于另一点F,那么的值等于．20. 如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC的中点，点E在AC边上，以DE为腰作等腰Rt△DEF，连接CF，BF．若CE=1，△CDF的面积为7.5，则BF的长为____．三．解答题21. （1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，CE平分△ABC的外角∠ACM，点在BC上，连接AD、DE，如果∠ADE=60°，求证：AD=DE．（2）如果△ABC为任意三角形，且∠ACB=60°，其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理由．22. 如图,已知点P是⊙O外一点,PS,PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A,B两点,并交ST于点C．求证：．23. 如图，A、B、C、D四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于点F，∠AED的平分线EX与∠AFB的平分线FX交于点X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．24. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．(1) 求证：∠A=∠AEB；(2) 如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．25. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为上一动点（不与点C，D重合）.（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；（2）若∠A=90°，=.求证：PB-PD=PC.26. 如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．27. 如图，在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．28. 如图,O是Rt△ABC斜边AB的中点,CH⊥AB于H,延长CH至D,使得CH=DH,F为CO上任意一点,过B作BE⊥AF于E,连接DE交BC于G．(1)求证：∠CAF=∠CDE;(2)求证：CF=GF．29. 已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于G，∠ACB的平分线交⊙O于D，E在AC上，BE交AD于F，∠CBD=∠EBD．求证：DF=DG．30. 如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH2=AH•OH．31. 如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH•PQ．参考答案1. C．2. D．3.C．4. D．5.A．6. B.7. B．8. D．9.D．10.C．11.D．12. 8．13. 115°14. 38°．15.2．16. ，AB．17. ；18.42cm．19.．20. ．21. （1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACM=120°，∴CE平分∠ACM，∴∠ACE=∠ECM=60°，∵∠ADE=60°，∠ACE=60°，∴∠ADE=∠ACE，∴A、D、C、E四点共圆，∴∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE．（2）结论成立．DA=DE．理由：如图2中，连接AE，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=180°-∠ACB=120°，∴CE平分∠ACM，∴∠ACE=∠ECM=60°，∵∠ADE=60°，∠ACE=60°，∴∠ADE=∠ACE，∴A、D、C、E四点共圆，∴∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE．22.证明：连PO交ST于点D,则PO⊥ST; 连SO,作OE⊥PB于E,则E为AB中点,于是因为C,E,O,D四点共圆,所以PC•PE=PD•PO又因为Rt△SPD∽Rt△OPS所以即PS 2=PD•PO而由切割线定理知PS 2=PA•PB所以即23. 证明：（1）连接AX.由图知：∠FDC是△ACD的一个外角，则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①同理，得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠FDC=∠ABC.又∵∠ABC+∠EBC=180°，即：∠FDC+∠EBC=180°，③①+②，得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB），由③，得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；∵FX、EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线，∴∠AFB=2∠AFX，∠AED=2∠AEX，代入上式得：2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°，即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°.由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX，故FXE=90°，即FX⊥EX．（2）连接MF、FN，ME、NE.∵∠FAC=∠FBD，∠DFB=∠CFA，∴△FCA∽△FDB，∴.∵AC=2AM，BD=2BN，∴.又∵∠FAM=∠FBN，∴△FAM∽△FBNA，得∠AFM=∠BFN.又∵∠AFX=∠BFX，∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN，即∠MFX=∠NFX.同理可证得∠NEX=∠MEX，故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．