偏导数及其经济应用

1 §8.2 偏导数及其经济应用 教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用． 重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数． 难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数的偏导数． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数(,)zfxy的全增量（全改变量） (,)(,)zfxxyyfxy.

二元函数对x的偏增量（偏改变量） (,)(,)xzfxxyfxy.

二元函数对y的偏增量 (,)(,)yzfxyyfxy. 2.二元函数偏导数的定义 【定义8.4】设函数(,)zfxy在点00(,)xy的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)fxy在0xx处存在导数

00(,)xfxy,则称00(,)xfxy为(,)fxy在点00(,)xy处对

x的偏导数，并记作

00xxyyzx，00

xxyyfx



，00xxxyyz或00(,)xfxy.

其中 00(,)xfxy 000000(,)(,)limlimxxxfxxyfxyzxx

.

(2) 类似可定义函数(,)zfxy在点00(,)xy处对y的偏导数: 00xxyyzy00(,)yfxy 2

000000(,)(,)limlimyyyzfxyyfxyyy





结论(1)当(,)fxy在点00(,)xy处同时存在对x，y的偏导数时，简称(,)fxy在点00(,)xy可偏导.(2)当(,)fxy在平面某一区域D内每一点(,)xy处都存在对x，y的偏导数

时，则称函数在该区域D内有偏导函数，记作,,,zzfxyx (,),(,),,xyxyfxyfxyzz也简称偏导数．

3.多元函数偏导数的定义 设0()()UPDf,若一元函数000001211(,,,,,,)kkknfxxxxxx在0kkxx处存在极

00000000001111110(,,,,,)(,,,,,)limkkkkknkkknxkfxxxxxxfxxxxxx





, 则称此极限为()ufP在点000012(,,,)nPxxx处对kx的偏导数，并记作

0kPPux，0kPPfx

，0kxPPu或0()kxfP.

提问：用定义表示三元函数(,,)fxyz在点000(,,)xyz处的 三个偏导数. 0000000000(,,)(,,)(,,)limxxfxxyzfxyzfxyzx



；

0000000000(,,)(,,)(,,)limyyfxyyzfxyzfxyzy



；

0000000000(,,)(,,)(,,)limzzfxyzzfxyzfxyzz



.

结论：多元函数求偏导数时，只将一个变量看作未知量，而其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将12(,,,)nfxxx中所有()jxjk看作常量而对 3

kx求导可得kfx.

4.偏导数函数 设区域)(fDD,若(,)zfxy在D内每一点P对(xy或的偏导数(,)xfxy或(,)yfxy都存在,那么(,)xfxy

或(,)yfxy就称为(,)zfxy对(xy或的偏导函数，（它

仍是,xy的函数）.记作 ux，（或uy）fx（或fy），xu

（或yu）或()xfP（或()yfP）. 可见,函数()xfP在0PP处的值为偏导数0()xfP.以后在不混淆的情况下,将偏导函数()xfP也称为偏导数. 例1(1) 求 223zxxyy在点(1,2)处的偏导数． 分析：二元函数的偏导数

① 将),(yxf中的y看作常量而对x求导可得xf.

② 将),(yxf中的x看作常量而对y求导可得yf. 解 23zxyx, 32zxyy． 1221328xyzx

,

1231227xyzy

．

(2)2sinzxy，则(2,)6|zx ，(2,)6|zy .

(2,)(2,)66

|2,|23zzxy.

(3) （09.3.4）设()yxzxe，则(1,0)|zx 4

ln()()[ln()]yxxeyxyyzxexexexxxe

ln2(1,0)

1|(ln2)2ln212zex.

例2求下列函数的偏导数 （注意 复合函数求导法则:层层求导，导数相乘的含义） (1) 求 2sin(2)zxy．

解 )2sin(2yxxz , )2cos(22yxyz．

（2）2(,)xyfxye 解 222(,),(,)2xyxyxyfxyyefxyxye．

（3）设2()2yzxyx，其中()u可微，求,xyzz 解 22(),()2xyyyzyxyzxxyxx （4）222uxyz（考虑两层复合的函数） 解 222222,xyxyuuxyzxyz,

222zzuxyz

.

（5）lntanyzx （考虑三层复合的函数ln,tan,yzuuvvx） 解 22221sec()tsectanxyyyyyzcoyxxxxxx

21tsecyyyzcoxxx． 5

（6）()zxuy 解 ()zzzxuyxy， 1()zzzxxzuzyxyx

()zyxzuyy，

()lnzzxxuyy．

（7）210(,)()xyxyFxyfsdsedx 解 (,)(),(,)()()xyFxyyfxyFxyxfxyfy．

提问（2012-2-4-11）设1(ln)zfxy，其中()fu可微，

则2zzxyxy . 提示：21111(ln);(ln)zzfxfxxxyyyy， 20zzxyxy

.

练习： （1）(1)xzxy 提示：ln(1)(1)xxxyzxye．

（2）设函数2201(.)1xyxyxfxydtedyt，

求偏导数 ,ffxy. 6

提示：2333331,111xfyfxexyxyxxy. （3）(95.3) 设)(xyxyfz,)(uf可导,则 yxzyzx .

提示 2()xyyxzyzxyfx. 提问:二元函数(,)zfxy的两个偏导数存在,且 0zx,0zy，则【 】.

(A) (,)fxy关于x是减函数，关于y是增函数； (B) (,)fxy关于x是增函数，关于y是增函数； (C) (,)fxy关于x是增函数，关于y是增函数； (D) (,)fxy关于x是增函数，关于y是减函数.

答(D).因为0xz表示当y保持不变时,),(yxf是x的单

调增加函数0yz表示当x保持不变时,),(yxf是y的单调减少函数. 例3 设yzx(0,1)xx，求证 12lnxzzzyxxy.

证明 因 1yyxxz, xxyzyln, 所以 xxxyxyxyzxxzyxyylnln1ln11 yyxxz2

例4 已知理想气体的状态方程pVRT(R为常数),

求证:1pVTVTp. 7

证明 因 RTpV2pRTVV, pRTV pRTV

,

RpVT RVpT

.

所以 21pVTRTRVRTVTpVpRpV. 二、偏导数存在与函数连续的关系 函数(,)zfxy在一点00(,)xy的偏导数存在时并不一定在该点连续，但在点00(,)xy对x的偏导数存在，(,)zfxy一定关于x是连续函数，同样函数(,)zfxy在一点00(,)xy对y的偏导数存在，(,)zfxy一定关于y是连续函数.并且有关于一元函数的增减性. 偏导数与连续的关系 （1）一元函数在某点可导连续， （2）多元函数中在某点偏导数存在 连续.

例如:设 1 0,0,(,),0.xyfxyxy

由于00xyfx00(0,0)(0,0)11limlim0xxfxfxx,

00xyfy

00(0,0)(0,0)11limlim0yyfyfyy

.

即(,)fxy在(0,0)点两个偏导数都存在,但(,)fxy在(0,0)点显然间断．

因为(,)(0,0)lim(,)0(0,0)1xyfxyf.