容斥原理讲义

容斥原理例题

在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的

初步知识。

在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。如：A=｛五（1）班全体同学｝。我们称一些事物的

全体为一个集合。A=｛五（1）班全体同学｝就是一个集合。

例1. B=｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体的有无限多个元素的集合。

例2. C=｛在1，2，3，…，100 中能被3 整除的数｝=｛3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。

例3. 通常集合用大写的英文字母A、B、C、…表示。构成这个集合的事物称为这个集合的元素。如上面例子中五（1）班的每一位同

学均是集合A 的一个元素。又如在例1 中任何一个自然数都是集

合B 的元素。像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限

集。像集合C 这样含有有限多个元素的集合称为有限集。有限集

合所含元素的个数常用符合︱A︱、︱B︱、︱C︱、…表示。

例4. 记号A∪B 表示所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。集合A∪B 叫做集

合A与的并集。“∪”读作“并”，“A∪B”读

例

例

个长方形表示集合I），常记作A。

如例4 中A=｛1，9｝就是集合A在集合I 中的补集。

显然，A 和A没有公共元素，即A∩A= ∅（∅表示空集，即

没有元素的集合）。

此外，A∪A=I。

对于两个没有公共元素的集合A 和B，显然有

︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱。

例如，A=｛1，2，…，100｝， B=｛101｝，则

A∪B=｛1，2，…，100，101｝， A∩B= ，

所以︱A∪B︱=101=100＋1=︱A︱＋︱B︱。

如果集合A 与B 有公共元素，例如

A =｛1，2，…，100｝，

B =｛90，91，…，101｝，则A∩B =｛90，91，…，100｝， A∪B=｛1，2，…，100，101｝。此时，︱A∪B︱与︱A︱＋︱B︱有什么关系呢？在这个例中，︱A∪B ︱=101，︱A︱＋︱B︱=100＋12=112，所以︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱－11。

我们注意到，11 恰为A∩B 的元素个数，这是合理的，因为在求︱A∪B︱时，90，91，…，100 这11 个数各被计入一次，而在求︱A︱＋︱B︱时，这11 个数各被计入两次（即多算了一次），并且这11 个数组成的集合恰为A∩B。因此得到：

︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱（1）【重要公式，两个集合的容斥关系公式】

这就是关于两个集合的容斥原理：集合A 与B 的元素个数，等于集合A 的元素个数与集合B 的元素个数的和，减去集合A 与B

的交集的元素个数。

（1）是容斥原理的第一个公式，我们还可以用下图来说明。如

图我们用N1、N2、N3 分别表示A∪B 中互不重叠的部分的元素

个数。

可见：︱A︱=N1＋N3，︱B︱=N2＋N3，︱A∩B︱=N3，因此︱A

∪B︱=N1＋N2＋N3=（N1＋N2）+（N2＋N3）-N3=︱A︱＋︱B︱

－︱A∩B︱。

我们知道，当集合A 与B 没有公共元素时，有

︱A∪B︱=︱A︱＋︱B︱。

实际上这是公式（1）的特殊情形，因为此时

︱A∩B︱=︱ ︱=0

例7. 桌面上有两张圆纸片A、B。假设圆纸片A 的面积为30平方厘米，圆纸片B 的面积为20 平方厘米。这两张圆纸片重叠部分的面积

为10 平方厘米，则这两张圆纸片覆盖桌面的面积由容斥原理的

公式（1）可以算出为：︱A∪B︱=30+20-10=40（平方厘米）。例8. 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？

分析用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学

报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两

种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多

112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。

例9.某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名

教师？

分析把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，

两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才

能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。

例10.学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有

86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？

分析两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组

的一个小组的人数是84＋86－25=144人，所以，这两个小组都

不参加的人数是250－144=106人。

例11.实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级

的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？

分析由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年

级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年

级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人

数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人

数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人

数是4＋20=24人。

例12.在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少

人？

分析显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75＋45=120人，比100

多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人

中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－

20=55人。

例13. 求在1 至100 的自然数中能被3 或7 整除的数的个数。

分析解这类问题时首先要知道在一串连续自然数中能被给定整

数整除的数的个数规律是：在n 个连续自然数中有且仅有一个

数能被n 整除。根据这个规律我们可以很容易地求出在1 至100 中能被3 整除的数的个数为33 个，被7 整除的数的个数为14

个，而其中被3 和7 都能整除的数有4 个。因而得到：