三角恒等变换高考题

三角恒等变换一、单项选择题1．已知cos θ＝35 ，tan θ<0，则sin (π－2θ)＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D ．24252．已知cos x ＝13 ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝( ) A ．79 B ．－79 C ．89 D ．－893．已知sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＋13 ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 的值为( ) A ．13 B ．－13 C ．233 D ．－233 4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α＝( ) A ．1515 B ．55 C ．53 D ．1535．已知cos θ－sin θ＝43 ，则θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ，则sin 2α的值是( ) A ．23 B ．437 C ．－23 D ．－4377．已知f ()x ＝cos x (cos x ＋3 sin x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值是32 ，则实数m 的最小值是( )A ．π12B ．π3C ．－π12D ．π68． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC ＝5－12 .根据这些信息，可得sin 1 674°＝( )A ．1－254B ．－3＋58C ．－5＋14D ．－4＋58二、多项选择题9．若sin α2 ＝33 ，α∈()0，π ，则( )A ．cos α＝13B ．sin α＝23C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝6＋236D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4 ＝23－66 10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x ，则( )A ．f (x )的最大值为3B ．f (x )的图象关于直线x ＝π8 对称C ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1 对称 D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 上单调递增 11下列命题中是真命题的有( )A ．存在α，β，使tan ()α－β ＝tan α－tan βB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形C ．在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件D ．在△ABC 中，若cos A ＝513 ，sin B ＝45 则cos C 的值为3365 或636512．若关于x 的方程23 cos 2x －sin 2x ＝3 －m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6 上有且只有一个解，则m 的值可能为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1三、填空题13． sin 20°sin 80°－cos 160°sin 10°＝________．14．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255 ，则tan α＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝________． 15．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α ＝32 ，则sin (2α－2π3 )＝________． 16．已知sin αcos α＝38 ，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 的值为________．。

第一部分 专题三 第1讲 三角恒等变换(限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32 C.32 D.12解析：cos α＝－8m(－8m )2＋(－3)2＝－45⇒m ＝12.答案：D2．如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)－22cos α等于( )A.225 B ．－225C.425 D ．－425解析：sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.答案：A3．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A ·tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 解析：∵C ＝120°，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ＝－tan120°＝ 3. 又∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，∴3＝2331－tan A tan B.∴1－tan A tan B ＝23，tan A tan B ＝13.答案：B4．(精选考题·北京东城检测)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 解析：由正弦定理及sin A ＝3sin C ，得a ＝3c .再由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴b 2＝c 2，即b ＝c ，则A ＝120°.答案：D5．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( ) A ．2 B.12 C ．3 D.13解析：因为sin β＝m sin(2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]，即sin (α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，也即(1－m )sin (α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α，所以tan (α＋β)tan α＝1＋m 1－m ＝3，所以m ＝12.答案：B6．锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则ABAC 的范围是( ) A ．(0,2) B ．(2，2) C ．(2，3) D ．(3，2)解析：设△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，则有AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin2Bsin B ＝2cos B .又∵C ＝2B ＜π2，∴B ＜π4.又A ＝π－(B ＋C )＝π－3B ＜π2，∴B ＞π6，即π6＜B ＜π4，∴22＜cos B ＜32，2＜2cos B ＜ 3. 答案：C二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7．(精选考题·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：由题可知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin(B ＋π4)＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，故A ＝π6.答案：π68．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos A (sin B ＋cos B )＋cos C ＝0，则A ＝________. 解析：∵cos A (sin B ＋cos B )＋cos C ＝0， ∴cos A sin B ＋cos A cos B ＋cos [π－(A ＋B )]＝0， ∴cos A sin B ＋cos A cos B －cos(A ＋B )＝0， cos A sin B ＋cos A cos B －cos A cos B ＋sin A sin B ＝0， 即cos A sin B ＋sin A sin B ＝0. 