A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

全等三角形模型之

截长补短法

若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.

（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.

即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.

（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.

即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.

【典型例题】

1．【模型分析】

当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．

问题：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．

截长法：

在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．

补短法：

延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．

请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．

【截长法】

【补短法】

2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．

3．课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．

求证：∠ABC＝2∠ACB．

小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝ BD ，连接DF．

请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；

（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：

1专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等2二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明)(注：一般都是原题已经有中线时用)。三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线3延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型4题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。题型六：角平分线+垂直构造全等模型类型一、角平分线垂两边角平分线+外垂直当已知条件中出现OP为∠OAB的角平分线、PM⊥OA于点M时，辅助线的作法大都为过点P作PN⊥OB即可.即有PM=PN、ΔOMP≌ΔONP等，利用相关结论解决问题.类型二、角平分线垂中间角平分线+内垂直5当已知条件中出现OP为∠AOB的角平分线,PM⊥OP于点P时，辅助线的作法大都为延长MP交OB于点N即可.即有ΔOMN是等腰三角形、OP是三线等，利用相关结论解决问题. 模型一：一线三等角模型1(2023•石家庄模拟)如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC>5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．(1)如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；(2)在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．2(2023•怀化三模)如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP=PF，∠APF=90°．(1)求证：ΔABP≅ΔPEF；(2)求BE的长．3(2023•承德二模)如图1，BAC经过RtΔABC的三个顶点，圆心O在斜边AB上，AC=4，直径AB所对的弧长为AC长的3倍，将等腰RtΔADE的直角顶点D放置在边BC上，EF⊥BC于点F．6(1)∠ABC=°；(2)求证：ΔACD≅ΔDFE；(3)如图2，当点E落在AB上时，求EF的长．4(2023•凤台县校级二模)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：(1)如图2，RtΔABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证；ΔBEC≅ΔCDA．(2)如图3，在ΔABC中，D是BC上一点，∠CAD=90°，AC=AD，∠DBA=∠DAB，AB=23，求点C到AB边的距离．(3)如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B，AB=10，BE=6，求EFDE的值．5(2023•鄂伦春自治旗二模)如图1，二次函数y=a(x+3)(x-4)的图象交坐标轴于点A，B(0,-2)，点P为x轴上一动点．(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式；(2)过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP=1时，求ΔACQ的面积；(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；②点E2,-53在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．76(2023•潍坊三模)如图1，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，∠ABC=90°，AB=BC，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．观察发现：(1)如图1，当A，B两点均在直线l的上方时①猜测线段AD，CE与BE的数量关系并说明理由；②直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；操作证明：(2)将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：(3)将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H，若CD=3，AD=9，请直接写出DH的长度．7(2023•尤溪县校级模拟)在矩形ABCD中，连接AC，线段AE是线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，平移线段AE得到线段DF(点A与点D对应，点E与点F对应)，连接BF，分别交AC，CE于点M，N，连接EF．(1)求证：BN=FN；(2)求∠ABF的大小；(3)若BM=x，FN=y，求矩形ABCD的面积(用含有x，y的式子表示)．8(2024•龙马潭区一模)如图，抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO=45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．89(2023•太康县二模)在正方形ABCD中，E是BC边上一点(点E不与点B，C重合)，AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．(1)如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是　AE=EF　；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP．根据此图形易证ΔAEP≅ΔEFC．则判断ΔAEP≅ΔEFC的依据是．(2)点E在BC边上运动．①如图2，(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由．②如图3，连接AF，DF，若正方形ABCD的边长为1，直接写出ΔAFD的周长c的取值范围．模型二：手拉手模型--旋转型全等10(2023•巴中)综合与实践．(1)提出问题．如图1，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．①∠BOC的度数是　90°　．②BD:CE=．(2)类比探究．如图2，在ΔABC和ΔDEC中，∠BAC=∠EDC=90°，且AB=AC，DE=DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是；②AD:BE=．(3)问题解决．如图3，在等边ΔABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边ΔAEF，将ΔAEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．①说明ΔMND为等腰三角形．②求∠MND的度数．911(2024•武汉模拟)如图，在ΔABC和ΔCDE中，∠BAC=∠CED=90°，AB=AC，CE=DE，点E在边AB上，F是BC的中点．连接AD，G是AD的中点．(1)求证：ΔACE∽ΔBCD；(2)如图(2)，若点G在BC上，直接写出tan∠ACE的值；(3)如图(1)，判定以E，F，G为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．12(2023•市中区校级四模)[问题提出]如图1，在等边ΔABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．[数学思考]当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题．[尝试解决]将ΔAPC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接P′P，则ΔAPP′为等边三角形．∴PP′=PA=3，又∵PB=4，PC=5，PP′2+PB2=PC2．∴△BP′P为三角形，∴∠APB的度数为．[类比探究]如图2，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，其内部有一点P，若PA=2，PB=1，PC=3，求∠APB的度数．10[联想拓展]如图3，在ΔABC中，∠BAC=90°，∠BCA=30°，其内部有一点P，若PA=3，PB=2，PC=43，求∠APB的度数．13(2023•深圳模拟)如图，ΔABC是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向CD的右侧作等边ΔCDE，连接AE．(1)【尝试初探】如图1，当点D在线段AB上运动时，AC与DE相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．(2)【深入探究】如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当AD=2BD时，求tan∠DHC的值．(3)【拓展延伸】如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD、AE相交于点F，设ΔADF的面积为S1，ΔCEF的面积为S2，当S2=4S1时，求AE的长．14(2023•岱岳区二模)如图，正方形ABCD边长为7．E、F在半径为4的⊙A上，且EA⊥FA，连接DE、BE、BF、DF．(1)试探求线段DE、BF的数量和位置关系；(2)求证：DF2+BE2=EF2+BD2，并求DF2+BE2的值．15(2023•苏州一模)如图，ΔABC是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE．11(1)【尝试初探】如图1，当点D在线段AB上运动时，AC，DE相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．(2)【深入探究】如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当AD=2BD时，求tan∠DHC的值．(3)【拓展延伸】如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD，AE相交于点F，设ΔADF的面积为S1，ΔCEF的面积为S2，当S2=4S1时，求BD的长．16(2023•灌云县校级模拟)在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接PC，将线段PC绕点P旋转α得到线段PD，连接AP，CD，BD．(1)当α=60°时，①如图1，当点P在ΔABC的边BC上时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，则AP与BD的数量关系是　AP=BD　．②如图2，当点P在ΔABC内部时，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD，①中AP与BD的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；(2)当α=90°时，①如图3，线段PC绕点P顺时针旋转α得到线段PD．试判断AP与BD的数量关系，并说明理由；②若点A，C，P在一条直线上，且AC=3PC，线段PC绕点P逆时针旋转α得到线段DP，求BDAP的值．17(2024•邳州市校级一模)(1)问题发现：如图1，ΔACB和ΔDCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①线段AD，BE之间的数量关系为　AD=BE　；②∠AEB的度数为．(2)拓展探究：如图2，ΔACB和ΔAED均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，

