偏导数及其经济应用

§8.2 偏导数及其经济应用教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用．重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数．难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数的偏导数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：一、偏导数的定义及其计算方法1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆-.二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ∆=+∆-.2.二元函数偏导数的定义【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数，并记作00x x y y z x ==∂∂，00x x y y fx==∂∂，00x x xy y z ==或00(,)x f x y '.其中 00(,)x f x y '=000000(,)(,)limlim x x x f x x y f x y zxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆.(2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数:00x x y y z y==∂∂=00(,)y f x y '=000000(,)(,)lim lim y y y z f x y y f x y yy ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 结论(1)当(,)f x y 在点00(,)x y 处同时存在对x ，y 的偏导数时，简称(,)f x y 在点00(,)x y 可偏导.(2)当(,)f x y 在平面某一区域D 内每一点(,)x y 处都存在对x ，y 的偏导数时，则称函数在该区域D 内有偏导函数，记作,,,z z f x y x∂∂∂∂∂∂ (,),(,),,x y x y f x y f x y z z ''''也简称偏导数．3.多元函数偏导数的定义设0()()U P D f ⊂,若一元函数000001211(,,,,,,)k k k n f x x x x x x -+L L 在0k k x x =处存在极00000000001111110(,,,,,)(,,,,,)lim k k k k k n k k k n x kf x x x x x x f x x x x x x -+-+∆→+∆-∆L L L L ,则称此极限为()u f P =在点000012(,,,)n P x x x L 处对k x 的偏导数，并记作kP P u x =∂∂，kP P f x =∂∂，0kx P P u =或0()kx f P .提问：用定义表示三元函数(,,)f x y z 在点000(,,)x y z 处的三个偏导数.0000000000(,,)(,,)(,,)limx x f x x y z f x y z f x y z x∆→+∆-'=∆；0000000000(,,)(,,)(,,)lim y y f x y y z f x y z f x y z y∆→+∆-'=∆；0000000000(,,)(,,)(,,)lim z z f x y z z f x y z f x y z z ∆→+∆-'=∆.结论：多元函数求偏导数时，只将一个变量看作未知量，而其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将12(,,,)n f x x x L 中所有()j x j k ≠看作常量而对k x 求导可得kfx ∂∂. 4.偏导数函数设区域)(f D D ⊂,若(,)z f x y =在D 内每一点P 对(x y 或的偏导数(,)x f x y 或(,)y f x y 都存在,那么(,)x f x y 或(,)y f x y 就称为(,)z f x y =对(x y 或的偏导函数，（它仍是,x y 的函数）.记作ux∂∂，（或u y ∂∂）f x ∂∂（或f y ∂∂），xu （或y u ）或()x f P （或()y f P ）.可见,函数()x f P 在0P P =处的值为偏导数0()x f P .以后在不混淆的情况下,将偏导函数()x f P 也称为偏导数. 例1(1) 求 223z x xy y =++在点(1,2)处的偏导数．分析：二元函数的偏导数① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x 求导可得x f ∂∂. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y 求导可得yf∂∂.解23zx y x∂=+∂, 32z x y y ∂=+∂．∴1221328x y zx ==∂=⨯+⨯=∂,1231227x y z y==∂=⨯+⨯=∂．(2)2sin z x y =，则(2,)6|z x π∂=∂ ，(2,)6|zy π∂=∂ . (2,)(2,)66|2,|23z zx y ππ∂∂==∂∂. (3) （09.3.4）设()y xz x e =+，则(1,0)|zx∂=∂ln()()[ln()]y x x e y x y y z x e x e x e x x x e +∂∂==+++∂∂+ ln2(1,0)1|(ln 2)2ln 212z e x ∂=+=+∂. 