陕西省延安市黄陵中学高新部2020-2021学年高一上学期期
中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ）
A ．一切很大数
B ．方程210x -=的实数根
C ．漂亮的小女孩
D ．好心人
2．如图，U 为全集，M ，N 是集合U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．M N ?
B ．()U M N ?
C ．()U N M
D ．()U M N
3．已知集合{}240A x
x =-=∣，则集合A 的所有子集的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．函数y = ）
A ．{}0.50.75x x -<<
B ．{}0.50.75x x -≤≤
C ．{}0.5x x ≤
D ．{
0.5x x >-且}0x ≠ 5．已知2(21)25f x x x +=--，则()f x 的解析式为（ ）
A ．2()46f x x =-
B ．21315()424f x x x =--
C ．21315()424f x x x =+-
D ．2()25f x x x =--
6．某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km ），以后每1km 收费1．8元（不足1km 按1km 计价），则乘坐出租车的费用y （元）与行驶的里程()km x 之间的函数图像大致为下列图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2?
? ???
，则()2f 等于（ ）
A ．14
B ．4
C ．2
D 8．若函数()12x y a =-是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )
A ．1,2??+∞ ???
B ．(),0-∞
C ．1,2?
?-∞ ??? D ．11,22??- ???
9．已知 1.2log 0.3a =， 1.2log 0.8b =，0.51.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >> 10．函数3()33f x x x =--一定有零点的区间是（ ）．
A ．(2,3)
B ．(1,2)
C ．(0,1)
D ．(1,0)- 11．函数1
21()()2
x f x x =-的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 12．若()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．122lg x x x >>
B ．1
22lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1
2lg 2x x x >>
二、填空题
13．已知集合{}
2220x x mx -+==?，则实数m 的取值范围为__________．
14．给定四个函数：①3y x =+②1(0)y x x =>；③31y x =+；④21x y x +=．其
中是奇函数的有__________．（填序号）
15．函数f （x ）=log 5（2x +1）的单调增区间是 ．
16．用二分法求方程ln 20x x -+=在区间()1,2上零点的近似值，先取区间中点32c =，则下一个含根的区间是__________．
三、解答题
17．设集合{}14M x x =≤≤，{}2N x x =≥，求()U M N ．
18．某公司在甲乙两地同时销售一种奢侈品，利润（单位：万元）分别为2116L x x
=-+和2L =41x +，其中x 为销售量（单位：件）．若该公司在两地共销售18件，则能获得的最大利润为多少万元？
19．用定义法证明函数4y x =-
在(0,)+∞上单调递增． 20．（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3
+++．
（29
2
23-?
21．已知()24()log 23f x x x =+-．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 的最大值，并求取得最大值时的x 的值．
22．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)
y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mt
y c ??= ???
（c ，m 为常数）． （1）求c ，m 的值；
（2）若地下车库中一氧化碳浓度不高于0.5L /L μ为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
参考答案
1．B
【分析】
根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A 选项，很大数没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合；排除A ；
B 选项，方程210x -=的实数根为±1，能构成集合；B 正确；
C 选项，漂亮没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除C ；
D 选项，好心人没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除D.
故选：B.
2．C
【分析】
U 为全集，M 、N 是集合U 的子集，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．
【详解】
由已知中阴影部分在集合M 中，而不在集合N 中，故阴影部分所表示的元素属于M ， 不属于N （属于N 的补集） 即()U M
C N ；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了Venn 图表达集合的关系及集合运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．
3．D
【分析】
可用列举法列出所有子集即可.
【详解】 集合{}
{}2402,2A x x =-==-∣， 则集合A 的子集有?、{}2、{}2,2-、{}2-.
集合A 的所有子集的个数为4.
故选：D.
4．B
【分析】
根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.
【详解】
因为y =
所以210340x x +≥??-≥?
，解得0.50.75x -≤≤. 故选：B.
5．B
【分析】
令21t x =+，得到12t x -=
，代入已知条件，化简整理，即可得出结果. 【详解】
令21t x =+，则12t x -=
， 又2(21)25f x x x +=--， 所以2221211315()15424424t t t f t t t t t --+??=-+-=--=-- ???
， 因此21315()424
f x x x =
--. 故选：B.
6．B
【分析】
根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数 ,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定.