又∵sin B ≠0，∴cos A ＋sin A ＝0， 又A 是三角形的内角，∴A ＝3π4.答案：3π49．(精选考题·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.解析：由cos2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan2α1－tan2α＝－17.答案：－17三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.(1)求tan2α的值； (2)求β.解：(1)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－(17)2＝437，∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝43，于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2，又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－(1314)2＝3314，由β＝α－(α－β)，且sin α＝437得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 又∵0＜β＜π2，所以β＝π3.11．(本小题满分15分)(精选考题·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边长分别为 a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc . (1)求sin A 的值；(2)求2sin (A ＋π4)sin (B ＋C ＋π4)1－cos2A的值．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223.又0＜A ＜π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13.(2)原式＝2sin (A ＋π4)sin (π－A ＋π4)1－cos2A＝2sin (A ＋π4)sin (A －π4)2sin 2A＝2(22sin A ＋22cos A )(22sin A －22cos A )2sin 2A＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72. 12．(本小题满分16分)(精选考题·陕西高考)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30)°＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)， 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时．1．(精选考题·绵阳一诊)记a ＝sin(cos 精选考题°)，b ＝sin(sin 精选考题°)，c ＝cos(sin 精选考题°)，d ＝cos(cos 精选考题°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d 解析：注意到精选考题°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin 精选考题°＝－sin30°＝－12，cos 精选考题°＝－cos30°＝－32，－π2＜－32＜0，－π2＜－12＜0,0＜12＜32＜π2，cos 12＞cos 32＞0，a ＝sin(－32)＝－sin 32＜0，b ＝sin(－12)＝－sin 12＜0，c ＝cos(－12)＝cos 12＞d ＝cos(－32)＝cos32＞0. 答案：C2．在三角形ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( ) A.35 B.53 C.85 D.58解析：由余弦定理可得25＋b 2－10b cos120°＝49⇒b ＝3，由正弦定理得sin B sin C ＝b c ＝35.答案：A3．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )A.53 B.54 C.55 D.56解析：由正弦定理得sin A a ＝sin Bb ，又∵a ＝52b ，A ＝2B ， ∴sin2B 52b ＝sin Bb ，b ≠0，sin B ≠0，∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.答案：B4．(精选考题·江西高考)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD . 解：由cos ∠ADC ＝35＞0知B ＜π2.由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45.从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD ，所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝33×5133365＝25.5．(精选考题·安徽高考)设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B .(1)求角A 的值；(2)若AB ·AC ＝12，a ＝27，求b ，c (其中b <c )． 解：(1)因为sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B＝(32cos B ＋12sin B )(32cos B －12sin B )＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34， 所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3.(2)由AB ·AC ＝12可得cb cos A ＝12. ① 由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24. ②由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52， ③ 由③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10. 因此，c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根． 解此方程并由c >b 知c ＝6，b ＝4.6．已知函数f (x )＝2sin(x －π3)cos(x －π3)＋23cos 2(x －π3)－ 3.(1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时相应的x 的值；(2)若函数y ＝f (2x )－a 在区间[0，π4]上恰有两个零点x 1，x 2，求tan(x 1＋x 2)的值．解：(1)f (x )＝sin(2x －2π3)＋3[1＋cos(2x －2π3)]－ 3＝sin(2x －2π3)＋3cos(2x －2π3)＝2sin(2x －π3)，∴函数f (x )的最大值为2，此时2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π12＋k π，k ∈Z.(2)f (2x )＝2sin(4x －π3)，令t ＝4x －π3，∵x ∈[0，π4]，∴t ∈[－π3，2π3]，设t 1，t 2是函数y ＝2sin t －a 的两个相应零点(即t 1＝4x 1－π3，t 2＝4x 2－π3)，由函数y ＝2sin t 的图象性质知t 1＋t 2＝π， 即4x 1－π3＋4x 2－π3＝π，∴x 1＋x 2＝π4＋π6，∴tan(x 1＋x 2)＝tan(π4＋π6)＝tan π4＋tan π61－tan π4×tanπ6＝1＋331－33＝2＋ 3.。