24. (1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠A=∠AEB(2)证明：∵DC⊥OE，∴DF=CF，∴OE是CD的垂直平分线，∴ED=EC，又DE=DC，∴△DEC为等边三角形，∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB，∴△ABE是等边三角形．25. 解：（1）连接AC.∵∠D=90°，∴AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.∵∠BAC=∠BPC=30°，∴AC=2BC=6，所以⊙O的半径为3；（2）∵∠BAD=90°，∴∠BCD=90°.∵AC为⊙O直径，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形.∵=，∴AB=AD，∴矩形ABCD为正方形，∴BC=DC.在BP上截取BE=DP，连接CE，DP.∵BE=DP，∠CBP=∠PDC，BC=DC，∴△BCE≌△DCP，∴∠BCE=∠DCP，PC=CE，又∵∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴∠DCP+∠ECD=∠ECP=90°，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=PC，∴PB-BE=PB-PD=PE=PC.26. 【解答】证明：如图，连接GD和GE．∵∠BDC=∠BEC=90°，BG=GC，∴，又∵DF=EF，∴GF⊥DE，延长OA交DE于H．∵∠BDC=∠BEC=90°∴B，C，E，D四点共圆，，即，又∵OA=OB，∴，∠EAH+∠AEH=90°，∴AD⊥DE，即OA⊥DE∴AO∥FG．27. 解：延长AH交BC于P，连接DF，如图．由题知∠ADB=∠CDB=∠CEB=∠AEC=90°，∵BC=25，BD=20，BE=7，∴CD=15，CE=24．又∵∠DAB=∠EAC，∠ADB=∠AEC，∴△ADB∽△AEC，∴==，①由①得：，解得，∵∠AEC=90°，AD=CD=15，∴DE=AC=15．∵点F在以DE为直径的圆上，∴∠DFE=90°，∵DA=DE，∴AF=EF=AE=9．∵∠CDB=∠CEB=90°，∴D、E、B、C四点共圆，∴∠ADE=∠ABC．∵G、F、E、D四点共圆，∴∠AFG=∠ADE，∴∠AFG=∠ABC，∴GF∥BC．∴=．②∵H是△ABC的垂心，∴AP⊥BC，∴S△ABC=AB•CE=BC•AP，∵BA=BC=25，∴AP=CE=24，由②得AK===8.64．28. 证明：(1)连接BD,∵△ABC是Rt△,BE⊥AF∴∠BEA=∠ACB=90°,∴A,B,C,E四点共圆,且AB是此圆直径, 又∵CH⊥AB,CH=DH,∴D在此圆上,∴A,B,C,D,E五点共圆,∴∠CAF=∠CDE;(2)由(1)得：∠CDB=∠CAO,∠BCD=∠ACO,∴△AOC∽△DCB,同理可证：△AOF∽△DBG,△ACF∽△DCG,∴= , = , = ,∴= ,∴= ,∴GF∥BO,又∵O是AB的中点,∴CF=GF．29. 证明：∵CB是⊙O的切线，∴∠CBD=∠BAD．∵BD平分∠EBC，∴∠CBD=∠EBD．Rt△ABD中，∠EBD+∠BFD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BFD=∠ABD．又∵四边形AGDB内接于⊙O，∴∠CGD=∠ABD=∠BFD．过D作DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，∵点D是∠EBC和∠ECB角平分线的交点，∴点D是△EBC的内心，则DM=DN．又∵∠DMF=∠DNG=90°，∠BFD=∠CGD，∴△DMF≌△DNG．∴DF=DG．30. 解：连接OC、BC，∵C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，∴∠BOC=∠BHC=90°，则点O、B、C、H四点共圆，∴∠OHB=∠OCB=45°，∵∠BCM=90°，CH⊥BM，M为AC的中点，∴AM2=CM2=MH•MB，即=，∴△AMH∽△BMA，则∠MAH=∠MBA，∠AHN=∠BAM=45°，∴∠AHM=∠BHO，∴△AMH∽△BOH，∴=，则AH•OH=MH•BH，∵CH2=MH•HB，∴CH2=AH•OH．31.证明：连接CH并延长交AB于K，连接EQ，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴H是△ABC的垂心，∴CK⊥AB，∵∠CEH=∠BKH，∠EHC=∠KHB，∴∠3=∠4，∵∠AEB=Rt∠，P是AB的中点，∴EP=BP，∴∠1=∠4，∴∠1=∠3，∵∠CQH=∠CEH=Rt∠，∴C、H、E、Q四点共圆，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠EPH=∠QPE，∴△EPH∽△QPE，∴，∴PE2=PH•PQ．。

三.四点共圆的判定
A D
判定3：外角等于内对角的四边形四点共圆
ABE D ABCD 四点共圆
E B
A
D
E
B
C C
探究新知
三.四点共圆的判定
A D
B
C
判定4：张角相等，四点共圆
ACB ADB ABCD 四点共圆
A D
B
C
探究新知
三.四点共圆的判定
C D
B
A
判定5：共斜边的两直角三角形，四点共圆
探究新知
三.四点共圆的判定
判定1（定义判别法）：到定点的距离等于定长的四点共圆
OA OB OC OD ABCD 四点共圆
A
D B
O
A
D B
O
C C
探究新知
三.四点共圆的共圆
A C 180 ，B D 180 ABCD 四点共圆
A
D B
B
C
探究新知
典例分析
例5：如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是 CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG， 求AG长的最小值．
课堂小结
1.四点共圆的性质 2.四点共圆的判定
性质1：四点共圆，对角互补
性质2：四点共圆，张角相等
判定1（定义判别法）：到定点的距离等于定长的四点共圆 判定2：对角互补的四边形四点共圆 判定3：外角等于内对角的四边形四点共圆 判定4：张角相等，四点共圆 判定5：共斜边的两直角三角形，四点共圆
典例分析
例3：如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、 DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点， 求PA+PG的最小值.