【详解】
出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是3km ). (]0,3∴对应的值都是5，
以后毎1km 价为1.8元，
不足1km 按1km 计价，
34x ∴<≤时，5 1.8 6.8,y =+=
45x <≤时，5 1.8 1.88.6y =++=，
故选：B
7．C
【分析】
先设幂函数为()f x x α=（其中α为常数），根据函数过点14,2?
? ???
，求出函数解析式，即可得出函数值.
【详解】
设幂函数为()f x x α
=（其中α为常数）， 因为该函数图像过点14,2?
? ???，所以142α=，解得12
α=-，因此12()f x x -=，
所以()2
2f =
=. 故选：C.
8．B
【解析】 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数121a ->，解得0a <. 故选B.
9．D
【分析】
先根据对数的单调性比较a ,b ，再以0为“桥梁”比较大小即可.
【详解】
1.2log y x =在(0,)+∞上是增函数,
1.2 1.2 1.2log 0.3log 0.8log 10a b ∴=<=<=，
0.51.50c =>，
∴c b a >>，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了对数函数的单调性，指数的性质，属于容易题.
10．A
【解析】
3()33f x x x =--，
A 中，(2)10f =-<，(3)150f =>，且()f x 处处连续，所以()f x 在(2,3)上一定有零点，故A 正确；
B 中，(1)0f <，(2)0f <，()f x 在(1,2)上不一定有零点，B 错误；
C 中，(0)0f <，(1)0f <，()f x 在(0,1)上不一定有零点，C 错误；
D 中，(1)0f -<，(0)0f <，()f x 在(1,0)-上不一定有零点，D 错误．
故选A ．
点睛: 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数()y f x =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b <,那么函数()y f x =在区间[a,b]内有零点,即存在(),c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的实数根.但是反之不一定成立.
11．B
【分析】
将问题转化为2个函数的交点问题，化成函数图象即可得出结论.
【详解】 函数12
1()()2x f x x =-的零点，即令121()()02x f x x =-=，根据此题可得121()2x x =，在
平面直角坐标系中分别画出幂函数y =12x
y ??= ???
的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数零点，意在考查学生的化归于转化的数学思想，属基础题.
12．A
【分析】
分别根据对数函数、幂函数、指数函数的单调性可得答案.
【详解】
根据对数函数的单调性得，当()1,2x ∈，2(2,4)x
y =∈； 根据幂函数的单调性得，当()1,2x ∈，1
2y x =∈；
根据指数函数的单调性得，当()1,2x ∈， ()lg lg1,lg2x ∈，即()lg 0,lg2x ∈， 因为lg 2lg101<=， 所以122lg x x x >>， 故选：A.
13．(
【分析】
根据题意得2480m ?=-<，解不等式即可得答案
【详解】 解：因为集合{}2220x x mx -+==?，
所以关于x 的方程2220x mx -+=无解，
所以2480m ?=-<，解得(m ∈，
故答案为：(
14．①④
【分析】
根据奇函数定义，结合定义域优先法则，依次判断，即可得到答案.
【详解】
①函数的定义域为R ，令()3y f x x ==，则()()3f x x f x -=-=-，所以函数()f x 是奇函数； ②函数的定义域关于原点不对称，则函数1(0)y x x
=>为非奇非偶函数； ③函数的定义域为R ，令()31y f x x ==+，则()010f =≠，且()12f =，()10f -=，
()()11f f ≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数；
④函数的定义域为()()00,-∞+∞，，令()21x y f x x +==，则()()21x f x f x x
+-==--，所以函数()f x 是奇函数.
故答案为：①④
15．（﹣，+∞）
【详解】
因为函数u ＝2x ＋1，y ＝log 5u 在定义域上都是递增函数，
所以函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间，
即为该函数的定义域，
即2x ＋1＞0，解得x ＞－12
， 所以所求单调增区间是1,2??-+∞ ???
， 故答案为1,2??-
+∞ ???
.
16．3,22?? ???
【分析】
()ln 2f x x x =-+在[]1,2上单调递增，且()110f =-<，()2ln 20f =>，取区间中点32，判断331ln 222f ??=- ???