第 34题 三角恒等变换I ．题源探究·黄金母题例1．求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值． 【解析】1sin 2sin 2y x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin 2sin 333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故所求函数的周期为2π最大值为2，最小值为2-． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第140页例3．【母题评析】本题考查简单的三角恒等变换、三角函数的性质（周期性、最值）．【思路方法】运用辅助角公式化为一个角的三角函数．II ．考场精彩·真题回放例2．【2017北京理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，cos()αβ-=___________． 【答案】79-【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=，这样()222cos cos cos sin sin 7cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-例3．【2017江苏】若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ ．【命题意图】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、倍角公式、诱导公式等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】三角函数求值：①给角求值：将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．【答案】75【解析tan()tan744tan tan[()]4451tan()tan 44ππαππααππα-+=-+===--．故答案为75． 例4．【2017山东】已知3cos 4x =，则cos2x =A ．14- B ．14 C ．18- D ．18【答案】D【解析】291cos22cos 121168x x =-=⨯-= D ．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．例5．【2016高考浙江理数】已知2cos 2x 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______b =________．，1．【解析】22cos sin 2)4x x x π+=++1.A b ∴==【命题意图】本题考查降幂公式、辅助角公式，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin x b ωϕA ++可得A 和b ．III ．理论基础·解题原理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式： （1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（3）()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；（4）()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；（5）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；（6）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2．二倍角的正弦、余弦和正切公式：（1）sin22sin cos ααα= 变形： 12sin cos sin 2ααα=．（2）2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．变形如下 升幂公式：221c o s22c o s 1c o s22s i nαααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ （3）22tan tan 21tan ααα=-．3．简单的三角恒等变换：（1）注意正切化弦、平方降次；（2）辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定，tan baϕ=)． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是以选择题或填空题的形式出现，难度中等，也可以是解答题，此时难度较大，主要考查学生的分析问题解决问题、转化与化归等综合能力．【技能方法】解决此类问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中，变换的基本方向有两个，一是“变名”，二是“变角”．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【易错指导】三角函数的解答题往往从三角函数的图象到性质，再到三角恒等变换等综合设计，其中对三角函数式进行变换是解题的先决条件，在解题时一定要注意变换的等价性和变换的准确性．V ．举一反三·触类旁通考向1 两角和与差的三角函数公式例6．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知,αβ均为锐角，()53cos ,sin 1335παββ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ） A ．3365 B ．6365C ．3365-D ．6365-【答案】A【解析】由题意可知,3παββ++都为钝角， ()124sin ,cos 1335παββ⎛⎫∴+=+=- ⎪⎝⎭ ()][()cos cos sin 6323ππππααββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-++=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦124533313513565⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案为A 点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等例7．【吉林省百校联盟2018届高三TOP20九月联考】已知7c o s 3s i n26ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．4-D ．4 【答案】B例8．【2017届广州省惠州市高三第一次调研科数学】若11tan ,tan()32ααβ=+=，则tan =β（ ）（A ）17 （B ）16 （C ）57 （D ）56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A ．例9．【2017届河北省定州中学高三上周练一数学】式子cos cos sin sin 126126ππππ-的值为（ ）A ．12B．2 C．2 D ．1【答案】B考向2 二倍角公式例10．【2017广州一模】已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ）． A ．45 B ．35 C ．35- D ．45- 【答案】C【解析】222222cos sin cos2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+221tan 1tan θθ-=+35=-．选C ．例11．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知tan 2θ=，则23sin cos2θθ-=（ ） A ．45 B ．3 C ．0 D ．95【答案】B【解析】22222222223sin cos24sin cos 4tan 13sin cos23sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθ----====+++，故选B ．考向3 辅助角公式例12．【2017上海普陀二模】若关于x 的方程sin cos 0x x m +-=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是 ．【答案】1m ≤≤【解析】将sin cos 0x x m +-=化成sin cos m x x =+，即4m x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π0,42x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，即1,m ⎡∈⎣；故答案为1m ≤≤例13．【2017福建泉州二模】在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()(),11P x x ≥，则cos sin θθ+的取值范围是__________．【答案】(考向4 公式的活用（降幂扩角公式、升幂缩角公式、正切公式的活用） 例14．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知角θ的终边经过点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2sin 2θ的值为（ ）A ．110 B ．15 C ．45 D ．