第8讲 一次函数的图象与性质
考点·方法·破译
1．一次函数及图象：
⑴形如y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠0时，y 叫做x 的正比例函数． ⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（0，b ）、（－k
b ，0）两点的直线． 2．一次函数的性质：
当k ＞0时，y 随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．
3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．
经典·考题·赏析
【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
【解法指导】A 中①a ＞0，b ＞0，②b ＜0，a ＜0矛盾．B 中①a ＜0，b ＜0，矛盾．C 中①a ＞0，b ＞0②b ＞0，a ＝0矛盾．D 中①a ＞0，b ＜0②b ＜0，a ＞0，故选D ．
【变式题组】
01．（河北）如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
02．（安徽）已知函数y＝kx＋b的图象如左图，则y＝2kx＋b的图象可能是（）
03．下列图象中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，则mn≠0）的图象是（）
【例２】（绍兴）如图，一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和Q（c，d）则a（c－d）－b（c－d）的值为_______．
【解法指导】因为点P (a ，b ),Q （c ，d ）在一次函数图象上，∴b ＝a ＋5，d ＝c ＋5∴a －b ＝－5，c －d ＝－5，a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25
【变式题组】
01．如图一条直线l 经过不同三点A （a ，b ）,B （b ，a ）C （a －b ，b －a ）则直线l 经过（ ）
A ．第二、四象限
B ．第一、三象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A (2,3),B （5,4）C (－4,1)依次连接这三点，则（ ）
A ．构成等边三角形
B ．构成直角三角形
C ．构成锐角三角形
D ．三点在同一条直线上
03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三
角形，则a 的值为_______．
【例３】如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A (1,1)、B (3,1)、C (3,3)、D (1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．直线与y 轴的交点为（0，b ），则b 的变化范围是_____.
【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 的直线，当直线经过B 点时，b 最小，当x ＝3时，y ＝1
∴1＝2×3＋b ， b ＝－5
当直线经过D 点时，b 最大，
所以当x ＝1时，y ＝3
∴3＝2×1＋b ， b ＝1
∴－5≤b ≤1
【变式题组】
01．线段y ＝－2
1x ＋a （1≤b ≤3），当a 的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10
02．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1），Q (2,2)，函数y ＝kx －1的图象与线段PQ 延长线相交
（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是_________.
03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定
的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y ＝k 1x ＋b 1（k 1≠0）的图象为直线l 1，一次函数y ＝k 2x ＋b 2（k 2≠0）的图象为直线l 2，若k 1＝ k 2，且b 1＝b 2，我们就称直线l 1与直线l 2平行．解答下面的问题：
⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；
⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y ＝kx ＋t （t ＞0）与直线平行且交于x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式．
【例４】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤6时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．
【解法指导】⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点
∴???=+=+9652b k b k ∴???=-=3
1b k ，∴y ＝x ＋3
⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点
∴???=+=+5692b k b k ∴?
??-=-=111b k ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11
【变式题组】
01．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤1时，对应y 的值为1≤y ≤9，则kb 的值为（ ）
A ．4
B ． －6
C ．－4或21
D ．－6或14
02．（遂宁）已知整数x 满足－5≤x ≤5，y 1＝x ＋1，y 2＝2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y 1,、y 2中的最小值，则m
的最大值是（ ）
A ．1
B ． 2
C ．24
D ．－9
【例５】如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于 C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB ,求直线BC 的解析式．
【解法指导】由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC ,因而OB ＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B
∴B (0，－5)
∴C (5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5
【变式题组】
01．如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，点
A (5,0),O 是坐标原点，△P AO 的面积S ．
⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
⑵探究：当P 点运动到什么位置时△P AO 的面积为10.
02．如图，直线l ：y ＝－2
1x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0,4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．
⑴求A 、B 两点的坐标；
⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；
⑶当t 为何值时，△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．
03．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx＋b经过A（0,2）、B(4,2)两点．
⑴求直线AB的解析式；
⑵点C的坐标为（0,1），过点C作CD⊥AO交AB于D. x轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成
的三角形与△ACD全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．
【例６】如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一条直线y＝kx＋b（k≠0）经过（1，0），且把△AOB分成两部分．⑴若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；⑵若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5,求k和b的值．
【解法指导】欲求k 和b 的值，需知道直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过两已知点，而点C （1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．
解：⑴由题意得（2，0）、B (0，2)，∴C 为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．
∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）
∴?