例2求下列函数的偏导数（注意 复合函数求导法则:层层求导，导数相乘的含义） (1) 求 2sin(2)z x y =．解)2sin(2y x xz =∂∂ , )2cos(22y x y z=∂∂．（2）2(,)xy f x y e = 解 222(,),(,)2xy xy x y f x y y ef x y xye ==．（3）设2()2y z xy x φ=+，其中()u φ可微，求,x y z z 解 22(),()2x y y yz y xy z x xy x xφφ''=-+=+（4）222u x y z =++（考虑两层复合的函数）解 222222,x y x y u u x y z x y z==++++,222z zu x y z=++.（5）ln tanyz x= （考虑三层复合的函数ln ,tan ,y z u u v v x===） 解 22221sec ()t sec tan x y y y y yz co y x x x x x x =⋅⋅-=-⋅⋅21t sec y y y z co x x x=⋅⋅．（6）()zx u y= 解 ()z zz x u yx y-==⋅，1()z z z x x zu zy x y x--=⋅=⋅()z y x zu y y =-⋅，()ln z z x x u y y=⋅．（7）21(,)()xy x yF x y f s ds e dx =+⎰⎰解 (,)(),(,)()()x y F x y yf xy F x y xf xy f y ==-． 提问（2012-2-4-11）设1(ln )z f x y=+，其中()f u 可微，则2z z xy x y ∂∂+=∂∂ . 提示：21111(ln );(ln )z z f x f x x x y y y y ∂∂''=+=-+∂∂， 20z z x y x y∂∂+=∂∂. 练习：（1）(1)xz xy =+ 提示：ln(1)(1)xx xy z xy e +=+=．（2）设函数221(.)1xyxy xf x y dt e dy t -=++⎰⎰，求偏导数,f fx y∂∂∂∂.提示：2333331,111x f y f xe x y x y x x y-∂∂=-+=∂∂+++. （3）(95.3) 设)(xyxyf z =,)(u f 可导,则='+'y x z y z x .提示 2()x y yxz yz xyf x''+=.提问:二元函数(,)z f x y =的两个偏导数存在,且0zx∂>∂,0z y ∂<∂，则【 】.(A ) (,)f x y 关于x 是减函数，关于y 是增函数； (B ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数； (C ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数； (D ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是减函数.答(D ).因为0>∂∂x z表示当y 保持不变时,),(y x f 是x 的单调增加函数0<∂∂y z表示当x 保持不变时,),(y x f 是y 的单调减少函数.例3 设yz x =(0,1)x x >≠，求证 12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂. 证明 因1-=∂∂y yx xz, x x y z y ln =∂∂, 所以x x xyx y x y z x x z y x yy ln ln 1ln 11+=∂∂+∂∂- y y x x +=z 2=例4 已知理想气体的状态方程pV RT =(R 为常数), 求证:1p V TV T p∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证明 因 RT p V =⇒2p RTV V ∂=-∂, ⇒=p RT V p R T V =∂∂,⇒=RpV TR Vp T =∂∂. 所以21p V T RT R V RT V T p V p R pV∂∂∂⋅⋅=-⋅⋅=-=-∂∂∂. 二、偏导数存在与函数连续的关系函数(,)z f x y =在一点00(,)x y 的偏导数存在时并不一定在该点连续，但在点00(,)x y 对x 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于x 是连续函数，同样函数(,)z f x y =在一点00(,)x y 对y 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于y是连续函数.并且有关于一元函数的增减性. 偏导数与连续的关系（1）一元函数在某点可导====>连续，（2）多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续. 例如:设 1 0,0,(,),0.xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩由于00x y fx==∂=∂00(0,0)(0,0)11limlim 0x x f x f x x ∆→∆→+∆--==∆∆, 00x y f y==∂=∂00(0,0)(0,0)11limlim 0y y f y f y y∆→∆→+∆--==∆∆. 即(,)f x y 在(0,0)点两个偏导数都存在,但(,)f x y 在(0,0)点显然间断． 因为(,)(0,0)lim (,)0(0,0)1x y f x y f →=≠=.