910【答案】C【解析】因为点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，又在角θ的终边上，所以3cos 5θ=-； 则2311cos 45sin 2225θθ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===；故选C ． 例15．【2017辽宁六校协作体】函数f (x )=sinx (sinx +cosx )−在区间 (，)上的零点是______．【答案】【解析】函数的解析式为2111cos2111()sin sin cos sin2(sin2cos2))2222224x f x x x x x x x x π-=+-=⨯+⨯-=-- 据此可知，函数在区间 (，)上的零点是． 考向5 三角函数知角求值例16．【2018）①tan25tan35tan35︒+︒+︒︒；②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒；③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan 6ππ-． A ．①② B ．③ C ．①②③ D ．②③④ 【答案】C对于③，1t a n 15t a n 45a n 15t a n 31t a n 151t a n 4t a n 15+︒︒+︒===-︒-︒︒；对于④，22tan2tan1166tan 22321tan 1tan 66πππππ=⨯=⨯=--，故选C ． 点睛：本题考查三角函数的恒等变换，根据式子的结构特点合理选择三角公式即可．例17．【2017湖南模拟】计算0000sin47sin17cos30cos17-的值等于__________． 【答案】12【解析】由()sin47sin 3017sin30cos17sin17cos30︒=︒+︒=︒︒+︒︒知，原式=sin30cos171cos172︒︒=︒，故填12．考向6 三角函数知值求值例18．【2018湖南益阳、湘潭9月调研】已知2sin 5α=，则()cos 2πα+=（ ） A ．725 B ．725- C ．1725 D ．1725- 【答案】D【解析】()2,cos 2=cos25sin απαα=∴+ ()2221712sin 21525α⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D ．例19．【2018河南省林州模拟】已知锐角θ满足2sin 265θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．19-BC ．D ．19【答案】C例20．【2018吉林百校联盟九月联考】已知tan 2tan B A =，且4cos sin 5A B =，则3cos 2A B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．25-D ．25【答案】D【解析】由tan 2tan B A =，可得： cos sin 2sinAcosB A B =，又4cos sin 5A B =，∴2sinAcosB 5=，则()32cos sin sinAcosB cos sin 25A B A B A B π⎛⎫--=--=-+= ⎪⎝⎭．故选D例21．【2018河北石家庄二中八月模拟】已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则s i n 42c o s 3s i n x x x -=( )A ．79 B ．79- C D ．【答案】B 【解析】由()sin4sin 3x sin3xcosx cos3xsinxx x =+=+可得：27sin42cos3sin sin3xcosx cos3xsinx sin2x cos22sin 1449x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-==-+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B例22．【2018南宁二中、柳州高中9月联考】若3sin 5α=-，且α为第三象限角，则()tan45α+等于( )A．7 B．17C．1 D．0【答案】A【解析】因为35s i nα=-，且α为第三象限角，所以4sin3cos,tan,5cos4αααα==-==()tan45tantan457.1tan45tanααα+∴+==-本题选择A选项．例23．【2017江西南昌二模】已知sin2cos0θθ+=，则21sin2cosθθ+=_________．【答案】1．例24．【2017福建厦门第一中学届高三高考考前模拟】已知()7cos,π,2π25θθ=-∈，则sin cos22θθ+= __________．【答案】15【解析】πo s ,πs i n222θθθ⎛⎫∈∴====-∴+=⎪⎝⎭例25．【2017南京、盐城二模】若sin(α－6π)＝35，α∈(0，2π)，则cosα的值为________．【解析】由题意得，因为0,,2663ππππαα⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又34sin cos6565ππαα⎛⎫⎛⎫-=⇒-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则4313cos cos cos cos sin sin 666666525210ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．例26．【2017江苏南京模拟】已知角α的终边上有一点()1,2p ， （1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求5sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）3；（2）310+-【解析】【试题分析】（1）先依据正切函数的定义求出1tan tan1142tan ,tan 31241tan tan 142παπααπα++⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭--进而求得；（2）依据1tan 2α=求得sin αα==，继而求出553s in2s i n 2662ππααααα⎛⎛⎫+=+=⎪ ⎝⎭⎝⎭()21112cos 1?221252α⎛⎛⎫+-=+⋅-⋅ ⎪⎝⎭⎭=考向7 三角函数知值求角例27．（2016高考上海理数】方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ ．【答案】566ππ或 【解析】3sinx 1cos 2x =+，即23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或． 【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解．． 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等．例28．（2015-2016学年内蒙古赤峰二中高一上期末】若锐角,αβ满足(1t a n )3t a n )4αβ+=，则αβ+= ．【答案】3π考向8 三角恒等变换与三角函数性质的综合例29．例．【2018辽宁六校协作体】已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，将其图象向右平移个单位后得：，由其关于轴对称，则，由得，即，∵，∴，∴，则在区间上的最小值为，故选C ．例30．【2017江苏无锡模拟】若动直线(x t t R =∈）与函数()()2cos cos 444f x x g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象分别交于,P Q 两点，则线段PQ 长度的最大值为_________．【答案】32点睛：解答本题的关键是运用正弦、余弦的二倍角公式将函数的的形式进行化简，再借助三角变换公式将其化为()()1sin 223PQ f t g t t π⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，运用三角函数的有界性求函数的最大值从而使得问题获解．例31．【2017江苏南京模拟】设函数()2sin cos (0)2f x wx wx wx w =->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，则()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为______________【答案】1【解析】())1π1cos2sin2sin 223f x x x x ωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由题意得π2ππ,244T T Tω=⇒=== ， ππ4ππ,04,4333x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为()sin y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．