4 无穷小量与无穷大量

教学课题：§５无穷小量与无穷大量

教学目的：理解无穷小、无穷大及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。

教学重点：会利用它们求某些函数的极限

教学进程：

在学习数列极限时，有一类数列超级引人注视，它们具有如下特征：lim0nna. 咱们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。咱们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：

0limsin0,xx 20lim0,xx

咱们给这种函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？

以上就是咱们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量

1．概念１：设f在某00()Ux内有概念。若0lim()0xxfx，则称f为当0xx时的无穷小量（简称无穷小）。记作：

0()0(1)()fxxx.

（类似地可以概念当00,,,,xxxxxxx时的无穷小量）。

例：(1,2,),sin,1coskxkxx都是当0x时的无穷小量；1x是当1x时的无穷小量；21sin,xxx是x时的无穷小量。

2．无穷小量的性质

（１）概念

概念２（有界量）若函数g在某00()Ux内有界，则称g为当0xx时的有界量，记作：

0()(1)()gxOxx.

例如：sinx是当x时的有界量，即sin(1)()xOx; 1sinx是当0x时的有界量，即1sin(1)(0)Oxx.

注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()fxxx，则0()(1)()fxOxx. 区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数f是有界函数或函数f是有界的，意味着存在Ｍ>０，f在概念域内每一点x，都有|()|fxM。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。

§1.3 无穷小量与无穷大量

一、无穷小量与无穷大量的概念

在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量。例单摆离开铅直位置并摆动, 由于受到空气阻力和机械摩擦力作用, 它的振幅随时间增加而逐渐减少并趋近于零; 又如在电容器放电时, 电压也是随时间的增加而逐渐减少趋近于零.

还有一些变量在变化过程中, 绝对值无限增大. 下面我们给出这两种变量的定义:

【定义1】如果lim()0xXfx，则称函数()fx是当xX时的无穷小量，简称无穷小．

若lim()xXfx，则称()fx为当xX时的无穷大量，简称无穷大．

也就是说, 无穷小是以0为极限的函数,无穷大是绝对值无限增大的函数.

例如, 当0x时，2,sin,xxx都是无穷小, 当1x时，2(1),lnxx是无穷小,当x时，1x是无穷小. 当0x时，1x是无穷大, 当x时，2x是无穷大.

注定义中“xX”表示自变量的某个变化过程，可以是“x、x、x、0xx、0xx、0xx”中的任何一种．

在自变量的同一变化过程中的无穷小具有如下性质:

【性质1】有限个无穷小的代数和是无穷小.

【性质2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

由以上两个性质立得以下两性质:

【性质3】常数与无穷小的乘积是无穷小.

【性质4】有限个无穷小的乘积是无穷小. 【例1】求 01limsin.xxx

【分析】当0x时, 1x, 1sinx的取值在区间[1,1]上波动, 无极限, 不能用积的极限法则计算, 应考虑无穷小的性质.

【解】当0x时，x是无穷小量, 又因为1sin1x，所以1sinx是有界变量；．根据性质2有01limsin0.xxx

二、无穷大量与无穷小量的关系

无穷小与无穷大有如下关系:

【定理1】在自变量的同一变化过程中, 如果()fx为无穷大, 则1()fx为无穷小；反之, 如果()fx为无穷小, 且()0fx, 则1()fx为无穷大.

单元教学设计

课题名称 学时数 课程类型

无穷小量与无穷大量 2 理论课

教学内容及学情分析 本节主要学习特殊的变量，无穷小与无穷大，以及无穷小的相关应用。无穷大的概念其实早有接触，两个概念都是建立在极限的基础上。

教学目标 知识目标 1.无穷小量与无穷大量的概念及二者的关系；

2.无穷小量的性质及其应用；

3.等价无穷小。

能力目标 1.掌握无穷小与无穷大的概念；

2.会利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的等价代换等求函数的极限。

素质目标 1.培养学生辩证思维及分析问题解决问题的能力；

2.培养学生缜密的思维及耐心细致不惧难题的学习品质。

教学过程

教学环节 时间分配 教学内容 教学活动 教学

资源 覆盖目标

课程育人 10’ 课前布置任务：

讨论阻尼运动的变化特征，查阅第二次数学危机的产生背景、历史故事 师生共同分享各自查阅的有关资料 多媒体课件 素质目标1，2

导入新课 10’ 讨论阻尼运动的变化特征，随着时间的增加，摆动幅度越来越小，趋向于零 学生对课前布置的问题进行思考和查阅资料，选择学生简单叙述自己的理解和体会。 多媒体课件 知识目标1 讲授新课 40’ 1.无穷小的概念及其性质；

2.无穷大的概念；

3.无穷小与无穷小的关系；

4.无穷小的比较，等价无穷小的性质及应用 1.讲授无穷小与无穷大的概念；

2.介绍两者的区别、联系

3.让学生感受这两种特殊“变量”的变化过程 板书多媒体课件 知识目标1,2,3

学生互动 20’ 1.讨论一个函数，当自变量如何变化时是无穷小，或者是无穷大；

2.利用无穷小的性质求函数的极限；

3.进行无穷小的比较，体会“极限”实际上是描述最终的变化趋势 学生黑板练习

教师答疑解惑 板书 能力目标1,2

素质目标1,2

课堂小结 5’ 1.本节课学习了无穷小与无穷大的概念；

2.理解这两种特殊的极限形式，它们都是变量，在变化的过程中，体现出来的一种变化趋势；

兰州外语职业学院教案专用纸

专业： 科目：《经济数学基础》

第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫

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第三节 无穷小量与无穷大量

教学目标：1.了解无穷小量和无穷大量的概念

2.理解无穷小量的性质

教学重点：无穷小量、无穷大量的概念

教学难点：无穷小量的性质

教学课时：2学时

教学方法：讲授法

教学过程：

1.3.1无穷小量

定义1.12：如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零 那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小

特别地 以零为极限的数列{xn}称为n时的无穷小

例如

因为01limxx 所以函数x1为当x时的无穷小

因为0)1(lim1xx 所以函数为x1当x1时的无穷小

因为011limnn 所以数列{11n}为当n时的无穷小

讨论 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？

提示 无穷小是这样的函数 在xx0(或x)的过程中 极限为零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零

说明：

1.无穷小量对函数中对x x x

0xx 0xx 0xx都适用

2.无穷小量的定义对数列也适用 兰州外语职业学院教案专用纸

专业： 科目：《经济数学基础》

第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫

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3.无穷小量是以0为极限的变量，不能把很小的常数看做无穷小量。（0是唯一可以作为无穷小量的常数）

4.无穷小量是对某一个变化过程而言的