19. 菱形的性质 公开课教案
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第1课时 菱形的性质
1.通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质,理解菱形与平行四边形之间的联系; 2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳,运用已学过的知识总结菱形的特征; 3.掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导.(重点、难点)
一、情境导入
请看演示:(可用事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改
变平行四边形的边,使一组邻边相等,从而引出菱形概念.
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.
二、合作探究
探究点一:菱形的性质
【类型一】 菱形的四条边相等
如图所示,在菱形ABCD 中,已
知∠A =60°,AB =5,则△ABD 的周长是( )
A .10
B .12
C .15
D .20 解析:根据菱形的性质可判断△ABD 是等边三角形,再根据AB =5求出△ABD 的周长.
∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB =AD .
又∵∠A =60°,
∴△ABD 是等边三角形, ∴△ABD 的周长=3AB =15. 故选C.
方法总结:如果一个菱形的内角为60°
或120°,则两边与较短对角线可构成等边三
角形,这是非常有用的基本图形. 【类型二】 菱形的对角线互相垂直
如图所示,在菱形ABCD 中,对
角线AC 、BD 相交于点O ,BD =12cm ,AC =6cm ,求菱形的周长. 解析:由于菱形的四条边都相等,所以
要求其周长就要先求出其边长.由菱形性质可知,其对角线互相垂直平分,因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算.
解:因为四边形ABCD 是菱形,
所以AC ⊥BD ,
AO =12AC ,BO =12
BD .
因为AC =6cm ,BD =12cm , 所以AO =3cm ,BO =6cm.
在Rt △ABO 中,由勾股定理,得 AB =AO 2+BO 2=
32+62=3
5
(cm).
所以菱形的周长=4AB =4×35=125(cm).
方法总结:因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型三】 菱形是轴对称图形
如图,在菱形ABCD 中,CE ⊥AB
于点E ,CF ⊥AD 于点F .求证:AE =AF
.
解析:要证明AE =AF ,需要先证明△ACE ≌△ACF .
证明:连接AC .
∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC 平分∠BAD , 即∠BAC =∠DAC . ∵CE ⊥AB ,CF ⊥AD , ∴∠AEC =∠AFC =90°. 在△ACE 和△ACF 中, ⎩⎪⎨⎪
⎧∠AEC =∠AFC ,∠EAC =∠F AC ,AC =AC ,
∴△ACE ≌△ACF , ∴AE =AF .
方法总结:菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线平分一组对角.
探究点二:菱形的面积的计算方法
如图所示,在菱形ABCD 中,点
O 为对角线AC 与BD 的交点,且在△AOB 中,AB =13,OA =5,OB =12.求菱形ABCD 两对边的距离h .
解析:先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积,又因为菱形是特殊的平行四边形,其面积等于底乘高,也就是一边长与两边之间距离的乘积,从而求得两对边的距离.
解:在Rt △AOB 中,AB =13,OA =5,OB =12,
即S △AOB =12OA ·OB =1
2×5×12=30,
所以S 菱形ABCD =4S △AOB =4×30=120.
又因为菱形两组对边的距离相等, 所以S 菱形ABCD =AB ·h =13h , 所以13h =120,得h =12013
.
方法总结:菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半.
三、板书设计
本节课不仅安排了菱形性质的探究,而且穿插了菱形两种面积公式的探究,课堂中为了突出学生的主体地位,留给学生充足的时间思考交流,发挥学生的主体地位,使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程,亲身体验数学思想方法及数学观念,培养学生能力,促进学生发展.