例32．【2017江西赣州二模】已知函数()2sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+>图像的两条相邻对称轴为π2． (1)求函数()y f x =的对称轴方程；(2)若函数()13y f x =-在()0,π上的零点为12,x x ，求()12cos x x -的值． 【答案】(1) ()π5π212k x k =+∈Z ；(2) 13．【解析】试题分析：试题解析：(1) ()21sin cos sin22f x x x x x x ωωωωω=⋅-+= πsin 23x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭由题意可得周期πT =，所以2π1Tω== 所以()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭故函数()y f x =的对称轴方程为()ππ2π32x k k -=+∈Z即()π5π212k x k =+∈Z (2)由条件知12ππ1sin 2sin 20333x x ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且125π2π0123x x <<<< 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于5π12x =对称，则125π6x x += 所以()121115π5πcos cos cos 266x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11πππ1cos 2]sin 23233x x ⎡⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭例33．【2017上海普陀二模】已知函数()sin cos (f x a x b x a =+、b 为常数且0a x ≠∈R ，)．当π4x =时， ()f x 取得最大值． (1)计算11π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设()π4g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) 0；（2）偶函数．试题解析：(1) ()()sin cos f x a x b x x φ=+=+，其中arctan baφ=根据题设条件可得， π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭)a b += 化简得()()2222a b a b+=+，所以2220aab b -+=即()20a b -=，故0a b -=所以()11π11π11πsin cos 04442f a b a b ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭(2)由(1)可得， a b =，即()()πsin cos sin 4f x a x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()ππππsin sin cos 4442g x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()cos (g x x x =∈R )对于任意的()()cos cos (0x g x x x a ∈-=-≠R ，) 即()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数．例34．【2017河南豫南九校联考】已知函数()sin cos f x x x =+．（1）若()()2f x f x =-，求22cos sin cos 1sin x x xx-+的值；（2）求函数()()()()2F x f x f x f x =-+的最大值和单调增区间．【答案】（1）=611．（21．388k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，， k Z ∈．（1）∵()sin cos f x x x =+，∴()sin cos f x x x -=-+． 又()()2f x f x =-，∴()sin cos 2cos sin x x x x +=-， ∴3sin cos x x =， 即sin 1tan cos 3x x x ==， ∴222222cos sin cos cos sin cos 1tan 1sin cos 2sin 2tan 1x x x x x x x x x x x -⋅-⋅-==+++=21163111213-=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭． （2）由题意知， ()()()()2sin cos cos sin sin cos F x x x x x x x =+-++22cos sin 12sin cos x x x x =-++cos2sin21x x =++214x π=++（）∴当sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， ()max1F x ．由222242k x k πππππ-+≤+≤+， k Z ∈，得388k x k ππππ+≤≤+， k Z ∈∴()F x 的单调增区间为388k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，， k Z ∈．点睛：解答本题的关键是熟练掌握同角三角函数的之间的关系及灵活运用，同时还要掌握二倍角的正弦、余弦公式及；两角和的正弦公式、正弦函数的图像与性质等知识的综合运用．求解第一问的关键是借助题设建立方程，求出sin 1tan cos 3x x x ==，进而求出分式的值使得问题获解；解答第二问时，先运用倍角公式进行化简，再运用两角和的正弦公式将其化为正弦函数的形式，借助正弦曲线进行求解而获解．例35．【2017浙江嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学五校联考】已知函数()()()sin cos f x x x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()006,0,52f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2．试题解析：（1）()()()sin cos f x x x x x =＝22sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭…………4分所以，函数()f x 的单调递增区间为： ()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦…………7分 （2）()00262sin 235f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 023sin 235x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，…………9分 又00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 024cos 235x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭， …………11分00224134cos2cos 233525210x x ππ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……14分 例36．【20173月北京海淀区模拟】已知函数()2sin cos sin 222x x xf x =+． （Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 在,32ππ⎛⎤-⎥⎝⎦的值域．【答案】（Ⅰ）14+；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】试题分析：（Ⅰ）把3x π=代入函数解析式即可211132224f π⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅱ）化简()()211c o s 11s i nc o s s i n s i n s i n c o s2222222xx x x fx x x x -=+=+=-+1sin 242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，分析角的取值范围，由,32x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，得7,4124x πππ⎛⎤-∈-⎥⎝⎦，根据正弦函数的图像与性质得1sin 42x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．