??=+=b b kx 20∴k ＝2 b ＝2 ⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN ,∴MN ∥x 轴，∴N (34,3
2) ∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴?????=+=+0
3234b k b k ∴???-==22b k 【变式题组】
01．如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－2
1x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．
⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标； ⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不
存在，请说明理由；
⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
02．（浙江杭州）已知，直线y ＝－13
3+x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC ,90=∠BAC °，且点P （1,a ）为坐标系中的一个动点．
⑴求三角形ABC 的面积S △ABC ;
⑵证明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；
⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．
演练巩固·反馈提高
01．（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k 2
＋1的图象可能正确的是（ ）
02．一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）
03．一次函数y ＝（m －1）x ＋m 2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）
A ． 5±
B ．1±
C ．－1
D ．－2
04．直线y 1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y 2＝bx －k 不经过（）
A ． 第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
05．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范
围是（ ）
A ．m ＞21
B .m ≤2
C ．21＜m ＜2
D . 2
1＜m ≤2 06．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x
轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A ． 1
B ．3
C ．3(m －1)
D ． 23
（m －2）
07．（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线
y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ． 12.5
B ．25
C ．12.5a
D ． 25a
08．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△
ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）
09．（日照）如图，点A 的坐标为（－1,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）
A ．（0，0）
B ．（22，－22）
C ．（－21，－21）
D ．（－22，－2
2） 10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象
限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.
11．观察下列各直角坐标系中的直线AB ，点P （x ，y ）是线段AB 上的点，且x 、y 都是整数，请根据图中所包含的
规律，回答下列问题：
⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;
⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.
12．（十堰）直线y ＝kx ＋b 经过点A (－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O 为坐标原点）的面积为2，则b 的
值为________.
13．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝－x ＋b 恰好平分长方形的面积，则b ＝_______.
14．如图，点B 、C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k
＝______.
15．（东营）正方形A 1B 1C 1O 1,A 2B 2C 2C 1,A 3B 3C 3C 2,…按如图所示的方式放置．点A 1,A 2,A 3,…和C 1,C 2，C 3,…分别在
直线y ＝kx ＋b (k ＞0)和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2）则B n 的坐标是________.
16．点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_____.
17．已知直线y 1＝x ，y 2＝31x ＋1，y 3＝－5
4x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y 1、y 2、y 3中最小的值，则y 的最大值为_______. 18．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (0,－3),且与函数y ＝
21x ＋1的图象相交于点A （a ,38）. ⑴求a 的值；
⑵若函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点是B ,函数y ＝
2
1x ＋1的图象与y 轴的交点是C ,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).
19．定义[]q p ,为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．
⑴求一次函数y ＝－2（x －1）的特征数；
⑵若特征数是[]2,2-k 的一次函数为正比例函数，求k 的值．
20．已知：三点A (a ，1)、B (3,1)、C (6,0)，点A 在正比例函数y ＝21x 的图象上． ⑴求a 的值；
⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；
21.已知直线ln ：y ＝－n n 1+x ＋n
1（n 是正整数）.当n ＝1时，直线l 1:y ＝－2x ＋1与x 轴和y 轴分别交于点A 1和B 1.设△A 1OB 1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s 1.当n ＝2时，直线l 2：y ＝－2
123+x 与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2，设△A 2OB 2的面积为s 2，…，依次类推，直线l n 与x 轴和y 轴分别交于点A n 和B n ，设△A n OB n 的面积为S n .
⑴求△A 1OB 1的面积s 1；
⑵求s 1＋s 2＋s 3＋…＋s 2010的值.
22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （－1，1），B （－1，－1），C
（1，－1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分．
⑴s 与t 之间的函数关系式是：_________； (2）与图③相对应的P 点的运动路径是：________；P 点出发 _______秒首次到达点B ；
⑶写出当3≤s ≤8时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．
培优升级·奥赛检测
01．已知abc ≠0，且b
a c a c
b
c b a +=+=+＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限 D ．第一、四象限
02．一个一次函数的图象与直线y ＝x 45＋4
95平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1,－25),则在线段AB 上（包括端点A 、B ）横坐标、纵坐标都是整数的点有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
03．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取点P ，作P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，长方形OAPB 的面积为2，
则这样的点P 共有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
04．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，若MP ＋
MQ 取最小值，则点M 的坐标为________.
05．已知点A （0，2）、B (4,0)，点C 、D 分别在直线x ＝1与x ＝2上运动，且CD ∥x 轴，当AC ＋CD ＋DB 的值最
小值，点C 的坐标为_____________.
06．在直角坐标系中，有两个点A (－8,3)、B （－4，5）以及动点C （0，n ）、D （m ，0）.当四边形ABCD 的周长
最短时，n
m 的值为_________. 07．已知函数y ＝（a －2）x －3a －1，当自变量x 的值范围为3≤x ≤5时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3
的值，求实数a 的取值范围．
08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b （a 为整数）的图象过（98，19），它与x 轴的交点为（p ，
0），与y 轴的交点为（0，q ），若P 为质数，q 是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析
式；若存在，说明理由．
09．若直线y＝mx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形面积为12，求m.
10．设f（x）＝kx＋1是x的函数，若m（k）表示函数f（x）＝kx＋1在1≤x≤3条件下的最大值，求函数m（k）的解析式，并作出图象．