专题06 全等三角形的五种模型

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不再重复。

模型一、截长补短模型

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC△△DFC（SAS），则MC=FC=FG，△BCM=△DCF，

可得△MCF为等腰直角三角形，又可证△CFE=45°，△CFG=90°，

△CFG=△MCF，FG△CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF△△BCN（SAS），

可得CF=FG=BN，△DFC=△BNC=135°，

又知△FGC=45°，可证BN△FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

例1.如图，△ABC中，△B=2△A，△ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】.B

【详解】解：如图，在CA上截取,CNCB 连接,DN

CD平分,ACB ,BCDNCD ,CDCD ,CBDCNDSAS≌ ,,,BDNDBCNDCBCN

9,16,BCAC 9,7,CNANACCN

,CNDNDAA ,BNDAA

2,BA ,ANDA,NDNA 7.BDAN 故选：.B

【变式训练1】如图，在△ABC中，AB＝BC，△ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．

（1）若△DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；

（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．

第六讲 全等三角形辅助线之倍长中线与截长补短

一、全等三角形知识点复习

1．判定和性质

一般三角形 直角三角形

判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）

角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法

斜边和一条直角边对应相等（HL）

性质 对应边相等，对应角相等

对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等

注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；

② 全等三角形面积相等．

2．证题的思路：

）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS

性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)

7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)

8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)

11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

运用 1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3、当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。