(word完整版)高中数学专题系列三角函数讲义.doc

第四章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(3)三角函数值在各象限内的符号,(1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z . 当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．[熟记常用结论]1．象限角2．轴线角3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( ) (4)三角形的内角必是第一、二象限角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋94π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z) 解析：选C 由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π(k ∈Z)或k ·360°＋45°(k ∈Z)，结合选项知C 正确．2.若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角 B ．α＝⎝⎛⎭⎫360π°C ．sin α＞0D ．sin α＜cos α解析：选D 对于A ，∵π2＜α＜π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α＞0，故C 正确；对于D ，sin α＞0，cos α＜0，故D 错误．选D.3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33D ．±33解析：选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12.所以tan α＝yx＝±3.故选B.4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________． 解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得在0到2π范围内与角－4π3终边相同的角是2π3.答案：2π3考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关][题组练透]1．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z)，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样，结合选项知选C.4．与－2 010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°5．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________． 解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[名师微点]1．判断象限角的2种方法 2.确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在的位置．3．求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．考点二扇形的弧长及面积公式的应用[师生共研过关][典例精析]已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若α＝100°，r ＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． [解] (1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9， 所以S 扇形＝12lr ＝12αr 2＝12×5π9×4＝10π9.(2)由题意知，l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ， 故S 扇形＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25，当r ＝5时，S 的最大值为25，此时l ＝10，则α＝lr＝2.[解题技法]有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[过关训练]1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1解析：选C 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度， 且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而AB 的长l ＝α·r ＝2sin 1. 2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D. 3解析：选D 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3.3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r ＞0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 考点三三角函数的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(2019·广州模拟)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin(α＋β)＝( )A ．－3665 B.4865 C ．－313D.3365(3)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________. [解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．(2)因为角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫1213，513和⎝⎛⎭⎫－35，45，所以sin α＝513，cos α＝1213，sin β＝45，cos β＝－35，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×⎝⎛⎭⎫－35＋1213×45＝3365. (3)因为角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513， 所以cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，所以P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，所以sin α＝－1213， 所以tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23. [答案] (1)C (2)D (3)－23[解题技法]利用三角函数定义解题的常见类型及方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值．先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值．可直接根据三角函数线求解． (3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值．先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题．先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．[过关训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°＞0 B ．cos(－305°)＜0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－223π＞0 D ．sin 10＜0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°＜0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)＞0；而－223π＝－8π＋2π3，所以－223π是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3＜0；因为3π＜10＜7π2，所以10是第三象限角，故sin 10＜0. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t ＞0时，cos θ＝55；当t ＜0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 3．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 解：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ，所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2， 所以sin α＝m r ＝2m 4＝m22，所以r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8， 解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153.综上，cos α＝－64，tan α＝－153或cos α＝－64，tan α＝153.。

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编 已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3， 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一 知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二 知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三 知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________． 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】 法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】 －125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________． 原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． 因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________． 原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α， 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， 所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， 所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。

5.6 函数y＝A sin（ωx＋φ)最新课程标准:结合具体实例，了解y＝A sin（ωx＋φ)的实际意义,能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.知识点一A，ω，φ对函数y＝A sin（ωx＋φ）图象的影响1．φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响2．ω对函数y＝sin（ωx＋φ)图象的影响3．A对函数y＝A sin(ωx＋φ）图象的影响错误!（1）A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系。

（3)φ大于0时，函数图象向左平移,φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减"．（4）由y＝sin x到y＝sin(x＋φ）的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sinωx的图象变换称为周期变换;由y＝sin x到y＝A sin x 的图象变换称为振幅变换．知识点二函数y＝A sin(ωx＋φ)，A〉0,ω>0的有关性质1.定义域：R.2．值域：[－A,A]．3．周期性:T＝错误!。

4．对称性:对称中心错误!，对称轴是直线x＝错误!＋错误!（k∈Z）．5．奇偶性：当φ＝kπ（k∈Z)时是奇函数．6．单调性：通过整体代换可求出其单调区间．错误!研究函数y＝A sin（ωx＋φ）性质的基本策略(1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时,可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．(2）整体思想:研究当x∈[α,β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈［α,β］求出θ的范围，再结合y＝sinθ的图象求值域．［教材解难]1．教材P231思考筒车转轮的中心O到水面的距离h,筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t。

如图，以O为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t＝0时，盛水筒M位于点P0,以Ox为始边,OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x，y)．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有y＝r sin（ωt＋φ）①所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是H＝r sin（ωt＋φ）＋h.②2．教材P232思考（1）能．(2）可以先按φ再按ω，最后按A的顺序研究．［基础自测]1．利用“五点法”作函数y＝sin错误!x，x∈[0,4π］的图象时,所取的五点的横坐标为( ）A．0，错误!，π，错误!，2π B．0，错误!，错误!，错误!，πC．0,π，2π，3π,4π D．0，错误!，错误!，错误!，错误!解析：令错误!x＝0,错误!，π，错误!，2π得，x＝0,π，2π,3π，4π。

高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。

它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。

通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。

二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。

常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。

这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。

正切函数的周期性稍有不同，为π。

2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。

例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。

3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。

例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。

4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。

例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。

四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。

例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。

2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。

例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。

3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。

例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。

4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。

例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。