分式型值域
【学习目标】
1．了解分式型值域问题的适用范围，掌握解决分式型值域问题的方法；2．会针对不同情况选择合适的方法求分式型值域．
【学习重难点】
1．在函数综合性问题中识别出分式型值域问题，并利用合适的方法求解；2．注意讨论分子/分母为0的特殊情况．
【知识精讲】
1．ax b
y cx d
+=
+（一次比一次）的值域 （1）分离常数法
先将分式分离常数，再根据反比例函数图像求出值域． 例如：求212x y x +=
-的值域．()215215
2222
x x y x x x -++===+---， 根据图像求得()()5
,00,2
x ∈-∞+∞-U ，因此原函数值域为()(),22,-∞+∞U ． （2）秒杀法
ax b d y x cx d c +⎛⎫=
≠- ⎪+⎝⎭值域为|a y y c ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭或写作,,a a c c ⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ； ax b y cx d
+=+，(),x p q ∈值域为()()(),f p f q 或()()(),f q f p （由()f p ，()f q 大小决定）．
2．2ax bx c
y mx n ++=+和2mx n y ax bx c
+=++（二次比一次/一次比二次）的值域
（1）求2ax bx c
y mx n ++=+型值域可通过凑配法或大除法，转化为1x x
+型函数（对勾函数）
或1
x x
-
型函数的值域问题． 例如：求224
1x x y x ++=+值域．311
y x x =+++，设()10t x t =+≠，
则函数转化为3
y t t
=+
，根据对勾函数图像，原函数的值域为
()
,⎡-∞-+∞⎣U ． （2）求2mx n
y ax bx c
+=
++的值域可通过取倒数转化为（1），注意要加上0y =的情况．
例如：求2124x y x x +=
++的值域．①1x ≠-时，211
3
24111
y x x x x x ==++++++，
由于
()
31,1x x ⎡++
∈-∞-+∞⎣+U
，66y ⎡⎫⎛∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦
U ； ②1x =-时，0y =
．综上原函数值域为66⎡⎢⎣⎦
．
（3）万能∆法
将函数转化为关于x 的一元二次方程，再通过0∆≥来计算y 的取值范围． 例如：求2124
x y x x +=
++的值域．函数可化为
()2
21410yx y x y +-+-=，0y =时，
1x =-；0y ≠时，()()2
=214410y y y ∆---≥，解得y ≤≤
，
故原函数值域为⎡⎢⎣⎦
．
注：该方法不适用于分式函数可约分的情况．
3．22ax bx c
y mx nx p ++=++（二次比二次）
（1）通过分离常数法转化为2
mx n
y ax bx c
+=
++型函数值域的问题．
（2）万能△法，步骤与2中相同．
【经典例题】
例1. 求下列函数值域
（1）32
3x y x +=
- （2）2
24x y x +=-
（3）45
26
x y x +=-，()1,2x ∈
【答案】（1）{}|3y y ≠（2）1|2y y ⎧
⎫≠
⎨⎬⎩⎭（3）139,24y ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
【解析】（1）直接利用秒杀法写结果；（2）直接利用秒杀法写结果； （3）()914f =-，()1322f =-，因此原函数值域为139,24⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
．
【总结】一次比一次型值域问题可以直接使用秒杀法解决．
【变式】 求下列函数值域
（1）sin 2
2sin x y x +=
-
（2）3sin 3
2cos 10x y x -=+
（3）221
x
x y =+
【答案】（1）1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（2）5,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）()0,1
【解析】（1）设sin t x =，则原函数转化为2
2t y t
+=
-，[]1,1t ∈-，代入1t =和1t =-可得原函数值域为1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；
（2）()3sin 33sin 12cos 102cos 5x x y x x --==⋅+--，可看作点()cos ,sin x x 和()5,1-连线斜率k 的
3
2倍，由于()cos ,sin x x 在单位圆221x y +=上，当过定点()5,1-的直线与单位圆相切时k 取最值，联立()22115x y y k x ⎧+=⎪
⎨-=+⎪⎩
，由0∆>可解得5,012k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故原函数值域为5,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；
（3）设2x t =，则原函数化为1
t
y t =+，()0,t ∈+∞，可化为111y t =-+，根据反比例
函数图像可得原函数值域为()0,1．
