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第十讲 列方程解应用题——有趣的行程问题
数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”．
数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变．
行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．
熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧．
例题
【例1】 某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A、C两地的距离为10千米，则A、B两地的距离为 千米． (重庆市竞赛题)
思路点拨 等量关系明显，关键是考虑C地所处的位置．
注： 列方程的方法为解应用题提供—般的解题步骤和规范的计算方法，使问题“化难为易”，充分显示了字母代数的优越性，它是算术方法解应用题在字母代数础上的发展．
【例2】 如图，某人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65米／分的速度，乙从B以72米／分的速度行走，当乙第一次迫上甲时在正方形的( )．
A．AB边上 B．DA边上 C．BC边上 D．CD边上 (安徽省竞赛题)
思路点拨:本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270(米)处．
【例3】 父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑?步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在100米的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑．问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由．
1 实际问题与一元一次方程——行程问题
一、单选题
1．某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长（ ）
A．150 米 B．215米 C．265 米 D．310米
2．一天早上，小宇从家出发去上学．小宇在离家800米时，突然想起班级今天要进行建党100周年合唱彩排，表演的衣服忘了，于是小宇立即打电话通知妈妈送来，自己则一直保持原来的速度继续赶往学校，妈妈接到电话后，马上拿起衣服以180米/分的速度沿相同的路线追赶小宇，10分钟后追上了小宇，把衣服给小宇后又立即以原速原路返回，小宇拿到衣服后继续原速赶往学校（打接电话、拿取衣服等时间都忽略不计）．当小宇妈妈回到家中时，恰好小宇也刚好到学校．则小宇家离学校的距离为（ ）
A．1800米 B．2000米 C．2800米 D．3200米
3．《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作，全书分为九章，在第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南悔．今凫雁俱起，问何日相逢？”愈思是：今有野鸭从南海起飞．7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭大雁同时起飞，问经过多少天相逢．利用方程思想解决这一问题时，设经过x天相遇，根据题意列出的方程是（ ）
A．971x B．971x C．11179x D．11179x
4．方方早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是（ ）
A．25015290080xx B．80152502900xx
一元一次方程应用题行程问题专题讲解
行程问题中最核心的数量关系就是：路程=速度×时间，当然由于所处的背景会发生变化，
所以公式在不同情况下会进行延伸性的发展，那么在做这类题的时间首先要根据题目来
确定是何种类型，数量关系具体如何表示的。今天针对行程问题来进行分类讲解：
题型一：相向而行（相遇问题）
例 1：A、B 两站相距 300 千米，一列快车从 A 站开出，行驶速度是每小时 60 千米，一列
慢车从 B 站开出，行驶速度是每小时 40 千米，快车先开 15 分钟，两车相向而行，快车
开出几小时后两车相遇？
训练 1.小李和小刚家距离 900 米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60 米，小刚每
分走 90 米，几分钟后两人相遇？
2.小明和小刚家距离 900 米，两人同时从家出发相向行，5 分钟后两人相遇，小刚每分走
80 米，小明每分走多少米?
3.王强和赵文从相距 2280 米的两地出发相向而行，王强每分行 60 米，赵文每分行 80
米，王强出发 3 分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？
4.两辆车从相距 360 千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行 60 千米，1 小时
后乙车出发，每小时行 40 千米，乙车出发几小时两车相遇？ 5.两村相距 35 千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行 5 千米，乙每小时行
4 千米，甲先出发 1 小时后，乙才出发，当他们相距 9 千米时，乙行了多长时间？
6.甲乙二人从相距 45 千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行 1 千米，5 小时
后二人相遇，求两人的速度。
7.甲乙二人从相距 100 千米的两地出发相向而行，甲先出发 1 小时，他们在乙出发 4 小
时后相遇，已知甲比乙每小时多行 2 千米，求两人的速度。
8.AB 两地相距 900 米。甲乙二人同时从 A 点出发，同向而行，甲每分行70 米，乙每分行
50 米，甲到达 A 点后马上返回与乙在途中相遇，两人从出发到相遇一共用了多少时间？
初中数学应用题类型归纳
列出方程(组)解应用题的一般步骤是：
1审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;
2找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;
3设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数
4列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程
5解方程(或方程组)，求出未知数的值;
6检验：针对结果进行必要的检验；
7作答：包括单位名称在内进行完整的答语。
一元一次方程应用题归类汇集：行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等
第一类：行程问题
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间
关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
基本题型：已知路程（相遇问题、追击问题）、时间（相遇时间、追击时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求出第三个量。
【一】相遇问题
相遇问题有两种情况，1、同时不同地【隐含条件出发到相遇的时间相同】
2、不同时不同地【隐含条件是后出发的时间与先出发的后面所用的时间相等】