又如， ( (220,,)(0,0)(,),,)(0,0)x y f x y xy x y x y =⎧⎪=⎨≠⎪+⎩在点(0,0)处两个偏导数均存在且为0，（用下列方法可求）00x y f x==∂=∂220000(0,0)(0,0)0lim lim 0x x x f x f x x x ∆→∆→⋅-+∆-+==∆∆,但是(,)f x y 在(0,0)点不连续，因为222222(,)(0,0)00lim(,)lim lim (1)1x y x x y kxxy kx kf x y x y x k k →→→====+++ 极限不存在.结论：多元函数偏导数存在与连续没有必然关系.三、二元函数偏导数的几何意义偏导数),(00y x f x 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.),(0y x f z =OxzM yT xT y),(0y x f z =提问：是否存在一个函数(,)f x y ，使得4x f x y '=+，3y f x y '=-？（分析：21(,)4()2x f x y f dx x xy y φ==++⎰ 4()3y f x y x y φ'⇒=+≠-，所以这样的(,)f x y 不存在.）四、高阶偏导数1.高阶偏导数: (,)z f x y =偏导函数(,)x f x y '，(,)y f x y '还是,x y 的函数，若(,)x f x y '，(,)y f x y '在区域D 内对,x y 存在有偏导数,则称此偏导数为),(y x f z =的二阶偏导数,并记作22(,)xx z z f x y x x x ∆∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭,2(,)xy z z f x y x y y x ∆∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭,22(,)yy z z f x y y y y ∆⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭，2(,)yx z z f x y y x x y ∆⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭, 同理有3232z z x x x ∆⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭,3222z z x y y x ∆⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂∂⎝⎭等等. 2.【定理】如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导 (,)xy f x y ，(,)yx f x y 在区域D 内连续，则在该区域内必 (,)xy f x y =(,)yx f x y .二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数. 例5 设32331z x y xy xy =--+,于是22333zx y y y x∂=--∂ ， 3229z x y xy x y ∂=--∂；2226z xy x∂=∂ ， 232218z x xy y ∂=-∂； 222691z x y y x y ∂=--∂∂ , 222691z x y y y x∂=--∂∂. 例6 求函数arctan xz y=的二阶偏导数.解 222111()x yz x y x y y =⋅=++，22y x z x y =-+ 222222()()xx y xy z x x y x y ∂==-∂++，2222222()()xy yx y x y z z y x y x y ∂-===∂++，222222()()yy x xy z y x y x y ∂-==∂++． 练习:求函数2yz x ye =的二阶偏导数.解 22,(1)y yx yz xye z x e y ''==+; 22,2(1),(2)y y yxx xy yx yy z ye z xe y z z x e y ''''''''==+==+. 例7(05.8) 设()f u 具有二阶连续导数，且(,)()()y x g x y f yf x y=+,求222222g g x y x y ∂∂-∂∂.解 由条件知)()(2yx f x y f x y x g '+'-=∂∂, )(1)()(242322y x f y x y f x y x y f x y x g ''+''+'=∂∂,)()()(1y x f y x y x f x y f x y g '-+'=∂∂ 22222231()()()()g y x x x x x xf f f f y x x y y y y y y∂''''''=-++∂2231()()y x xf f x x y y''''=+故222222y g y x g x ∂∂-∂∂ )()()()()(2222222y x f y x x y f x y y x f y x x y f x y x y f x y ''-''-''+''+'=)(2xy f x y '=. 练习 求下列函数的二阶偏导数22(1)()z f x y =-，ln (2)x z y =，(3)xyz u e =例8 证明函数1u r=满足方程2222220,u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 其中222r x y z =++.