试题解析：（Ⅰ）∵()2sincos sin 222x x xf x =+，∴22111sin cos sin 36662224f ππππ+⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅱ）()()211cos 11sin cos sin sin sin cos 2222222x x x x f x x x x -=+=+=-+1sin 242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由,32x ππ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，得7,4124x πππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以1sin 4x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，1142x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．考向9 三角恒等变换与平面向量的综合例37．【2017北京朝阳二模】若平面向量(),sin a cos θθ=， ()1,1b =-，且a b ⊥，则sin2θ的值是____．【答案】1例．【2017江苏淮安二模】如图已知四边形AOCB 中，5OA =，()5,0OC =，点B 位于第一象限，若△BOC 为正三角形．（1）若3cos ,5AOB ∠=求点A 的坐标； （2）记向量OA 与BC 的夹角为θ，求cos2θ的值．【答案】（1）A 点坐标为34.22⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭（2）cos2θ=A ∴点坐标为34.22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭（2）向量()5OA 3,4,BC ,2⎛=-= ⎝⎭1532cos θ55105--∴==--⨯ 因此，2cos2θ2cos θ1=-=。

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第四章 三角函数4.1 三角恒等变换单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合．题型一.同角三角函数的基本关系、诱导公式1．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α＞0 B ．cos2α＜0 C ．sin2α＞0 D ．sin2α＜0【答案】D ．【解答】解：α为第四象限角，则−π2+2k π＜α＜2k π，k ∈Z ，则﹣π+4k π＜2α＜4k π，∴2α是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，∴sin2α＜0， 故选：D ．2．（2018•新课标Ⅱ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23，则|a ﹣b |＝（ ） A ．15B ．√55C ．2√55D ．1【答案】B ．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23， ∴cos2α＝2cos 2α﹣1=23，解得cos 2α=56，∴|cosα|=√306，∴|sinα|=√1−3036=√66，|tanα|＝|b−a 2−1|＝|a ﹣b |=|sinα||cosα|=√66√306=√55．故选：B ．3．（2017•新课标Ⅱ）已知sinα﹣cosα=43，则sin2α＝（ ） A ．−79B ．−29C ．29D ．79【答案】A ．【解答】解：∵sinα﹣cosα=43，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α=169， ∴sin2α=−79， 故选：A ．4．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin （α+β）＝ −12． 【答案】−12．【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin 2α+2sinαcosβ+cos 2β＝1，①， cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos 2α+2cosαsinβ+sin 2β＝0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin （α+β）＝1， ∴2sin （α+β）＝﹣1． ∴sin （α+β）=−12． 故答案为：−12．5．（2015•四川）已知sinα+2cosα＝0，则2sinαcosα﹣cos 2α的值是 ﹣1 ． 【答案】﹣1【解答】解：∵sinα+2cosα＝0，即sinα＝﹣2cosα， ∴tanα＝﹣2，则原式=2sinαcosα−cos 2α1=2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα−1tan 2α+1=−54+1=−1， 故答案为：﹣16．（2021•新高考Ⅱ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（ ）A ．−65 B ．−25C ．25D ．65【答案】C ．【解答】解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ) =sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ1+tan 2θ =4−21+4=25． 故选：C ．7．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos （α﹣β）＝ −79． 【答案】−79【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sinα＝sinβ=13，cosα＝﹣cosβ，∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79： ∵sinα=13，当α在第二象限时，cosα=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79， 故答案为：−79题型二.两角和与差公式1．（2017•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），tanα＝2，则cos （α−π4）＝3√1010．【答案】3√1010【解答】解：∵α∈（0，π2），tanα＝2，∴sinα＝2cosα，∵sin 2α+cos 2α＝1，解得sinα=2√55，cosα=√55， ∴cos （α−π4）＝cosαcos π4+sinαsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010， 故答案为：3√10102．（2020•新课标Ⅱ）已知2tanθ﹣tan （θ+π4）＝7，则tanθ＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2【答案】D ．【解答】解：由2tanθ﹣tan （θ+π4）＝7，得2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，即2tanθ﹣2tan 2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan 2θ﹣8tanθ+8＝0， 即tan 2θ﹣4tanθ+4＝0， 即（tanθ﹣2）2＝0， 则tanθ＝2， 故选：D ．3．（2014•新课标Ⅱ）设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则（ ）A ．3α﹣β=π2 B ．3α+β=π2C ．2α﹣β=π2D ．2α+β=π2【答案】C ． 【解答】解：由tanα=1+sinβcosβ，得： sinαcosα=1+sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin （α﹣β）＝cosα＝sin （π2−α）， ∵α∈（0，π2），β∈（0，π2），∴当2α−β=π2时，sin （α﹣β）＝sin （π2−α）＝cosα成立．故选：C ．4．