第1~3讲弹性力学及有限元
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弹性力学及有限元
Elasticity Mechanics & Finite Element Method
振动噪声监测与控制研究所
Institute of Monitoring & Control of Vibration & Noise
第一讲 绪论
弹性力学及有限元 课程概述
1.1 课程性质 1.2 弹性力学的研究内容 1.3 弹性力学中的几个基本概念 1.4 弹性力学中的基本假设 1.5 弹性力学发展史 1.6 有限元方法简介 1.7 应用软件简介
z
zx xz
zy yz
y yx
y
应力用矩阵表示：
x
xy
x
弹性力学及有限元
共六个应力分量。
24 MCVN振动噪声监测与控制研究所
24
12
第一讲 绪论
1.3.4 形变（应变） 形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长 度的改变和角度的改变。
线应变：图中线段PA、PB、 PC每单位长度的伸缩，即单位伸 缩或相对伸缩，称为线应变。分别 用 x、 y 、 z 表示。
其它面上的应 力分量的表示 如图所示。
y
x
弹性力学及有限元 21 MCVN振动噪声监测与控制研究所
21
第一讲 绪论
z
z zx
正负规定:
zy yz yx y
正面:截面的外法线 方向和坐标轴正向一 致，反之为负面。
y
正面上的应力沿坐标正向或负面 上的应力沿坐标负向为正。
x
弹性力学及有限元
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
18 MCVN振动噪声监测与控制研究所
弹性力学及有限元
18
9
第一讲 绪论
应力标注： 图示单元体右侧面的 法线为y, 称为y面，垂直于 单元体面的应力称为正应 力。 正应力记为σy , 其下 标表示所沿坐标轴的方向。
z x o y
yz
yx
弹性力学及有限元
σy
19 MCVN振动噪声监测与控制研究所
22 MCVN振动噪声监测与控制研究所
22
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第一讲 绪论
注意： 弹性力学
注意:弹性力学切应力符号和 材料力学是有区别的。弹性 力学里，切应力都为正，而 材料力学中相邻两垂直面的 符号是不同的。
材料力学
特别要注意的是：在画应力圆 时，还应按材料力学的符号规 定。
弹性力学及有限元
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MCVN振动噪声监测与控制研究所
17
MCVN振动噪声监测与控制研究所
17
第一讲 绪论
应力分量 应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关， 不是一般的矢量，而是二阶张量。
C
B
z o x
A
y
（1）为了分析一点的应力状 态，在这一点从物体内取出一个 微小的正平行六面体，各面上的 应力沿坐标轴的分量称为应力分 量。 在略去体力和高阶微量的情况下， 相互平行的面上的应力大小相等， 方向相反。
12
6
第一讲 绪论
体力分量： 将f 沿三个坐标轴分解，可得 到三个正交的分力： z
△V
f
z
f F
fx
O
P
fy
f f xi f y j f z k
y
x
fx、fy、fz 称为物体在P点的体力分量，其方向与 坐标轴正向相同时为正，因次是[力][长度]-3。
弹性力学及有限元
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第一讲 绪论
1.1 课程性质
《弹性力学及有限元》是为机械设计及理论专业研究开设 的一门专业技术课。本课程分为三大部分： 弹性力学基础 、有限单元法理论、有限元软件的应用 弹性力学是固体力学的一个重要分支。主要研究弹性体由 于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应 变和位移。(与材料力学相比，弹性力学的理论更加严密，将有限元 的思想引入到弹性力学，使其求解工程问题的能力得到极大的拓展) 有限元方法是一种有效的数值计算方法。它广泛应用于各 类工程技术领域，如结构的应力、应变分析，各种连续介 质问题的场变量—温度、压力、电磁场等问题的数值计算 ，并日益得到广泛的应用。
弹性力学及有限元
8
MCVN振动噪声监测与控制研究所
8
4
第一讲 绪论
本课程弹性力学部分较为完整地建立了弹性 力学的基本方程和边值条件，并对一些简单问题 进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步 的数值方法奠定了基础。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限 元方法等研究生课程的重要基础。
弹性力学及有限元
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第一讲 绪论
1.3.3 切应力互等定理
过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量， 则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。
xy yx
z
yz zy
xz zx
x xy xz yx y yz zx zy z
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第一讲 绪论
位移的表示方法
物体内任意一点的位移，用它在x 、y 、z 轴上的投影 u 、 v 、w 来表示，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。 这三个投影称为该点的位移分量。
弹性力学问题：
已知外力、物体的形状和大小（包括边界）、材料特性 （E、μ）、约束条件等，求解应力、形变、位移共15个未知量。
16
8
第一讲 绪论
应力集度： ΔA面积上的内力的平均集度为： F lim P点的应力为： p A 0 A B F z p m △A P点的应力分量为 、 --正应力 --切应力 P n
o A
F A
y
因次是[力][长物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生 附加内力，为了求出这些内力，我们用一截面截开物 体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分的作 用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系的合 力。 单位面积上的分布力即为应力。 性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同 的。
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2） 面力
定义：分布在物体表面上的力。如 流体压力和接触力。 性质：一般情况下，面力一般是 物体表面点的位置坐标的函数。 x 面力集度： z
△S P
F
y
F S 上面力的平均集度为： S
