2010上海高一反三角函数典型例题

高中三角函数公式大全以及典型例题2009年07月12日星期日 19:27三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tan(A-B) =cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式tan2A =Sin2A=2SinA?CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()=tan()==和差化积sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsintana+tanb=积化和差sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb =[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb =[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa.sin(-a) = cosa cos(-a) = sinasin(+a) = cosa cos(+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =万能公式sina=cosa=tana=其它公式a?sina+b?cosa=×sin(a+c) [其中tanc=]a?sin(a)-b?cos(a) =×cos(a-c) [其中tan(c)=]1+sin(a) =(sin+cos)2 1-sin(a) = (sin-cos)2其他非重点三角函数csc(a) =sec(a) =公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosαtan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα公式六：±α及±α与α的三角函数值之间的关系：sin（+α）= cosα cos（+α）= -sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanαsin（-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanαsin（+α）= -cosα cos（+α）= sinα tan（+α）= -cotαcot（+α）= -tanα sin（-α）= -cosα cos（-α）= -sinαtan（-α）= cotα cot（-α）= tanα(以上k∈Z)正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角正切定理:[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ三角函数典型例题1 ．设锐角的内角的对边分别为,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)求的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.(Ⅱ).2 ．在中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C．(Ⅰ)求角B的大小;20070316(Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=.∵0<B<π,∴B=.(II)=4ksinA+cos2A．=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)设sinA=t,则t∈.则=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.∵k>1,∴t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.3 ．在中,角所对的边分别为,.I.试判断△的形状;II.若△的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4 ．在中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=2A,,(1)求的值;(2)若,求边AC的长?【解析】:(1)(2)①又②由①②解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5 ．已知在中,,且与是方程的两个根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若AB,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程的两根.∴(Ⅱ)∵,∴.由(Ⅰ)知,,∵为三角形的内角,∴∵,为三角形的内角,∴,由正弦定理得:∴.6 ．在中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且?(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值?【解析】:(1)2sinB(2cos2-1)=-cos2B2sinBcosB=-cos2B tan2B=-∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B=(2)由tan2B=-B=或①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤∴△ABC的面积最大值为②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)∴ac≤4(2-)∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤ 2-∴△ABC的面积最大值为2-7 ．在中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=+cos2B=(2)由∵b=2,+=ac+4≥2ac,得ac≤, S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为8 ．已知,求的值?【解析】;。

(1)定义域R (2)值域: ( , )
22
(3)奇偶性: 是奇函数
arctan(-x)=-arctanx(x∈R) 其图象关于坐标原点对称。
(4)单调性: 是增函数
-4
-3
-2
-1
2
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一、反正弦函数
1、定义：正弦函数y sin x(x [ , ]) 的反函数
22 叫反正弦函数，记作 y arcsin x
x [1,1], y [ , ]
22 若x a [1,1],有y arcsin a, 这里的“arcsina ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arccos a( a 1) 符号
（1）、arccos a 表示一个角
（2）、这个角的范围是 0,
即arccos a0, .
（3）、这个角的余弦值是 a,
即 cos(arccos a) a(a [1,1])
二、反余弦函数
1、定义：余弦函数 y cos x(x [0, ])
叫反余弦函数，记作 y arccos x
x[1,1], y [0, ]
的反函数
若x a [1,1],有y arccos a,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
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(4) arccos(cos) , [0, ].
