高斯光束

若有解
( x, y, z) 则为一个正确的波束解，这个解与
x, y有关部分完全含于高斯函数中，其他因子仅为z的函数。
解第一式：
1 f ( z) 2i z k
积分常数
2 f 2 ikf 比较 两式 2 fg ikg
因此，得解
g c f
(c const )

g ( z)
讨论内容：
一、高斯光束的定义 二、高斯光束波函数的解（亥姆霍兹方程的波束解）
1.高斯光束的纵向相位因子
三、高斯光束的传播特性
2.高斯光束的等相面曲率半径
3.高斯光束的束宽与远场发射角
高斯光束
定义：在光学中，高斯光束（Gaussian
分布近似满足高斯函数的电磁波光束。 beam）是横向电场以及辐照度
基本应用：许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光
在光谐振腔里以TEM00波模传播。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成 另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。这解释了高斯光束是激光光学 里一种方便、广泛应用的原因。
描述：高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角
近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。电磁波 的传播包括电场和磁场两部分。研究其中任一个场，就可以描述波在传播时 的性质。
2 0
2i (1 z) k
令
4z 2 2z 2 2 ( z ) (1 2 2 ) 0 [1 ( 2 ) ] k k0
2
f ( z)
同理，可得
1 2iz (1 ) 2 2 ( z) k0
g ( z)
0
2z 1 ( 2 ) k0
e
i
表示各点处的波振幅
e

x2 y 2
2
限制波束宽度的因子
0 0
Z轴上波的振幅
k ( x2 y 2 ) kz 2 k 2 z[1 ( 0 ) 2 ] 2z 讨论
当z 0时=0
z 0 平面是一个波阵面（光束腰部）
2
z 远处时（腰部远处） z k0
亥姆霍兹方程的波束解
波束场强在横截面上的分布形式是由具体激发条件决定的
x2 y2 exp 2
（高斯函数）
此函数具有描某种波束能量在横截面上分布的性质，而所描 述的这种波束能量分布具有轴对称性。在中部场强最大，靠 近边缘处强度迅速减弱。
假设某波束对称轴为z轴，则上式中：
令：
( x, y, z) g ( x) exp( f ( z)( x2 y 2 ))
( x, y, z) : z的缓变函数（相对于eikz）
当z 时 eikz （已有显著变化）
其中：
因此，设
当z~时， ( x, y, z)变化很小，对z的展开可忽略其高次项
电磁场的任一直角分量u( x, y, z)满足亥姆霍兹方程
x y :场点到波束中心轴（z轴）的距离
2
2
: 波束的宽度
由于波动的特点，波束在传播过程中一般不能保持截面不 变，因而波束宽度一般是传播距离的函数。
当 时 或 ，因此波幅也一般为z的函数
以u x, y, z 代表电磁场的任一直角分量，我们设解u具有如下形式：
u x, y, z =g ( z ) exp f z ( x 2 y 2 ) exp(ikz )
( x2 y 2 )[2gf ikgf ] [2 fg ikg ] 0
上式中的撇号表示对z的一阶导数
( x2 y 2 )[2gf ikgf ] [2 fg ikg ] 0
由于上式方程对任意x,y成立，因此两方程括号内的量都应为零 所以，整理得
2 f 2 ikf 2 fg ikg
波束的发散角
tan(
( z)
z
)

2 k0
利用公式
tan(
( z)
z
)
分析：
远场发散角
– 从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道， 在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义当 z 时高斯光 束振幅减小到最大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角 （半角）：
lim
2 当z k0 时
2z ( z) （波束宽随z的变化） k0
分析
z 0时，R( z) 此时的等相面是平面 （R为等相位面曲率半径）
z z0时，R( z) 2z0此时的等相位面曲率半径最小
z 时，R( z) z 此时等相面也是平面
注意
球面的球心位置随着光束的传播不断变化
0 i 0 e
( g ( z)
0
2i 1 z k
)
2z arctan( 2 ) 纵向相位因子 k0
1 2iz 由已知解 f ( z ) 2 (1 2 ) ( z) k0
g ( z)
0
1 ( 2z ) 2 k0
ei 0
0 i e
0
2i 1 z k
0 为积分常数
2i z0 k
注意
此处的 一般为复数，它的虚数部分可以用一项 抵消，使得 为实数，即
f ( z ) 可以改写为：
f ( z)
1 4z2 (1 2 2 ) k
2i (1 z) k
由 f ( z)
1 4z2 (1 2 2 ) k
x2 y 2 1 2 z (1 ) const 2 z
或
r ( x 2 y 2 z ) const
1 2 2
结论： 在远处波阵面变为以腰部中心为球心的球面，波阵面从腰部的 平面逐渐过渡到远处的球面形状
2 4 z 2z 2 2 2 ( z) (1 2 2 ) 0 [1 ( 2 ) ] k k0
arctan(


2
2z ) 2 k0
因此在讨论远处等相面时可以忽略这一项
因此，上式 在远处等相面方程为：
x2 y 2 z const 2z
由于当
z 2 x2 y 2
2 2 x2 y 2 1 x y 2 (1 ) 1 2 z 2z2
等相面方程可写为：
z
( z)
z

0 z0
– 包含在全远场发散角内的光束功率占 – 高斯光束总功率的86.5% 高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过 程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度 集中在轴线及其附近，且等相位面保持球面。
其中：
eikz：沿z方向的传播因子
g ( z)和f ( z) : 对z的缓变函数
e
f ( x )( x 2 y 2 )
: 限制波束空间宽度的因子
由于射束不能有完全确定的波矢量，因此束的宽度 应为z的缓变函数，因子g ( z )主要表示波的振幅，同时也 含有传播因子中与纯平面波因子eikz 偏离的部分
2 2 u x , y , z = g ( z ) exp f z ( x y ) exp(ikz ) 代入
0 i u x, y, z 0 e e
整理上式，得
x2 y 2
2
(z)
(1
2iz
2 k0
)
eikz
0 u x, y, z 0 e
其中
x2 y 2
2
ei
波束的 相位
k ( x2 y 2 ) kz 2 0 k 2 2 z[1 ( ) ] 2z
高斯光束的传播特性
0 u x, y, z 0 e
x2 y 2
2
ei
e
i
相位因子
x2 y 2
0 0 e
2
uk u 0
2 2
(k )
将 u x, y, z =g ( z ) exp f z ( x 2 y 2 ) exp(ikz )代入上式方程
2u 忽略 2 项 z
2 2 2 ik 0 x 2 y 2 z
2 2 （ 2 2 2ik 0） 将 x, y, z 代入上式方程 x y z