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弹性力学及有限元
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第一讲 绪论
1.3.1 外力
按照外力作用的不同分布方式，可分为体积力和表面力， 分别简称体力和面力。 1）体力 定义：所谓体力是分布在物体体积内的力，如重力。
性质：一般情况下，体力随点的位置不同而不同，体力是连 续分布的。
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C
P
P
B
A
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第一讲 绪论
C
切应变：图中线段PA、PB、 PC之间直角的改变，用弧度 表示，称为切应变。分别 xy 表示。 zx 、 用 yz 、 共六个形变分量。 应变的正负：
A
P
P
B
线应变： 伸长时为正，缩短时为负； 切应变： 以直角变小时为正，变大时为负；
9
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第一讲 绪论
1.3 弹性力学中的几个基本概念
外力（体力、面力)：指其他物体对研究对象（弹性体）的 作用力 内力： 通常指截面上的合力和合力矩。 应力： 表示单位截面面积上的内力值。 位移： 一点位置的移动。 形变： 是指形状的改变，在弹性力学中用线应变和切应变 来表示。 要求------了解各物理量的定义、记号、量纲、正负方向及 其符号的规定，以及与材料力学中的符号规定的区别。
弹性力学及有限元 26 MCVN振动噪声监测与控制研究所
26
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第一讲 绪论
1.3.5 位移
位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移 1. 当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种性质的位 移组成： （1）整个物体像一个刚体一样运动所引起的位移，包括平 移、转动、平面运动等。这种位移并不使物体的形状、质点 间的相对距离发生变化。（刚体位移） （2）物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了变形。弹 性力学中主要研究物体由变形而引起的位移。
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第一讲 绪论
体力集度： 体力的平均集度为：
F V
z
当前无法显示此图像。
当前无法显示此图像。
△V
P
O
P点所受体力的集度为：
y
F f lim V 0 V
f 的方向就是
弹性力学及有限元
当前无法显示此图像。
x
的极限方向。
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P点所受面力的集度为：
F f lim S 0 S
面力分量： z
△S
f z F
f
fx
P
fy
y x
弹性力学及有限元
P点的面力分量 为 f x、 f y 、 f z ， 其方 向与坐标轴正向相同时为 正，因次是[力][长度]-2。
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第一讲 绪论 1.3.2 应力
弹性力学及有限元
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Elasticity Mechanics & Finite Element Method
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第一讲 绪论
弹性力学及有限元 课程概述
1.1 课程性质 1.2 弹性力学的研究内容 1.3 弹性力学中的几个基本概念 1.4 弹性力学中的基本假设 1.5 弹性力学发展史 1.6 有限元方法简介 1.7 应用软件简介
z
zx xz
zy yz
y yx
y
应力用矩阵表示：
x
xy
x
弹性力学及有限元
共六个应力分量。
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第一讲 绪论
1.3.4 形变（应变） 形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长 度的改变和角度的改变。
线应变：图中线段PA、PB、 PC每单位长度的伸缩，即单位伸 缩或相对伸缩，称为线应变。分别 用 x、 y 、 z 表示。
其它面上的应 力分量的表示 如图所示。
y
x
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第一讲 绪论
z
z zx
正负规定:
zy yz yx y
正面:截面的外法线 方向和坐标轴正向一 致，反之为负面。
y
正面上的应力沿坐标正向或负面 上的应力沿坐标负向为正。
x
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口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
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第一讲 绪论
应力标注： 图示单元体右侧面的 法线为y, 称为y面，垂直于 单元体面的应力称为正应 力。 正应力记为σy , 其下 标表示所沿坐标轴的方向。
z x o y
yz
yx
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19 MCVN振动噪声监测与控制研究所
22 MCVN振动噪声监测与控制研究所
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第一讲 绪论
注意： 弹性力学
注意:弹性力学切应力符号和 材料力学是有区别的。弹性 力学里，切应力都为正，而 材料力学中相邻两垂直面的 符号是不同的。
材料力学
特别要注意的是：在画应力圆 时，还应按材料力学的符号规 定。
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应力分量 应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关， 不是一般的矢量，而是二阶张量。
C
B
z o x
A
y
（1）为了分析一点的应力状 态，在这一点从物体内取出一个 微小的正平行六面体，各面上的 应力沿坐标轴的分量称为应力分 量。 在略去体力和高阶微量的情况下， 相互平行的面上的应力大小相等， 方向相反。
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第一讲 绪论
体力分量： 将f 沿三个坐标轴分解，可得 到三个正交的分力： z
△V
f
z
f F
fx
O
P
fy
f f xi f y j f z k
y
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fx、fy、fz 称为物体在P点的体力分量，其方向与 坐标轴正向相同时为正，因次是[力][长度]-3。