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2、反余弦函数y=arccosx,x∈[-1，1]的图 沪教版数学高一下-反三角函数ppt下载【PPT教研课件】 象与性质

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案典型例题单选题1、函数f(x)=sin x−cos(x+π6)的值域为（）A．[-2，2]B．[−√3,√3]C．[-1，1]D．[−√32,√3 2]2、已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3,−2cos3)，则角α的弧度数为（）A．3−π2B．π2−3C．π−3D．3π2−33、在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度值为y，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y与x近似满足y=23.4392911sin0.01720279x.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（）（精确到1）参考数据π0.01720279≈182.6211A．290B．291C．292D．2934、函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[—π，π]的图像大致为A．B．C．D．5、某公园有一摩天轮，其直径为110米，逆时针匀速旋转一周所需时间约为28分钟，最高处距离地面120米，能够看到方圆40公里以内的景致.某乘客观光3分钟时看到一个与其视线水平的建筑物，试估计建筑物多高？（）（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732） A ．50B ．38C ．27D ．156、在0∘~360∘范围内，与−70∘终边相同的角是（ ） A ．70∘B ．110∘C ．150∘D ．290∘7、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−12D ．128、函数y =−sin 2x −4cosx +6的值域是（ ） A ．[2,10]B ．[0,10]C ．[0,2]D ．[2,8] 多选题9、关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|，下列叙述正确的是（ ） A ．f(x)是偶函数B ．f(x)在区间(π2,π)单调递增 C ．f(x)的最大值为2D ．f(x)在[−π,π]有4个零点10、已知0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x 2−kx +2=0的两不等实根，则下列结论正确的是（ ） A ．tanα+tanβ=−k B ．tan(α+β)=−k C ．k >2√2D ．k +tanα≥4 11、已知cos (α+β)=−√55，cos 2α=−513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（ ）A ．sin2α=1213B ．cos (α−β)=19√565C ．cos αcos β=8√565D ．tan αtan β=118填空题12、自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转___________周．13、函数f (x )=sinx 的图象向左平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则下列函数g (x )的结论：①一条对称轴方程为x =7π6；②点(5π6,0)是对称中心；③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g (x )在区间[π2,π]上的最小值为−12.其中所有正确的结论为______.（写出正确结论的序号）部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(四十四)参考答案1、答案：B分析：将f(x)=sin x−cos(x+π6)展开重新整理得到√3sin(x−π6)，求出值域即可解析：f(x)=sin x-cos(x+π6)=sin x-√32cos x+12sin x=32sin x-√32cos x=√3sin(x−π6)，所以函数f(x)的值域为[−√3,√3]故选：B2、答案：A分析：先根据定义得α正切值，再根据诱导公式求解tanα=−2cos32sin3=−sin(π2−3)cos(π2−3)=tan(3−π2)，又0<3−π2<π2，α为锐角，∴α=3−π2，故选：A.3、答案：B分析：设闰年个数为x，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式366x+365(1200−x)=365.2422×1200，求解x即可.解：T=2πω=2π0.01720279=2×182.6211=365.2422，所以一个回归年对应的天数为365.2422天假设1200年中，设定闰年的个数为x，则平年有1200−x个，所以366x+365(1200−x)=365.2422×1200解得：x=0.2422×1200=290.64.故选：B.4、答案：D分析：先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．由f(−x)=sin(−x)+(−x)cos(−x)+(−x)2=−sinx−xcosx+x2=−f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又f(π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π−1+π2>0．故选D．小提示：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．5、答案：C分析：作出简图，求出3分钟走过的角度，从而求出三分钟后距摩天轮最低点的高度，进而求出建筑物的高度.设走了3分钟到达B（如图所示），走过的圆心角为θ=2π×328=3π14，OE=Rcos3π14=55cos3π14，因为π6<3π14<π4，所以√22<cos3π14<√32，所以38.885<55cos3π14<47.63所以AE=55−55cos3π14∈(7.73,21.145)，所以建筑物的高度：55(1−cos3π14)+10∈(17.73,31.145)故选：C6、答案：D解析：根据终边相同的角的定义即可求解.与−70∘终边相同的角的为−70∘+360∘⋅k(k∈Z)，因为在0∘~360∘范围内，所以k =1可得−70∘+360∘=290∘， 故选：D. 7、答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3， 于是tan (α+π4)= tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C. 8、答案：A分析：根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于cosx 的二次函数，利用换元法可得值域. 