（2015•江苏）已知tanα＝﹣2，tan （α+β）=17，则tanβ的值为 3 ．【答案】3．【解答】解：tanα＝﹣2，tan （α+β）=17， 可知tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=17， 即−2+tanβ1+2tanβ=17，解得tanβ＝3．故答案为：3．5．（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan （θ+π4）=12，则sinθ+cosθ＝ −√105 ． 【答案】−√105【解答】解：∵tan （θ+π4）=tanθ+11−tanθ=12，∴tanθ=−13， 而cos 2θ=cos 2θsin 2θ+cos 2θ=11+tan 2θ， ∵θ为第二象限角， ∴cosθ=−√11+tan 2θ=−3√1010，sinθ=√1−cos2θ=√1010， 则sinθ+cosθ=√1010−3√1010=−√105． 故答案为：−√1056．（2016•新课标Ⅱ）已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ−π4）＝ −43 ． 【答案】−43．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ，则−π4+2kπ＜θ+π4＜π4+2kπ，k ∈Z ， 又sin （θ+π4）=35，∴cos （θ+π4）=√1−sin 2(θ+π4)=√1−(35)2=45． ∴cos （π4−θ）＝sin （θ+π4）=35，sin （π4−θ）＝cos （θ+π4）=45．则tan （θ−π4）＝﹣tan （π4−θ）=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43． 故答案为：−43．7．（2015•重庆）若tanα＝2tan π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C ．【解答】解：tanα＝2tan π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=cosαcos3π10+sinαsin 3π10sinαcos π5−cosαsinπ5=cos3π10+tanαsin 3π10tanαcos π5−sinπ5=cos 3π10+2tan π5sin 3π102tan π5cos π5−sin π5=cos 3π10+2sin π5cosπ5sin 3π102sin π5cosπ5cos π5−sin π5=cos π5cos 3π10+2sin π5sin 3π102sin π5cos π5−cos π5sin π5=cos(π5−3π10)+sin π5sin 3π10sin π5cos π5+sin(π5−π5)=cos π10+sin π5sin 3π10sin π5cos π5=cos π10−12[cos(π5+3π10)−cos(π5−3π10)]12sin 2π5=cos π10+12cos π1012sin 2π5=3cos π10sin 2π5=3cos π10sin(π2−π10)=3cos π10cos π10=3． 故选：C ．题型三.倍角公式1．（2021•乙卷）cos 2π12−cos 25π12=（ ）A ．12B ．√33C ．√22D ．√32【答案】D ．【解答】解：法一、cos2π12−cos25π12=1+cos π62−1+cos5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 法二、cos 2π12−cos 25π12＝cos 2π12−sin 2π12＝cosπ6=√32． 故选：D ．2．（2020•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（ ） A ．√53B ．23C ．13D ．√59【答案】A ．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos 2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0， 即3cos 2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos α=−23．∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），则sinα=√1−cos 2α=√1−(−23)2=√53．故选：A ．3．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）A ．15B ．√55C ．√33D ．2√55【答案】B ．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1， ∴可得：4sinαcosα＝2cos 2α， ∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin 2α+cos 2α＝sin 2α+（2sinα）2＝5sin 2α＝1， ∴解得：sinα=√55． 故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）若cos （π4−α）=35，则sin2α＝（ ）A ．725B ．15C ．−15D ．−725【答案】D ．【解答】解：法1°：∵cos （π4−α）=35，∴sin2α＝cos （π2−2α）＝cos2（π4−α）＝2cos 2（π4−α）﹣1＝2×925−1=−725，法2°：∵cos （π4−α）=√22（sinα+cosα）=35，∴12（1+sin2α）=925，∴sin2α＝2×925−1=−725，故选：D ．5．（2013•浙江）已知α∈R ，sinα+2cosα=√102，则tan2α＝（ ） A ．43B ．34C ．−34D ．−43【答案】C ．【解答】解：由sinα+2cosα=√102，则（sinα+2cosα）2=52，即sin 2α+4sinαcosα+4cos 2α=52， 可得tan 2α+4tanα+4tan 2α+1=52，解得tanα＝3或−13．那么tan2α=2tanα1−tan 2α=−34．故选：C ．6．（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α=23，则cos 2（α+π4）＝（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A ．【解答】解：∵sin2α=23，∴cos 2（α+π4）=12[1+cos （2α+π2）]=12（1﹣sin2α）=12×（1−23）=16． 故选：A ．7．（2021•甲卷）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tanα＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153【答案】A ．【解答】解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα，即2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈（0，π2），∴cosα≠0，则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin 2α，解得sinα=14，则cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=14√154=√1515． 故选：A ．8．（2010•宁夏）若cosα=−45，α是第三象限的角，则1+tanα21−tanα2=（ ）A ．−12 B ．12C ．2D ．﹣2【答案】A ．【解答】解：由cosα=−45，α是第三象限的角， ∴可得sinα=−35，则1+tanα21−tanα2=cos α2+sinα2cos α2−sinα2=1+sinαcosα=1−35−45=−12，故选：A ．9．（2012•江苏）设α为锐角，若cos （α+π6）=45，则sin （2α+π12）的值为 17√250． 【答案】17√250． 【解答】解：设β＝α+π6，∴sinβ=35，sin2β＝2sinβcosβ=2425，cos2β＝2cos 2β﹣1=725， ∴sin （2α+π12）＝sin （2α+π3−π4）＝sin （2β−π4）＝sin2βcos π4−cos2βsin π4=17√250． 故答案为：17√250．10．（2011•重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin(α−π4)的值为 −√142 ． 