的正负，采取化简为同底对数比较大小，再根据零点存在性定理，即可求解
【详解】
()ln 2f x x x =-+在[]1,2上单调递增，()110f =-<，()2ln 20f =>，
3313
ln ln
2222f ??=-=- ???，因为232e ??< ???，则32<所以302f ??< ???，则()3202f f ???< ???，所以下一个含根区间应该为3,22?? ???． 故答案为：3,22?? ???
17．{}4x x >
【分析】
由题中条件，先求出
U M ，再与集合N 求交集，即可得出结果. 【详解】 ∵{}14M x x =≤≤，{}2N x x =≥， ∴
{1U M x x =<或}4x >， ∴(){}4U
M N x x ?=>． 18．109万元．
【分析】
设在甲地销售奢侈品x 件，则在乙地销售()18x -件，根据利润函数表示出利润之和，利用配方法求出函数的最值即可.
【详解】
设这种奢侈品在甲地销售x 件，则在乙地销售()18x -件，由题意得：
总利润212164(18)1L L L x x x =+=-++-+
21273x x =-++
()21236109x x =--++
2(6)109x =--+
当6x =时，max 109L =．
∴当在甲地售出6件，乙地售出12件时利润最大为109万元．
19．证明见解析
【分析】
利用定义法证明单调性即可,注意“作差”、“变形”、“定号”和“下结论”四步骤.
【详解】
证明：任取12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，则
()()121244f x f x x x ??-=-
-- ??? 2144x x =
- ()1212
4x x x x -= ∵120x x <<，∴120x x >，120x x -<，
∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
∴()f x 在()0,∞+上单调递增．
20．（1）3；（2
【分析】 （1）根据对数运算性质与运算律运算即可；
（2）先将根式指数幂化为分数指数幂，再根据指数运算法则运算求解即可.
【详解】
解：（1）原式()()2
2lg52lg 2lg5lg52lg 2lg 2=++++ 222(lg 5lg 2)(lg 5)2lg 5lg 2(lg 2)=+++?+
22(lg 5lg 2)=++
3=
（29223-?122952332281010???-? ???=?÷ 1
5
3
3281010
--=?? 121102=?
= 21．（1）()f x 在()1,1-上单增，()f x 在()1,3上单减；（2）1x =，最大值1.
【分析】
（1）先由解析式求出函数定义域为()1,3-，令2()23u x x x =-++，根据二次函数单调性，
对数函数单调性，以及复合函数单调性的判定方法，即可得出结果；
（2）由（1）的结果，可直接得出函数的最大值，以及取最大值时的x 的值．
【详解】
（1）由()24()log 23f x x x
=+-得，2230x x -++>，解得13x ，
即()f x 定义域为()1,3-；
令2()23u x x x =-++，知(1,1)x ∈-时，()u x 单调递增， ()1,3x ∈时，()u x 单调递减，
∴由4log y u =是单调递增函数，根据复合函数同增异减的性质知：
()f x 在()1,1-上单调递增，()f x 在()1,3上单调递减，
即()f x 的单调递增区间为()1,1-；单调递减区间为()1,3；
（2）由（1）知当()u x 取最大时()f x 取最大，
∴当1x =时，max ()(1)4u x u ==，
∴max 4()log 41f x ==．
【点睛】
方法点睛：
判定复合函数单调性时，一般根据内函数与外函数的单调性来判断，由同增异减，即可判断出结果；即内函数与外函数单调性一致时，复合函数整体单调递增；内函数与外函数单调性不同时，复合函数整体单调递减.
22．（1）11284
c m ==
，（2）32min 【分析】 (1)将4,64t y ==和8,32t y ==分别代入12mt y c ??= ???
,列方程组可解得1128,4c m ==,从而可得.
(2) 由(1)知1411282??=? ???t y ,然后利用指数函数的单调性解不等式14
11280.52t ??? ???即可得
到.
【详解】
(1)由题意，可得方程组4816421322m m c c ???=? ????????= ?????，解得12814c m =???=??． (2)由(1)知14
11282??=? ???
t y ． 由题意，可得 14
11280.52t ??? ???，
即 1841122t ???? ? ?????
，即 184t ，解得32≥t ． 所以至少排气 32min ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
【点睛】
本题考查了指数型函数的解析式的求法以及利用指数函数的单调性解指数不等式,属于基础题.