函数y =−sin 2x −4cosx +6=−(1−cos 2x )−4cosx +6 =cos 2x −4cosx +5=(cosx −2)2+1， 因为cosx ∈[−1,1]，所以当cosx =1时，函数取得最小值2， 当cosx =−1时，函数取得最大值10， 故函数的值域为[2,10]， 故选：A ． 9、答案：AC分析：根据函数的奇偶性、单调性、最值，零点等概念结合正弦函数性质判断各选项． f(−x)=sin |−x |+|sin(−x)|=sin |x |+|sinx |=f(x)，f(x)是偶函数，A 正确； x ∈(π2,π)时，f(x)=sinx +sinx =2sinx ，单调递减，B 错误；f(x)=sin |x |+|sinx |≤1+1=2，且f(π2)=2，因此C 正确；在[−π,π]上，−π<x <0时，f(x)=sin(−x)+(−sinx)=−2sinx >0， 0<x <π时，f(x)=sinx +sinx =2sinx >0， f(x)的零点只有π,0,−π共三个，D 错． 故选：AC ．10、答案：BCD解析：根据题意可得tanα+tanβ=k ，tanα⋅tanβ=2，再利用两角和的正切公式可判断B ，利用基本不等式可判断C 、D由tanα，tanβ是方程x 2−kx +2=0的两不等实根， 所以tanα+tanβ=k ，tanα⋅tanβ=2， tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=k−1=−k ， 由0<α<β<π2，tanα，tanβ均为正数，则tanα+tanβ=k ≥2√tanα⋅tanβ=2√2，当且仅当tanα= tanβ取等号，等号不成立 k +tanα=2tanα+tanβ≥2√2tanα⋅tanβ=4，当且仅当2tanα= tanβ取等号， 故选：BCD小提示：本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 11、答案：AC分析：根据同角关系可求sin2α,sin (α+β)，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C ，根据弦切互化即可求解D. 因为cos(α+β)=−√55，cos2α=−513，其中α，β为锐角，故α+β∈(0,π)所以：sin2α=√1−cos 22α=1213，故A 正确； 因为sin(α+β)=√1−cos(α+β)2=2√55， 所以cos(α−β)=cos[2α−(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β) =(−513)×(−√55)+1213×2√55=2965√5，故B 错误；可得cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]=12(−√55+29√565)=865√5，故C 正确；可得sinαsinβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)]=12[29√565−(−√55)]=2165√5，所以tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=218，故D错误．故选:AC12、答案：125分析：通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果. ∵两个车轮转动的齿数相同，大轮有48齿，小轮有20齿，∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，∴小轮转动4820=125周.所以答案是：125.13、答案：②③④解析：先求得g(x)，然后利用代入法判断①②，根据单调区间和最值的求法判断③④.函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin(x+π6)，g(7π6)=sin(7π6+π6)=sin4π3=sin(π+π3)=−sinπ3=−√32≠±1，所以①错误.g(5π6)=sin(5π6+π6)=sinπ=0，所以②正确.由2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z.令k=0得−2π3≤x≤π3，所以g(x)在区间(0,π3)上为单调增函数，即③正确.由π2≤x≤π得2π3≤x+π6≤7π6，所以当x=π,x+π6=7π6时，g(x)有最小值为sin7π6=sin(π+π6)=−sinπ6=−12，所以④正确.所以答案是：②③④小提示：解决有关三角函数对称轴、对称中心的问题，可以考虑代入验证法.考查三角函数单调区间的问题，可以考虑整体代入法.。

2010届高考数学一轮复习单元测试——函数（附答案及详细解析）一、填空题1.若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =___ 【解析】函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =,所以,2a =,故2()log f x x =, 2.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为_____【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=13.设函数()0)f x a <的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为___________.【解析】12max ||()x x f x -==||a =4a =- 4.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是__________【解析】若x ≠0，则有)(1)1(x f x x x f +=+，取21-=x ，则有：)21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-=（∵)(x f 是偶函数，则)21()21(f f =- ）由此得0)21(=f于是，0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f5.为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点_____________ 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.()3lg 31lg10x y x +=+-=，向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 6.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是_________【解析】由已知，函数先增后减再增,当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。