【答案】−√142 【解答】解：由sinα=12+cosα，得到sinα﹣cosα=12①， 又sin 2α+cos 2α＝1②，且α∈（0，π2）， 联立①②解得：sinα=√7+14，cosα=√7−14，∴cos2α＝cos 2α﹣sin 2α=−√74，sin （α−π4）=√22（sinα﹣cosα）=√24，则cos2αsin(α−π4)=−√74√24=−√142． 故答案为：−√142题型四.三角函数的最值——辅助角公式1．（2021•乙卷）函数f （x ）＝sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3π和√2B ．3π和2C ．6π和√2D ．6π和2【答案】C ．【解答】解：∵f （x ）＝sin x 3+cos x3=√2sin （x 3+π4）， ∴T =2π13=6π．当sin （x3+π4）＝1时，函数f （x ）取得最大值√2；∴函数f （x ）的周期为 6π，最大值√2． 故选：C ．2．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A ．【解答】解：函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）=15sin （x +π3）+cos （﹣x +π6）=15sin （x +π3）+sin （x +π3）=65sin （x +π3）≤65． 故选：A ．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）＝sin 2x +√3cos x −34（x ∈[0，π2]）的最大值是 1 ．【答案】1【解答】解：f （x ）＝sin 2x +√3cos x −34=1﹣cos 2x +√3cos x −34， 令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝﹣t 2+√3t +14=−（t −√32）2+1， 当t =√32时，f （t ）max ＝1， 即f （x ）的最大值为1， 故答案为：14．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝2sin x +sin2x ，则f （x ）的最小值是 −3√32． 【答案】−3√32． 【解答】解：由题意可得T ＝2π是f （x ）＝2sin x +sin2x 的一个周期， 故只需考虑f （x ）＝2sin x +sin2x 在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f ′（x ）＝2cos x +2cos2x ＝2cos x +2（2cos 2x ﹣1）＝2（2cos x ﹣1）（cos x +1），令f ′（x ）＝0可解得cos x =12或cos x ＝﹣1， 可得此时x =π3，π或5π3；∴y ＝2sin x +sin2x 的最小值只能在点x =π3，π或5π3和边界点x ＝0中取到，计算可得f （ π3）=3√32，f （π）＝0，f （ 5π3）=−3√32，f （0）＝0，∴函数的最小值为−3√32， 故答案为：−3√32．5（2020•北京）若函数f （x ）＝sin （x +φ）+cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为 π2．【答案】π2．【解答】解：∵sin （x +φ）≤1，cos x ≤1，又函数f （x ）＝sin （x +φ）+cos x 的最大值为2，所以当且仅当sin （x +φ）＝1，cos x ＝1时函数f （x ）取到最大值， 此时x ＝2k π，k ∈Z ，则sin （x +φ）＝sinφ＝1， 于是φ=π2+2k π，k ∈Z 时φ均满足题意， 故可选k ＝0时，φ=π2． 故答案为：π2．1．（2020•广州模拟）sin80°cos50°+cos140°sin10°＝（ ） A ．−√32 B ．√32C ．−12D ．12【答案】D ．【解答】解：sin80°cos50°+cos140°sin10°＝cos10°cos50°﹣sin50°sin10°＝cos （50°+10°）＝cos60°=12． 故选：D ．2．（2018•沈阳一模）已知tanθ＝2，则sinθ+cosθsinθ+sin 2θ的值为（ ）A ．195B ．165C ．2310D ．1710【答案】C ．【解答】解：∵tanθ＝2，则sinθ+cosθsinθ+sin 2θ=1+1tanθ+sin 2θsin 2θ+cos 2θ＝1+12+tan 2θtan 2θ+1=32+44+1=2310，故选：C ．3．（2020•福州一模）若tan(π2−α)=3cos(α−π)，则cos2α＝（ ） A ．﹣1 B ．79C ．0或79D ．﹣1或79【答案】D ．【解答】解：由tan(π2−α)=3cos(α−π)，得sin(π2−α)cos(π2−α)=−3cosα，所以cosαsinα=−3cosα，所以cosα＝0或sinα=−13，故cos2α＝2cos 2α﹣1＝﹣1，或cos2α=1−2sin 2α=79． 故选：D ．4．（2017秋•乐山期末）已知cos(α+β)=35，sin(β−π6)=13，且α，β均为锐角，则sin(α+π6)=（ ） A ．8√2−315B ．8√2−415C ．8−3√215D ．8−4√215【答案】A ．【解答】解：∵α，β均为锐角， ∴α+β∈（0，π），β−π6∈（−π6，π3）， 由cos(α+β)=35，sin(β−π6)=13，得sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=45，cos （β−π6）=√1−sin 2(β−π6)=2√23．∴sin(α+π6)=sin[（α+β）﹣（β−π6）]＝sin （α+β）cos （β−π6）﹣cos （α+β）sin （β−π6）] =45×2√23−35×13=8√2−315． 故选：A ．5．（2019秋•湖北月考）若sin （π6−θ）=35，则sin （π6+2θ）＝（ ）A ．−2425B ．2425C ．−725D ．725【答案】D ．【解答】解：sin （π6+2θ）＝sin[π2−2（π6−θ）]＝cos2（π6−θ）＝1﹣2sin 2（π6−θ）＝1−1825=725，故选：D ．6．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为 12．【答案】12．【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3）＝sin 2x +（ 12sin x +√32cos x ）2=54sin 2x +34cos 2x +√34sin2x =12sin（2x −π6）+1，当sin （2x −π6）＝﹣1时，函数f （x ）min ＝1−12=12． 故答案为：12．7．已知α，β都是锐角，且tanαtanβ=1+1cosβ，则（ ） A ．2α＝β+πB ．2α＝π﹣βC ．3α＝π+βD ．3α＝π﹣β【解答】解：∵α，β都是锐角，且tanαtanβ=1+1cosβ， ∴sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=1+1cosβ， ∴cosαcosβ+cosα＝sinαsinβ， ∴cos （α+β）＝﹣cosα＝cos （π±α），∴α+β＝2k π+π+α（k ∈Z ），或α+β＝2k π+π﹣α（k ∈Z ）， ∴β＝2k π+π+α（k ∈Z ）（舍去），或2α＝2k π+π﹣β（k ∈Z ）， ∵α，β都是锐角， 当k ＝0时，2α＝π﹣β， 故选：B ．8．已知α，β∈（0，π），cosα=−3√1010，若sin （2α+β）=12sinβ，则α+β＝（ ）A ．54πB ．23πC ．76πD ．74π【解答】解：∵α（0，π），cosα=−3√1010， ∴sinα=√1−cos 2α=√1010， ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×√1010×（−3√1010）=−35，cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×(√1010)2=45， ∵sin （2α+β）=12sinβ， ∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=12sinβ，∴−35cosβ+45sinβ=12sinβ，即sinβ＝2cosβ， 又sin 2β+cos 2β＝1，且β∈（0，π）， ∴sinβ=2√55，cosβ=√55，∴sin （α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=√1010×√55+（−3√1010）×2√55=−√22＜0， ∵α，β∈（0，π），且cosα＜0，cosβ＞0，∴α∈（π2，π），β∈（0，π2），∴α+β∈（π2，3π2），∴α+β=5π4． 故选：A ．。