证明: 22311u r x x x r x r r r ∂∂=-=-=-∂∂,22234351313u r x x r r x r r∂∂=-+=-+∂∂； 同理2223513u y y r r ∂=-+∂, 2223513u z z r r∂=-+∂.2222222223533()u u u x y z x y z r r ∂∂∂++++=-+∂∂∂33330r r=-+=.（自学内容）#*、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性(一元函数弹性)我们知道一元函数边际与弹性分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售A Q 是它的价格AP及其它商品价格B P 的函数(,)A A B Q f P P =,称A BB AQ P P Q ∂⋅∂为A Q 对B P 的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品； 当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.【偏弹性定义】设函数(,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数存在，函数对x 的相对改变量(,)(,)(,)x z f x x y f x y z f x y ∆+∆-=与自变量x 的相对改变量x x∆之比x zz x x∆∆称为函数(,)f x y 对从x 到x x +∆两点间的弹性．当0x ∆→时，x zz x x∆∆的极限值称为函数(,)f x y 在点(,)x y 处对x 的弹性，记作x EzExη或，即0lim x x x z Ez x z x Ex z x x z η∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.类似可以定义函数(,)f x y 在(,)x y 处对y 的弹性为0lim y y y z Ez y z yEy z y y zη∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.特别地，如果(,)z f x y =中z 表示需求量，x 表示价格，y 表示消费者收入，则x η表示需求对价格的弹性，y η表示需求对收入的弹性.( x η恒为正)【交叉弹性概念】设,A B 两种商品彼此相关，它们的需求量,A B Q Q 分别为两种商品价格,A B P P 及其消费者收入y 的函数即(,,)(,,)A AB B A B Q f P P y Q g P P y =⎧⎨=⎩，则1110122202/lim//lim /A B A A A A P A AA AB B B B P B B B B Q Q P Q E P P Q P Q Q P QE P P Q P ∆→∆→∆∂⎫==⋅⎪∆∂⎪⎬∆∂⎪==⋅⎪∆∂⎭直接价格偏弹性；2120222102/lim //lim /B A A A B A P B BA B B B A B P A A B A Q Q P Q E P P Q P Q Q P QE P P Q P ∆→∆→∆∂⎫==⋅⎪∆∂⎪⎬∆∂⎪==⋅⎪∆∂⎭交叉价格弹性.当0,0A B B AQ QP P ∂∂>>∂∂则说明两种商品中任一价格减少都将使其中一个需求量增加且另一个需求量减少此时称,A B 互为替代品；如苹果与香蕉.当0,0A B B A Q QP P ∂∂<<∂∂则说明两种商品中任一价格减少都将使其中一个需求量同时增加此时称,A B 互为互补品；如汽车与汽油.例 某种数码相机的销售量A Q 除与它自身的价格A P 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格B P 有关,具体222504120102A B B A b b ac Q P P P a-±-=+-- 求 50A P =，5B P =时（1）A Q 对A P 的弹性；（2）A Q 对B P 的交叉弹性. 解：（1）A Q 对A P 的弹性为2225025012010A A A A A A A A B BAEQ Q P P EP P Q P P P P ∂=⋅=-⋅∂+--2250120250(10)A A B B P P P P =-+-+ 当A P =50，B P =5时25011205025050(5025)10A B EQ EP =-=-⋅+-+ （2）A Q 对B P 的交叉弹性为2(102)25012010A A BBB B AB B BEQ Q P P P EP P Q P P P ∂=⋅=-+⋅∂+--BA P =50，B P =5时520212055025A EQ EP =-⋅=-+--B小结：1．多元函数求对x 偏导数，就把函数看作x 的一元函数，求函数对x 的导数即为所求偏导数．2．一元函数的可导必连续在多元函数中不再成立，即(,)f x y 在一点存在偏导数，但在这一点不一定连续.偏导数),(00y x f x 存在，则有0(,)()f x y g x =在点00(,)x y 连续，偏导数00(,)y f x y 存在，则0(,)()f x y h y =在点00(,)x y 连续.3. 二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.4.偏弹性可以在一元函数弹性的基础上,把导数换成偏导数,对谁求偏弹性,就把谁看作自变量.课后记：存在的问题:不能正确的运用公式，计算错误较多；忽略了混合偏导数在连续情况下才与求导数的顺序无关的条件.。