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第一讲 绪论
1.1 课程性质
《弹性力学及有限元》是为机械设计及理论专业研究开设 的一门专业技术课。本课程分为三大部分： 弹性力学基础 、有限单元法理论、有限元软件的应用 弹性力学是固体力学的一个重要分支。主要研究弹性体由 于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应 变和位移。(与材料力学相比，弹性力学的理论更加严密，将有限元 的思想引入到弹性力学，使其求解工程问题的能力得到极大的拓展) 有限元方法是一种有效的数值计算方法。它广泛应用于各 类工程技术领域，如结构的应力、应变分析，各种连续介 质问题的场变量—温度、压力、电磁场等问题的数值计算 ，并日益得到广泛的应用。
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本课程弹性力学部分较为完整地建立了弹性 力学的基本方程和边值条件，并对一些简单问题 进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步 的数值方法奠定了基础。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限 元方法等研究生课程的重要基础。
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1.3.3 切应力互等定理
过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量， 则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。
xy yx
z
yz zy
xz zx
x xy xz yx y yz zx zy z
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第一讲 绪论
位移的表示方法
物体内任意一点的位移，用它在x 、y 、z 轴上的投影 u 、 v 、w 来表示，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。 这三个投影称为该点的位移分量。
弹性力学问题：
已知外力、物体的形状和大小（包括边界）、材料特性 （E、μ）、约束条件等，求解应力、形变、位移共15个未知量。
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第一讲 绪论
应力集度： ΔA面积上的内力的平均集度为： F lim P点的应力为： p A 0 A B F z p m △A P点的应力分量为 、 --正应力 --切应力 P n
o A
F A
y
因次是[力][长物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生 附加内力，为了求出这些内力，我们用一截面截开物 体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分的作 用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系的合 力。 单位面积上的分布力即为应力。 性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同 的。
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2） 面力
定义：分布在物体表面上的力。如 流体压力和接触力。 性质：一般情况下，面力一般是 物体表面点的位置坐标的函数。 x 面力集度： z
△S P
F
y
F S 上面力的平均集度为： S
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1.3.1 外力
按照外力作用的不同分布方式，可分为体积力和表面力， 分别简称体力和面力。 1）体力 定义：所谓体力是分布在物体体积内的力，如重力。
性质：一般情况下，体力随点的位置不同而不同，体力是连 续分布的。
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B
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第一讲 绪论
C
切应变：图中线段PA、PB、 PC之间直角的改变，用弧度 表示，称为切应变。分别 xy 表示。 zx 、 用 yz 、 共六个形变分量。 应变的正负：
A
P
P
B
线应变： 伸长时为正，缩短时为负； 切应变： 以直角变小时为正，变大时为负；
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第一讲 绪论
1.3 弹性力学中的几个基本概念
外力（体力、面力)：指其他物体对研究对象（弹性体）的 作用力 内力： 通常指截面上的合力和合力矩。 应力： 表示单位截面面积上的内力值。 位移： 一点位置的移动。 形变： 是指形状的改变，在弹性力学中用线应变和切应变 来表示。 要求------了解各物理量的定义、记号、量纲、正负方向及 其符号的规定，以及与材料力学中的符号规定的区别。
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1.3.5 位移
位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移 1. 当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种性质的位 移组成： （1）整个物体像一个刚体一样运动所引起的位移，包括平 移、转动、平面运动等。这种位移并不使物体的形状、质点 间的相对距离发生变化。（刚体位移） （2）物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了变形。弹 性力学中主要研究物体由变形而引起的位移。
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第一讲 绪论
体力集度： 体力的平均集度为：
F V
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P点所受体力的集度为：
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F f lim V 0 V
f 的方向就是
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F f lim S 0 S
面力分量： z
△S
f z F
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P点的面力分量 为 f x、 f y 、 f z ， 其方 向与坐标轴正向相同时为 正，因次是[力][长度]-2。
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